Kern, Bild < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | Betrachte die Abbildung S: M (n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IR) \to [/mm] M (n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IR), [/mm] A [mm] \mapsto [/mm] A + [mm] A^{T}
[/mm]
Berechnen Sie die Dimension von Ker(S) und IM(S) für den Fall n=3 |
Hallo zusammen:
Mein Lösungsvorschlag:
S: M(3 [mm] \times [/mm] 3, [mm] \IR) \to [/mm] M(3 [mm] \times [/mm] 3, [mm] \IR) [/mm] mit A [mm] \mapsto [/mm] A + [mm] A^{T}
[/mm]
A= [mm] \pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}}
[/mm]
[mm] A+A^{T} [/mm] = [mm] \pmat{ a_{11} + a_{11} & a_{12} + a_{21} & a_{13} + a_{31} \\ a_{21} + a_{12} & a_{22} + a_{22} & a_{23} + a_{32} \\ a_{31} + a_{13} & a_{32} + a_{23} & a_{33} + a_{33} }
[/mm]
Ich weiss: A [mm] \in [/mm] Ker(S) [mm] \gdw [/mm] S(A) = 0. Mit der gegebenen Abbildung ist A [mm] \in [/mm] Ker(S) [mm] \gdw [/mm] alle Einträge der Matrix = 0. [mm] \Rightarrow [/mm] Ker(S) = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }. [/mm] Nach dem Kern-Bild Satz ist damit die Dimension vom Bild gleich 3.
Ist das so in Ordnung oder ist der Beweis totaler Quatsch?
Gruß
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> Betrachte die Abbildung S: M (n [mm]\times[/mm] n, [mm]\IR) \to[/mm] M (n
> [mm]\times[/mm] n, [mm]\IR),[/mm] A [mm]\mapsto[/mm] A + [mm]A^{T}[/mm]
>
> Berechnen Sie die Dimension von Ker(S) und IM(S) für den
> Fall n=3
> Hallo zusammen:
>
> Mein Lösungsvorschlag:
>
> S: M(3 [mm]\times[/mm] 3, [mm]\IR) \to[/mm] M(3 [mm]\times[/mm] 3, [mm]\IR)[/mm] mit A [mm]\mapsto[/mm]
> A + [mm]A^{T}[/mm]
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>
> A= [mm]\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}}[/mm]
>
> [mm]A+A^{T}[/mm] = [mm]\pmat{ a_{11} + a_{11} & a_{12} + a_{21} & a_{13} + a_{31} \\ a_{21} + a_{12} & a_{22} + a_{22} & a_{23} + a_{32} \\ a_{31} + a_{13} & a_{32} + a_{23} & a_{33} + a_{33} }[/mm]
>
> Ich weiss: A [mm]\in[/mm] Ker(S) [mm]\gdw[/mm] S(A) = 0. Mit der gegebenen
> Abbildung ist A [mm]\in[/mm] Ker(S) [mm]\gdw[/mm] alle Einträge der Matrix =
> 0. [mm]\Rightarrow[/mm] Ker(S) = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }.[/mm]
>
> Ist das so in Ordnung oder ist der Beweis totaler Quatsch?
Hallo,
es ist zwar nicht richtig, aber v. totalem Quatsch ist es meilenweit entfernt.
Was folgt denn z.B. aus [mm] a_{12} [/mm] + [mm] a_{21}=0 [/mm] ?
Das klappt auch, wenn nicht beide =0 sind.
> Nach dem Kern-Bild Satz ist damit die Dimension vom Bild
> gleich 3.
Auch wenn der Kern =0 wäre, wäre diese Folgerung verkehrt.
Welche Dimension hat denn der Vektorraum der 3x3 Matrizen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo angela
Erst einmal vielen dank für die schnelle Antwort.
