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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 So 23.09.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | [mm] H_b=\left\{\vektor{x \\ y}\in \IR^2|2x^2+2y^2+(4b-2)xy-2\right\}
[/mm]
Bestimme alle [mm] b\in \IR, [/mm] für die [mm] H_b [/mm] eine Ellipse ist. |
Hier komme ich nicht weiter, ich vermute ein Fehler hat sich einegschlichen.
[mm] (xy)*A*\vektor{x \\ y}+b^T\vektor{x \\ y}+c=0
[/mm]
[mm] (xy)*\pmat{ 2 & 2b-1 \\ 2b-1 & 2 }*\vektor{x \\ y}+(4b-2 [/mm] 4b-2){x [mm] \\ [/mm] y}-2=0
Bestimmen von EW und EV
Eigenwerte sind [mm] x_1=3-2b [/mm] und [mm] x_2=1+2b
[/mm]
Eigenvektor zu [mm] x_1:\pmat{ -1 \\ 1 }
[/mm]
Eigenvektor zu [mm] x_2:\pmat{ 1 \\ 1 }
[/mm]
[mm] S=\pmat{ -1 & 1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
[mm] S^T*A*S=\pmat{ -4b+6 & 0 \\ 2 & 4b+4 } [/mm] Ich hoffe ich habe mich hier nicht verrechnet.
Dann wird Transformiert:
[mm] (x'y')S^TAS\vektor{x' \\ y'}+b^T*S\vektor{x' \\ y'}-2=0
[/mm]
(x'y') [mm] \pmat{ -4b+6 & 0 \\ 2 & 4b+4 }\vektor{x' \\ y'}+(0 8b-4)*\vektor{x' \\ y'}-2=0
[/mm]
0= [mm] (-4b+6)x^2+(4b+4)y^2+(8b-4)y-2
[/mm]
Jetzt muss verschoben werden (Quadratische Ergänzung) aber das muss ich passen. Könnt ihr mir ab hier weiterhelfen?
Ich bin mir ebenfallsnicht sicher, ab welchem Punkt ich das b bestimmen kann, sodass eine Ellipse entsteht.
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 So 23.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du brauchst die quadearische ergänzung doch nicht, um zu entscheiden ob es einne Ellipse ist, der lineare Term ändert daran nichts!
[mm] ax^2+by^2+cy=ax^2+b*(y^2+c/b*y+(c/2b)^2-(c/2b)^2)=ax^2+b*(y+c/2b)^2-c^2/4b
[/mm]
so macht man quadratische Ergänzung. was bei die a,b,c ist siehst du hoffentlich
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:58 Mo 24.09.2012 | | Autor: | heinze |
Gut, das habe ich an sich verstanden.
habe ich die Gleichung korrekt umgeformt? ich habe die vermutung, dass mir bei meiner Wahl von x und y ein fehler unterlaufen ist. ich habe (4b-2 [mm] 4b-2)\vektor{x \\ y} [/mm] gesetzt wobe es sich hier um xy handelt.
An welchem Punkt kann ich für die b festlegen, wann es eine Ellipse ist?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Mo 24.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo heinze
> habe ich die Gleichung korrekt umgeformt? ich habe die
> vermutung, dass mir bei meiner Wahl von x und y ein fehler
> unterlaufen ist. ich habe (4b-2 [mm]4b-2)\vektor{x \\ y}[/mm]
> gesetzt wobe es sich hier um xy handelt.
Den Satz versteh ich nicht.
> An welchem Punkt kann ich für die b festlegen, wann es
> eine Ellipse ist?
[mm] a(x--v<_ß)^2+b*(y-y:0)^2=c [/mm] ist eine Ellipse, wenn a und b (und c) positiv sind .
Gruss leduart
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mo 24.09.2012 | | Autor: | heinze |
Richtig, aber die a,b,c ermittle ich ja durch quadratische Ergänzung bzw verschieben.
Kannst du mir das an diesem Beispiel aufzeigen? Vielleicht denke ich grad zu verqueer.
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Mo 24.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
A=-4b+6
B=4b+a
[mm] C=D+c^2/4B
[/mm]
A,B,C>0 oder A,B,C>0
große buchstaben statt der kleinen gegenüber dem letzten 2 posts um nicht mit dem b aus der Aufgabe zu kollidieren.
also ausgang: [mm] Ax^2+By^2+Cy=D
[/mm]
Gruss leduart
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