Kehrwert holomorphe Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Di 21.02.2012 | | Autor: | r2d2 |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dem Beweis mit Mitteln der Funktionentheorie des Fundamentalsatzes der Algebra.
Ich verstehe alles bis auf folgendes:
Woher weiß ich, dass, wenn ein nullstellenfreies Polynom holomorph ist, auch die Kehrwertfunktion holomorph ist?
Dass zweitere dadurch keine Singularitäten aufweist (da keine Division durch 0), ist mir klar. Aber woher weiß ich, dass sie auch komplex differenzierbar ist?
Gibt es dafür eine einfache Erklärung?
Liebe Grüße
PS: Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gepostet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Di 21.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich beschäftige mich gerade mit dem Beweis mit Mitteln der
> Funktionentheorie des Fundamentalsatzes der Algebra.
>
> Ich verstehe alles bis auf folgendes:
>
> Woher weiß ich, dass, wenn ein nullstellenfreies Polynom
> holomorph ist, auch die Kehrwertfunktion holomorph ist?
> Dass zweitere dadurch keine Singularitäten aufweist (da
> keine Division durch 0), ist mir klar. Aber woher weiß
> ich, dass sie auch komplex differenzierbar ist?
> Gibt es dafür eine einfache Erklärung?
>
> Liebe Grüße
>
> PS: Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gepostet.
das kannst Du (mit "Folgen") genauso zeigen wie im reellen - oder aber Du schreibst ($z=x+iy [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $\Re(z)=:x, \Im(z)=:y \in \IR$ [/mm] und [mm] $u:=\Re(f)$ [/mm] und [mm] $v:=\Im(f)$) [/mm] für
[mm] $$f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)$$
[/mm]
zunächst
[mm] $$\frac{1}{f(z)}=\frac{u(x,y)-iv(x,y)}{u^2(x,y)+v^2(x,y)}$$
[/mm]
und prüfst, dass [mm] $1/f=\frac{\overline{f}}{|f|^2}$ [/mm] die Cauchy-Riemanschen Differentialgleichungen erfüllt, wenn [mm] $f\,$ [/mm] dies tut (die Cauchy-Riemannchen DGLn sind äquivalent zur komplexen Diff'barkeit).
[mm] $\overline{z}=x-iy$ [/mm] ist dabei die konjugiert komplexe Zahl zu $z=x+iy [mm] \in \IC\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Di 21.02.2012 | | Autor: | donquijote |
Das lässt sich aber auch direkt mit der Defintion der komplexen Differenzierbarkeit mit Hilfe von Grenzwertsätzen für komplexe Folgen zeigen: Ist f holomorph mit [mm] f(z)\ne [/mm] 0, so ist auch g(z)=1/f(z) holomorph, denn
[mm] g'(z)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}*(g(z+h)-g(z))=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}*\frac{f(z)-f(z+h)}{f(z)*f(z+h)}=-f'(z)*\frac{1}{f(z)^2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Di 21.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das lässt sich aber auch direkt mit der Defintion der
> komplexen Differenzierbarkeit mit Hilfe von
> Grenzwertsätzen für komplexe Folgen zeigen:
das sagte ich bereits, bzw. das meinte ich hier (ich zitiere mich mal selbst):
> das kannst Du (mit "Folgen") genauso zeigen wie im reellen
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Di 21.02.2012 | | Autor: | donquijote |
> Hallo,
>
> > Das lässt sich aber auch direkt mit der Defintion der
> > komplexen Differenzierbarkeit mit Hilfe von
> > Grenzwertsätzen für komplexe Folgen zeigen:
>
> das sagte ich bereits, bzw. das meinte ich hier (ich
> zitiere mich mal selbst):
> > das kannst Du (mit "Folgen") genauso zeigen wie im
> reellen
ok, hab ich überlesen.
>
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Di 21.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Das lässt sich aber auch direkt mit der Defintion der
> > > komplexen Differenzierbarkeit mit Hilfe von
> > > Grenzwertsätzen für komplexe Folgen zeigen:
> >
> > das sagte ich bereits, bzw. das meinte ich hier (ich
> > zitiere mich mal selbst):
> > > das kannst Du (mit "Folgen") genauso zeigen wie im
> > reellen
>
> ok, hab ich überlesen.
macht nix - dafür hast Du's quasi explizit vorgerechnet 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:02 Di 21.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das lässt sich aber auch direkt mit der Defintion der
> komplexen Differenzierbarkeit mit Hilfe von
> Grenzwertsätzen für komplexe Folgen zeigen: Ist f
> holomorph mit [mm]f(z)\ne[/mm] 0, so ist auch g(z)=1/f(z) holomorph,
> denn
> [mm]g'(z)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}*(g(z+h)-g(z))=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}*\frac{f(z)-f(z+h)}{f(z)*f(z+h)}=-f'(z)*\frac{1}{f(z)^2}[/mm]
>
ich ergänze dabei: Weil [mm] $f\,$ [/mm] diff'bar an [mm] $z\,,$ [/mm] ist insbesondere [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $z\,.$ [/mm] Das wird dabei verwendet!
Gruß,
Marcel
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