Kern, Bild, Dimension, Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Mo 30.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Betrachten wir die Menge V aller reellen Polynomfunktionen vom Grad [mm] \le [/mm] m. Die Abbildung [mm] \pi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V, f [mm] \mapsto [/mm] f', wobei f' die Ableitung von f ist, ist
wohldefiniert und R-linear.
a) Bestimmen Sie Kern und Bild von f sowie deren Dimensionen.
b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von [mm] \pi [/mm] bezüglich der folgenden Basen von V (jeweils dieselbe
Basis für Definitions- und Zielmenge)
1.) [mm] 1,x,...,x^{m} [/mm] |
Hallo,
Hoffentlich kann mir hier jemand helfen. Bin mir total unsicher, ob mein Ansatz stimmt.
Also, zur a. Der Kern ist definiert als [mm] Ke(\pi)=\pi^{-1}({0}) [/mm] = {x [mm] \in [/mm] V ; [mm] \pi(x)=0} [/mm] wobei das x hierbe Polynomfunktionen repräsentiert.
Der Kern müsste alle Polynomfunktionen vom Grad 1 enthalten, da deren Ableitung eben 0 wäre. Wenn das stimmt, wie würde man das denn formal aufschreiben? Die Dimension ist gleich dem Grad, also 1.
Das Bild müssten nun die Ableitungen sein, jedoch weiß ich auch hier nicht, wie man das formal aufschreiben würde. Die Dimension müsste m-1 sein. Muss man das denn groß erläutern?
Nun zur b).
Ich muss doch eine Matrix A finden, sodass [mm] \pi(x)=Ax, [/mm] wobei x Polynome sind und [mm] \pi(x) [/mm] doch deren Ableitung.
Ich hab als Matrix A dann:
[mm] \vektor{0 *\bruch{1}{x} \\ 1 *\bruch{1}{x} \\ 2 *\bruch{1}{x} \\ ... \\ m *\bruch{1}{x}}
[/mm]
Kann das stimmen?
Teil b.2 und c) lassen ich erstmal weg.
Danke vielmals.
Gruß SolRakt
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Hallo SolRakt,
> Betrachten wir die Menge V aller reellen Polynomfunktionen
> vom Grad [mm]\le[/mm] m. Die Abbildung [mm]\pi[/mm] : V [mm]\to[/mm] V, f [mm]\mapsto[/mm] f',
> wobei f' die Ableitung von f ist, ist
> wohldefiniert und R-linear.
>
> a) Bestimmen Sie Kern und Bild von f sowie deren
> Dimensionen.
Wie? Kern von f? Die Abbildung, um die es geht, heißt doch [mm] $\pi$
[/mm]
> b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von [mm]\pi[/mm] bezüglich
> der folgenden Basen von V (jeweils dieselbe
> Basis für Definitions- und Zielmenge)
>
> 1.) [mm]1,x,...,x^{m}[/mm]
> Hallo,
>
> Hoffentlich kann mir hier jemand helfen. Bin mir total
> unsicher, ob mein Ansatz stimmt.
>
> Also, zur a. Der Kern ist definiert als
> [mm]Ke(\pi)=\pi^{-1}({0})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {x [mm]\in[/mm] V ; [mm]\pi(x)=0}[/mm] wobei das x
> hierbe Polynomfunktionen repräsentiert.
>
> Der Kern müsste alle Polynomfunktionen vom Grad 1
> enthalten, da deren Ableitung eben 0 wäre.
Hmm, dann wäre ja die Ableitung von $f(x)=3x+2$ auch 0 ?!
> Wenn das
> stimmt, wie würde man das denn formal aufschreiben? Die
> Dimension ist gleich dem Grad, also 1.
[mm] $Kern(\pi)=\{f\in V: f \ \text{konstant}\}$ [/mm] oder [mm] $\{f\in V: \operatorname{deg}(f)=0\}$
[/mm]
>
> Das Bild müssten nun die Ableitungen sein, jedoch weiß
> ich auch hier nicht, wie man das formal aufschreiben
> würde. Die Dimension müsste m-1 sein.
Nein, der gegebene VR V der reellen Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] m$ hat doch Dimension $m+1$ !!
Du hast doch eine Basis (Standardbasis) unten angegeben [mm] $1,x,x^2,...,x^m$, [/mm] das sind doch $m+1$ Polynome (Basisvektoren)
> Muss man das denn
> groß erläutern?
Nö, das Bild besteht aus der Menge der reellen Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] m-1$ und hat Dimension $m$ !!
Das Bild ist nicht V !
>
>
> Nun zur b).
>
> Ich muss doch eine Matrix A finden, sodass [mm]\pi(x)=Ax,[/mm] wobei
> x Polynome sind und [mm]\pi(x)[/mm] doch deren Ableitung.