Ich hab mir jetzt mal eine Matrix ausgedacht nämlich:
A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 }, A^{T} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -3 \\ 2 & 3 & 0 } [/mm] Beide addiert gibt die Nullmatrix:
Der Rang der Matrix A und [mm] A^{T} [/mm] ist 3 denn die Spaltenvektoren sind linear unabhängig. Damit gilt auch, dass die Dimension des Bildes = 3 ist, denn rang(A) = dimIm(A). Der Rang von A + [mm] A^{T} [/mm] (also S) ist 0 den die Spaltenvektoren sind linear abhängig [mm] \Rightarrow [/mm] dimIm(S)=0. dann bleibt ja nur noch übrig das die dimKer(S)=3 sein muss denn die Dimension der 3 [mm] \times [/mm] 3 Matizen ist 3
> Auch wenn der Kern =0 wäre, wäre diese Folgerung verkehrt.
> Welche Dimension hat denn der Vektorraum der 3x3
> Matrizen?
>
Das verstehe ich nicht so ganz: Angenommen dimKer wäre 0 dann müsste doch dimIm = 3 sein denn dim V der 3 [mm] \times [/mm] 3 Matrizen ist doch 3
Gruß
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> Ich hab mir jetzt mal eine Matrix ausgedacht nämlich:
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> A = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 }, A^{T}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -3 \\ 2 & 3 & 0 }[/mm] Beide
> addiert gibt die Nullmatrix:
Genau.
Der Kern der Abbildung S besteht aus Matrizen der Gestalt [mm] \pmat{ 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 },
[/mm]
also [mm] Kerf=\{ \pmat{ 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 }| a,b,c\in \IR\}
[/mm]
Über die Dimension dieses Kerns ist nun nachzudenken.
Bevor Du das tust, mußt Du Dir klarmachen, welche Dimension der VR der 3x3-Matrizen hat.
> dim V der 3 [mm]\times[/mm] 3
> Matrizen ist doch 3
Nein, eben nicht. Oder kannst Du mir 3 (Basis-)Matrizen nennen, mit denen Du den ganzen Raum erzeugen kannst? Eher nicht...
Es ist doch schon der [mm] \IR^3 [/mm] mit seinen Spaltenvektoren dreidimensional, da ist doch schon "rein gefühlsmäßig" nicht zu erwarten, daß das bei den Matrizen auch der Fall ist.
Denk' da nochmal ein wenig drüber nach, ich würde Dir so ungern die Lösung einfach vorsagen...
2. Ich weise darauf hin, daß S eine Abbildung vom Matrizenraum in den Matrizenraum ist, und nicht etwa eine Matrix. Irgendwo schriebst Du
> A + $ [mm] A^{T} [/mm] $ (also S) .
Das ist ungefähr so, als würde ich behaupten, daß die Abbildung [mm] sin:\IR \to \IR [/mm] eine reelle Zahl ist.
sin(x), der Funktionswert an der Stelle x, ist eine reelle Zahl, und S(A), der Funktionswert v. S ander Stelle A, ist eine 3x3-Matrix.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo angela!
Danke für die Hilfe!
Hab jetzt gezeigt dass die dimIm=6 und dimKer=3 ist
Gruß
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> Hab jetzt gezeigt dass die dimIm=6 und dimKer=3 ist
Das freut mich!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Damn88 |
mh wie kommt man denn auf dim ker f = 3?? ich hatte raus 6
ker f [mm] =\pmat{ 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 }
[/mm]
dann habe ich eine basis gewählt:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0& 0& 0 },\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0& 0& 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0& 0& 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0& 0& 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1& 0& 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0& 1& 0 }
[/mm]
also hat die basis 6 elemente und die dimension ist 6
oder wo ist mein fehler?
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> mh wie kommt man denn auf dim ker f = 3?? ich hatte raus 6
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> ker f [mm]=\pmat{ 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 }[/mm]
So, wie Du es schreibst, stimmt das nicht, aber Du meinst es richtig:
ker f [mm] =\{\pmat{ 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 }| a,b,c \in \IR\}
[/mm]
>
> dann habe ich eine basis gewählt:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0& 0& 0 },\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0& 0& 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0& 0& 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0& 0& 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1& 0& 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0& 1& 0 }[/mm]
>
> also hat die basis 6 elemente und die dimension ist 6
> oder wo ist mein fehler?
