Kegelschnitt < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Do 27.06.2013 | | Autor: | Rated-R |
| Aufgabe | Transformieren Sie den Kegelschnitt auf Normalform
[mm] x_1^2+2*x_1*x_2+x_2^2+x_1+2*x_2=1 [/mm] |
Hallo,
irgendwo mache ich Fehler bei der Aufgabe also zunächst
bestimme ich eine Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & 1 \\1 & 1 } [/mm] und einen Vektor [mm] a=\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
so, dass [mm] x^T.A.x+x^T.a=1 [/mm] der Kegelschnitt ist
[mm] D=T^T.A.T
[/mm]
bestimmung von T:
Eigenwerte von A sind 0 und 2
Eigenvektor zu 0 ist [mm] \vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
Eigenvektor zu 2 [mm] ist\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Eigenvektoren noch normieren so gilt:
[mm] T=1/\sqrt(2)*\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
x=T.x'
jetzt gilt: [mm] x'^T.D.x'+x'^T.T^T.a=1
[/mm]
stimmt das?
so hab ich dann nach langer Rechung raus(+mit Maple nachgerechnet)
[mm] 2*x1'^2+(3/2)*\sqrt(2)*x'1+(1/2)*\sqrt(2)*x2' [/mm] = 1
aber eigentlich sollte eine Parabel rauskommen also der form [mm] 2*x1^2+(Faktor)*x1=1
[/mm]
Ich weiß leider nicht was ich falsch gemacht habe, könnt ihr kurz schauen ob das "theoretisch" passt?
Danke!
gruß Tom
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Hallo,
> Transformieren Sie den Kegelschnitt auf Normalform
> [mm]x_1^2+2*x_1*x_2+x_2^2+2*x_2=1[/mm]
> Hallo,
>
> irgendwo mache ich Fehler bei der Aufgabe also zunächst
> bestimme ich eine Matrix [mm]A=\pmat{ 1 & 1 \\1 & 1 }[/mm] und
> einen Vektor [mm]a=\vektor{1 \\ 2}[/mm]
Wie kommst du denn auf den Vektor a? Der ist so nicht ok.
>
> so, dass [mm]x^T.A.x+x^T.a=1[/mm] der Kegelschnitt ist
>
> [mm]D=T^T.A.T[/mm]
> bestimmung von T:
>
> Eigenwerte von A sind 0 und 2
> Eigenvektor zu 0 ist [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
> Eigenvektor zu 2
> [mm]ist\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> Eigenvektoren noch normieren so gilt:
>
> [mm]T=1/\sqrt(2)*\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }[/mm]
>
> x=T.x'
>
> jetzt gilt: [mm]x'^T.D.x'+x'^T.T^T.a=1[/mm]
>
> stimmt das?
>
> so hab ich dann nach langer Rechung raus(+mit Maple
> nachgerechnet)
> [mm]2*x1'^2+(3/2)*\sqrt(2)*x'1+(1/2)*\sqrt(2)*x2'[/mm] = 1
>
> aber eigentlich sollte eine Parabel rauskommen also der
> form [mm]2*x1^2+(Faktor)*x1=1[/mm]
>
> Ich weiß leider nicht was ich falsch gemacht habe, könnt
> ihr kurz schauen ob das "theoretisch" passt?
>
> Danke!
> gruß Tom
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Do 27.06.2013 | | Autor: | Rated-R |
Danke für deine Hilfe ich habe leider den kegelschnitt falsch angegeben
[mm] x_1^2+2*x_1*x_2+x_2^2+x_1+2x_2=1
[/mm]
so jetzt passt die Matrix A und der Vektor a.
Entschuldigung!
gruß Tom
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> Transformieren Sie den Kegelschnitt auf Normalform
> [mm]x_1^2+2*x_1*x_2+x_2^2+x_1+2*x_2=1[/mm]
>
> Hallo,
>
> irgendwo mache ich Fehler bei der Aufgabe also zunächst
> bestimme ich eine Matrix [mm]A=\pmat{ 1 & 1 \\1 & 1 }[/mm] und
> einen Vektor [mm]a=\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> so, dass [mm]x^T.A.x+x^T.a=1[/mm] der Kegelschnitt ist
>
> [mm]D=T^T.A.T[/mm]
> bestimmung von T:
>
> Eigenwerte von A sind 0 und 2
> Eigenvektor zu 0 ist [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
> Eigenvektor zu 2
> [mm]ist\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> Eigenvektoren noch normieren so gilt:
>
> [mm]T=1/\sqrt(2)*\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }[/mm]
>
> x=T.x'
>
> jetzt gilt: [mm]x'^T.D.x'+x'^T.T^T.a=1[/mm]
>
> stimmt das?
>
> so hab ich dann nach langer Rechung raus(+mit Maple
> nachgerechnet)
> [mm]2*x1'^2+(3/2)*\sqrt(2)*x'1+(1/2)*\sqrt(2)*x2'[/mm] = 1
Hallo,
schade, daß man Deine lange Rechnung nicht sieht.