>
> Ich hab als Matrix A dann:
>
> [mm]\vektor{0 *\bruch{1}{x} \\
1 *\bruch{1}{x} \\
2 *\bruch{1}{x} \\
... \\
m *\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> Kann das stimmen?
Nee, verstehe ich nicht.
Mache dir erstmal klar, welches Format die Matrix haben muss.
Du bildest aus einem $m+1$-dim. VR in einen $m$-dim. VR ab ...
Was passiert mit dem ersten Basisvektor?
[mm] $\pi(1)=0=0\cdot{}1+0\cdot{}x+0\cdot{}x^2+...+0\cdot{}x^{m-1}$
[/mm]
Das liefert als 1 Spalte [mm] $\vektor{0\\0\\0\\\vdots\\0}$
[/mm]
Wieviele Einträge?
Wie sehen die anderen (wieviele noch?) Spalten aus?
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> Teil b.2 und c) lassen ich erstmal weg.
>
> Danke vielmals.
>
> Gruß SolRakt
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Mo 30.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Wie? Kern von f? Die Abbildung, um die es geht, heißt doch $ [mm] \pi [/mm] $
Oh, tut mir leid, da hab ich mich vertippt.
> Hmm, dann wäre ja die Ableitung von $ f(x)=3x+2 $ auch 0 ?!
Argh xD Der Grad muss 0 sein. Stimmt, danke für den Hinweis.
> Nö, das Bild besteht aus der Menge der reellen Polynome vom Grad $ [mm] \le [/mm] > m-1 $ und hat Dimension $ m $ !! Das Bild ist nicht V !
Auch hier danke für die gute Erklärung. Aber dann sind es die reellen Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] m oder irre ich mich hier?
Zur b): Hat die Matrix dann das Format (m+1 x m)?
Also dann [mm] m^{2}+m [/mm] Einträge. nur wie finde ich heraus, welche das sind?
Danke vielmals.
Gruß SolRakt
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Hallo nochmal,
> > Wie? Kern von f? Die Abbildung, um die es geht, heißt doch
> [mm]\pi[/mm]
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> Oh, tut mir leid, da hab ich mich vertippt.
>
> > Hmm, dann wäre ja die Ableitung von [mm]f(x)=3x+2[/mm] auch 0 ?!
>
> Argh xD Der Grad muss 0 sein. Stimmt, danke für den
> Hinweis.
>
> > Nö, das Bild besteht aus der Menge der reellen Polynome
> vom Grad [mm]\le > m-1[/mm] und hat Dimension [mm]m[/mm] !! Das Bild ist
> nicht V !
>
> Auch hier danke für die gute Erklärung. Aber dann sind es
> die reellen Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] m oder irre ich mich
> hier?
Welches Polynom im Bild hat Grad [mm]m[/mm] ??
[mm]\operatorname{Bild}(\pi)[/mm] hat ist allenfalls eine Teilmenge von [mm]V[/mm], [mm]m[/mm]-te Potenzen von [mm]x[/mm] treten nicht auf bzw. alle Koeffizienten vor [mm]x^m[/mm] im Bild sind 0
[mm]\operatorname{Bild}(\pi)[/mm] ist wie gesagt "nur" [mm]m[/mm]-dimensional
>
> Zur b): Hat die Matrix dann das Format (m+1 x m)?
Nein, die Abbildungsmatrix (zu gegebenen Basen) einer linearen Abb. von einem [mm]n[/mm]-dimensionalen in einen [mm]m[/mm]-dimensionalen VR ist vom Format [mm]m\times n[/mm]
>
> Also dann [mm]m^{2}+m[/mm] Einträge. nur wie finde ich heraus,
> welche das sind?
Na, wie berechnet man denn Abbildungs-/Darstellungsmatrizen.
Für die erste Spalte habe ich's doch schon vorgemacht.
Nimm dir sukzessive die Basisvektoren aus [mm]V[/mm], also [mm]1,x,x^2,...,x^m[/mm] her, bilde sie unter [mm]\pi[/mm] ab und stelle das Bild dann als LK der Standardbasis im Zielraum, das ist [mm]1,x,x^2,...,x^{m-1}[/mm] dar.
Die Koeffizienten in diesen LKen bilden die Spalten, und zwar ergibt sich die i-te Spalte durch Anwendung des oben beschrieben Prozederes auf den i-ten Basisvektor der (Standard)Basis von [mm]V[/mm]
>
> Danke vielmals.
>
> Gruß SolRakt
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Mo 30.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..mal schaun, ob ich das jetzt richtig verstanden hab.
> $ [mm] \operatorname{Bild}(\pi) [/mm] $ ist wie gesagt "nur" $ m $-dimensional
Bin irgendwie durcheinander. Dann sinds aber doch alle Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] m-1???