Die 6 Vektoren, die Du angibst, sind keine Basis des Kerns, denn sie spannen einen Raum auf (erzeugen) der deutlich größer als der Kern ist, z.B. keigt die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 5 & 0 \\ 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] in dem von Deinen Vektoren erzeugten Raum.
Daß der Kern v. drei Vektoren aufgespannt wird, sieht man recht schnell, es ist ja
[mm] \pmat{ 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 }=a\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }+b\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 }+c\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 },
[/mm]
also sind es drei "Vektoren", die den Raum aufspannen, ihre lineare Unabhängigkeit solltest Du schnell zeigen können.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Damn88 |
ach stimmt ja!!
vielen vielen dank!
das hat mir wirklich geholfen..da war ich grad wohl ein wenig dumm :>
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Hallo Angela,
bin grad zu blind, ich weiß einfach net, welche drei Vektoren du meinst. Brett vorm Kopf habe.
Dann noch ne Verständnisfrage: Aufgrund der 3 Vektoren, weiß ich ja, dass die dim Ker f = 3 ist. Da ihr geschrieben habt, dass dim im f = 6 ist, muss ja nach der Dimensionsformel dann dim V = 9 sein. Wie kommt man denn darauf, dass die dim von 3x3 Matrizen neun ist? Gibt es da irgendwie ne Regelung? Wie wäre das zum Beispiel bei 2x2 Matrizen? Wäre dort die Dimension = 4?
Grüße Tanzmaus
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> Hallo Angela,
> bin grad zu blind, ich weiß einfach net, welche drei
> Vektoren du meinst. Brett vorm Kopf habe.
Hallo,
ich ahne, woran das liegt...
Ich glaube, Du hast noch nicht richtig verstanden, was ein "Vektor" ist:
ein Vektor ist ein Element eines Vektorraumes, nicht mehr, nicht weiniger.
Besteht der Vektorraum aus "gestapelten Zahlen in Spalten", wie der [mm] \IR^5 [/mm] z.B., so sind die Vektoren "gestapelten Zahlen in Spalten".
Besteht er aus Funktionen, wie z.B. [mm] Abb(\IR, \IR) [/mm] , so sind die Vektoren Funktionen.
Der Raum, den wir gerade betrachten, enthält alle 3x3-Matrizen, und deshalb sind die Vektoren 3x3-Matrizen.
Welche Vektoren spannen nun KernS auf? Diese: [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 },
[/mm]
denn jedes Element des Kerns läßt sich als Linearkombination dieser drei Vektoren schreiben.
>
> Dann noch ne Verständnisfrage: Aufgrund der 3 Vektoren,
> weiß ich ja, dass die dim Ker f = 3 ist. Da ihr geschrieben
> habt, dass dim im f = 6 ist, muss ja nach der
> Dimensionsformel dann dim V = 9 sein.
Ja.
Du kannst diesen Raum erzeugen mit den 9 Matrizen [mm] M_i_j, [/mm] die jeweils an der ij.ten Stelle eine 1 haben und sonst alles Nullen.
Daß sie lin.unabhängig sind, ist ebenfalls schnell gezeigt.
> Wie wäre das zum Beispiel bei 2x2
> Matrizen? Wäre dort die Dimension = 4?
Ja, und eine Basis davon solltest Du Dir unverzüglich überlegen.
Gruß v. Angela
>
> Grüße Tanzmaus
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Danke Angela,
habe als Vektor eben die ganze Zeit so nen Spaltenvektor vor Augen gehabt. Danke nochmal für die Erläuterung.
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Ich hab da doch nochmal eine Frage. Habe mich heute mit einer Kommilitonin über die Aufgabe diskutiert. UNd zwar ist doch die dim Im (S) = rang (S) Richtig?
Wir wissen ja, dass die Bilder symmetrische 3x3 Matrizen sind, dann kann doch der Rang höchstens 3 sein und somit die dim =3 Und dann wäre aufgrund der Dimensionsformel ja die dim des kerns = 6
Oder haben wir in eine falsche Denkrichtung?