Bei Deiner Wahl von T mußte doch [mm] D=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] sein,
also wäre der quadratische Term [mm] 2{x_2'}^2, [/mm] oder bin ich irgendwie durcheinander?
LG Angela
>
> aber eigentlich sollte eine Parabel rauskommen also der
> form [mm]2*x1^2+(Faktor)*x1=1[/mm]
>
> Ich weiß leider nicht was ich falsch gemacht habe, könnt
> ihr kurz schauen ob das "theoretisch" passt?
>
> Danke!
> gruß Tom
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 07:14 Fr 28.06.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Angela,
> Hallo,
>
> schade, daß man Deine lange Rechnung nicht sieht.
Das stimmt. Dort scheint nämlich der Fehler eventuell zu stecken.
> Bei Deiner Wahl von T mußte doch [mm]D=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm]
> sein,
>
> also wäre der quadratische Term [mm]2{x_2'}^2,[/mm] oder bin ich
> irgendwie durcheinander?
Das sehe ich genauso.
>
> LG Angela
>
>
> >
> > aber eigentlich sollte eine Parabel rauskommen also der
> > form [mm]2*x1^2+(Faktor)*x1=1[/mm]
> >
> > Ich weiß leider nicht was ich falsch gemacht habe,
> könnt
> > ihr kurz schauen ob das "theoretisch" passt?
> >
> > Danke!
> > gruß Tom
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Fr 28.06.2013 | | Autor: | Rated-R |
Vielen Dank für eure Antworten,
ich habe es mit maple nachgerechnet wollte nur nach theoretischen Fehlern fragen.
der plot mit wolframalpha zeigt das es sich bei den Kegelschnitt um eine Parabel handelt.
Wenn ich [mm] D=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] setze bekomme ich [mm] 2*y2^2+(1/2)*\sqrt(2)*y1+(3/2)*\sqrt(2)*y2 [/mm] = 1
aber müsste nicht eine Gleichung der Form [mm] 2*y2^2+0*y1+Faktor*y2 [/mm] = 1
auftreten?
Ich habe irgendwo gelesen das die Determinante(T)=+1 sein muss, deshalb habe ich die Spalten von T vertauscht.
also für einen Vektor x gilt
[mm] x^T.T^T.A.T.x+x^T.T^T.a=1
[/mm]
[mm] =>x^T.D.x+x^T.d=1
[/mm]
[mm] =>Eigenwert1*x_1^2+Eigenwert2*x_2^2+x^T.d=1
[/mm]
wobei jetzt der Vektor d die Form [mm] \vektor{0 \\ Wert} [/mm] oder [mm] \vektor{Wert \\ 0} [/mm] hat und der Eigenwert2=0 ist, oder verstehe ich was falsch?
gruß Tom
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> Vielen Dank für eure Antworten,
>
Hallo,
> ich habe es mit maple nachgerechnet wollte nur nach
> theoretischen Fehlern fragen.
???
>
> der plot mit wolframalpha zeigt das es sich bei den
> Kegelschnitt um eine Parabel handelt.
>
> Wenn ich [mm]D=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm] setze
> bekomme ich
> [mm]2*y2^2+(1/2)*\sqrt(2)*y1+(3/2)*\sqrt(2)*y2[/mm] = 1
>
> aber müsste nicht eine Gleichung der Form
> [mm]2*y2^2+0*y1+Faktor*y2[/mm] = 1
> auftreten?
Nein.
Die erste Transformation der HAT beseitigt Dir die gemischten Terme.
>
> Ich habe irgendwo gelesen das die Determinante(T)=+1 sein
> muss, deshalb habe ich die Spalten von T vertauscht.
Es muß halt immer D zu T passen, denn es soll ja [mm] D=T^{T}AT [/mm] sein.
>
> also für einen Vektor x gilt
> [mm]x^T.T^T.A.T.x+x^T.T^T.a=1[/mm]
> [mm]=>x^T.D.x+x^T.d=1[/mm]
> [mm]=>Eigenwert1*x_1^2+Eigenwert2*x_2^2+x^T.d=1[/mm]
>
> wobei jetzt der Vektor d die Form [mm]\vektor{0 \\ Wert}[/mm] oder
> [mm]\vektor{Wert \\ 0}[/mm]
Nicht unbedingt. Es ist halt [mm] D=T^{T}Aŧ.
[/mm]
> hat und der Eigenwert2=0 ist, oder
> verstehe ich was falsch?
Bei der Matrix D aus diesem Post ist der 2.Eigenwert=2.
Sofern
> [mm]2*y2^2+(1/2)*\sqrt(2)*y1+(3/2)*\sqrt(2)*y2[/mm] = 1
richtig ist, was ich nicht prüfe, müßtest Du jetzt den nächsten Schritt der HAT, die verschiebung, vollziehen.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:47 Fr 05.07.2013 | | Autor: | Rated-R |
Vielen Dank, das mit den Verschieben habe ich vergessen!
gruß tom
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