> Nein, die Abbildungsmatrix (zu gegebenen Basen) einer linearen Abb. von > einem $ n $-dimensionalen in einen $ m $-dimensionalen VR ist vom
> Format $ [mm] m\times [/mm] n $
Ok, stimmt, das versteh ich, dann ist das Format natürlich m x m+1.
Aber dann waren meine Einträge an sich im ersten Beitrag nicht so verkehrt, also z.B. 2* 1/x. ? Dann ist die erste Spalte eine "Nullspalte" sozusagen und der restlichen Einheitsmatrix befinden sich auf der Diagonalen die Einträge aus meinem ersten Beitrag?
Danke nochmal.
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Hallo nochmal,
> Hmm..mal schaun, ob ich das jetzt richtig verstanden hab.
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> > [mm]\operatorname{Bild}(\pi)[/mm] ist wie gesagt "nur" [mm]m [/mm]-dimensional
>
> Bin irgendwie durcheinander. Dann sinds aber doch alle
> Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] m-1???
Ja!
>
> > Nein, die Abbildungsmatrix (zu gegebenen Basen) einer
> linearen Abb. von > einem [mm]n [/mm]-dimensionalen in einen [mm]m [/mm]-dimensionalen
> VR ist vom
> > Format [mm]m\times n[/mm]
>
> Ok, stimmt, das versteh ich, dann ist das Format natürlich
> m x m+1.
Genau!
>
> Aber dann waren meine Einträge an sich im ersten Beitrag
> nicht so verkehrt, also z.B. 2* 1/x. ?
Doch, grottenverkehrt!
Die Einträge in der Abbildungsmatrix sind reelle Zahlen!!
> Dann ist die erste
> Spalte eine "Nullspalte" sozusagen und der restlichen
> Einheitsmatrix befinden sich auf der Diagonalen die
> Einträge aus meinem ersten Beitrag?
Nee, für die 2.Spalte nimmst du den 2ten Basisvektor aus der Basis von V her, das ist [mm]x[/mm]
Der wird unter [mm]\pi[/mm] abgebildet auf [mm]\pi(x)=1[/mm]
Und das stellen wir als LK der Basis des Bildes, also von [mm]1,x,..,x^{m-1}[/mm] dar:
[mm]1=1\cdot{}1+0\cdot{}x+0\cdot{}x^2+...+0\cdot{}x^{m-1}[/mm]
Also 2.Spalte [mm]\vektor{1\\
0\\
0\\
\vdots\\
0}[/mm]
3.Spalte: [mm]\pi(x^2)=2x=0\cdot{}1+2\cdot{}x+0\cdot{}x^2+...+0\cdot{}x^{m-1}[/mm], also [mm]\vektor{0\\
2\\
0\\
0\\
\vdots\\
0}[/mm]
usw.
Gruß
schachuzipus
> Danke nochmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mo 30.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Doch, grottenverkehrt!
Sry xD Aber jetzt hab ichs verstanden, glaub ich zumindest. Ich versuch mal, die b.2 zu machen. Da ist die Basis nämlich.
1,x [mm] \bruch{1}{2!}x^{2},...,\bruch{1}{m!}x^{m}
[/mm]
Wieder ist die Matrix vom Format m+1 x m
Denn m+1 [mm] \maptso [/mm] m (nur die Idee)
Dann wäre die erste Spalte nur aus 0 bestehend, die zweite Spalte hätte eine 1 in der ersten Zeile, die dritte Spalte eine 1 in der zweiten Zeile, die vierte Spalte 1/4 in der dritten Zeile, ...
Stimmt das?
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Hallo nochmal,
> > Doch, grottenverkehrt!
>
> Sry xD Aber jetzt hab ichs verstanden, glaub ich zumindest.
> Ich versuch mal, die b.2 zu machen. Da ist die Basis
> nämlich.
>
> 1,x [mm]\bruch{1}{2!}x^{2},...,\bruch{1}{m!}x^{m}[/mm]
>
> Wieder ist die Matrix vom Format m+1 x m
Jo
>
> Denn m+1 [mm]\maptso[/mm] m (nur die Idee)
>
> Dann wäre die erste Spalte nur aus 0 bestehend, die zweite
> Spalte hätte eine 1 in der ersten Zeile, die dritte Spalte
> eine 1 in der zweiten Zeile,![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> die vierte Spalte 1/4 in der
> dritten Zeile, ...
Sicher? Es ist doch [mm]\pi\left(\frac{1}{3!}x^3\right)=\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2!}x^2=0\cdot{}1+0\cdot{}x+\red{1}\cdot{}\frac{1}{2!}x^2+0\cdot{}...[/mm]
Also [mm]\vektor{0\\
0\\
1\\
0\\
\vdots\\
0}[/mm]
>
> Stimmt das?
>
>
Fast
Gruß
schachuzipus
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