Grüße Tanzmaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Di 11.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo ich weiss nicht so recht: Du sagst die dimImS=rangS das ist richtig dann sagst du das der Rang höchstens 3 sein kann und daraus folgerst du dass dim=3 ist. aber was ist wenn der rang 2 ist? dann ist dim=2. das sagt dir ja nichts.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Wenn ich mir aber zum Beispiel die symmetrische Matrix
A= [mm] \pmat{ a & b & c \\ b & b & d \\ c & d & a } [/mm] betrachte, bekomme ich dort doch keine Zeile auf 0 durch Zeilenumformung. und die Anzahl der Zeilen, die ungleich 0 sind, ist doch mein Rang. Also ist der Rang = 3
Mir gehts hauptsächlich auch darum, wieso ihr alle als dim Im = 6 habt? Für mich ist es irgendwie unlogisch, wie ne 3x3 Matrix eine Dimension von 6 haben kann.
Grüße
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Hallo Tanzmaus:
Das ist die Symmetrische Matrix: [mm] \pmat{ a & b & c \\ b & e & d \\ c & d & f }
[/mm]
Wieviele Parameter hat die Matrix? 6 stück 
Wer hat den gesagt dass die Dimension einer 3 [mm] \times [/mm] 3 Matrix 6 ist? Niemand. Die dimension ist 9. wir haben dann dimIm=6 und dimKer=3 und das stimmt mit der Dimensionsformel überein.
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> Oder haben wir in eine falsche Denkrichtung?
Hallo,
ich weiß leider nicht genau, was Ihr denkt - allerdings habe ich ein Gefühl:
ich glaube, daß Euch der Unterschied zwischen der Funktion S und den Elementen der Räume, zwischen denen sie abbildet, nicht ganz klar ist, das ging Tyslie am Anfang auch so, daher kopiere ich, was ich dort schrieb:
"2. Ich weise darauf hin, daß S eine Abbildung vom Matrizenraum in den Matrizenraum ist, und nicht etwa eine Matrix. Irgendwo schriebst Du
> A + $ [mm] A^{T} [/mm] $ (also S) .
Das ist ungefähr so, als würde ich behaupten, daß die Abbildung $ [mm] sin:\IR \to \IR [/mm] $ eine reelle Zahl ist.
sin(x), der Funktionswert an der Stelle x, ist eine reelle Zahl, und S(A), der Funktionswert v. S ander Stelle A, ist eine 3x3-Matrix. "
Nun könnte man natürlich - da S eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen ist -, die darstellende Matrix v. S (z.B. bzgl der Standardbasis des Matrizenraumes) aufstellen.
Diese darstellende Matrix wäre eine 9x9-Matrix, nicht etwa eine 3x3-Matrix!!! Denn S bildet ja aus einem 9-dimensionalen Raum in einen 9-dimensionalen Raum ab.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Feli2812 |
Hallo Tyskie84,
wie genau bist du denn darauf gekommen, dass dim ker=3 und dim Im=6?? bei dim kern vllt, weil es drei Nullen gibt??
wäre lieb, wenn du mir antwortest
danke
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Hallo,
lies da
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | Betrachte die Abbildung
f: M( n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IR) \to [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IR) [/mm] A [mm] \mapsto A^{T}
[/mm]
Zeige: f [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{M(n \times n, \IR)} [/mm] |
Mein Lösungsvorschlag:
f [mm] \circ [/mm] f = [mm] f(f(A))=f(f(A^{T})=(A^{T})^{T}=A
[/mm]
Ist ein bisschen kurz aber geht das so?
Gruß
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Hi Tyksie,
mein Beweis von f $ [mm] \circ [/mm] $ f ist bei mir genauso kurz.
Denke aber schon, dass das so richtig ist, denn was will man da groß anders machen?!
Kannst du mir bitte mal erklären, wie du bei den Dimenionen auf 6 und 3 gekommen bist?
Danke und Grüße Madlen
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