Kern bestimmen + ONB bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Fr 20.01.2012 | | Autor: | nick55 |
| Aufgabe | | Finden Sie eine Orthonormalbasis des Kerns von L: [mm] \IR^3 [/mm] → [mm] \IR, \vektor{x \\ y \\ z } \mapsto [/mm] 2x + y + 3z. |
Eine Orthonormalbasis bilden bekomme ich eigentlich hin. Nur kann ich hier keine Basis des Kerns finden.
Ich bin bis jetzt so vorgegangen:
L(v) = 0
2x + y + 3z = 0
[mm] \gdw [/mm] 2x +y = -3z [mm] \vee [/mm] 2x +3z = y [mm] \vee [/mm] y +3z = -2x
Kern(L) = [mm] \{ \vektor{x \\ y \\ z } | 2x +y = -3z \vee 2x +3z = y \vee y +3z = -2x\} [/mm] = { [mm] Span\{\vektor{2 \\ 1 \\ -3 }\}, Span\{\vektor{-2 \\ 1 \\ 3 }\}, Span\{\ \vektor{2 \\ -1 \\ 3 }}\}
[/mm]
Ich habe also 3 Mengen die zusammen den Kern bilden, aber linear kombinieren kann ich die Basen davon ja nicht, da ich ja sonst noch auf Elemente außerhalb des Kerns komme. Wie gebe ich da nun korrekt eine Basis an?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank für eure Hilfe
|
|
| |
|
2x + y + 3z = 0
wenn du nur dies betrachtest, hast du doch den Kern
span [mm] (\vektor{2 \\ 1 \\ 3}) [/mm] dementsprechend Basis ist dieser eine Vektor.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Fr 20.01.2012 | | Autor: | nick55 |
Nochmal zu Verständnis: wenn ich Elemente des Kerns einsetze muss das Ergebnis der Nullvektor sein. Wenn du mir jetzt sagst, Spann $ [mm] (\vektor{2 \\ 1 \\ 3}) [/mm] $ sei der Kern, dann geht das Ganze doch nur auf, wenn ich mit 0 multipliziere, der Spann bedeutet aber doch ich kann mit allem multiplizieren und 2*2 + 1*1 +3*3 ist sicher nicht Null.
Entweder ich blick garnichts oder die antwort stimmt so nicht.
|
|
|
| |
|
woops mein fehler.
so sieht der span aus
( x [mm] \* \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] y\* \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + z [mm] \*\vektor{0 \\ 0 \\ 3} [/mm] )
du hast 3 Variablen da stehen. und hast wieviele Möglichkeiten, dieses Gleichungssystem aufzulösen, sprich rechts gleich 0 noch setzt? (sprich reelle werte für x,y,z)
|
|
|
| |
|
ein vektor der Basis des Kerns wäre beispielsweise
[mm] \vektor{0 \\ 3 \\ -1}
[/mm]
oder auch
[mm] \vektor{1 \\ 1\\ -1}
[/mm]
dir fällt bestimmt noch was ein!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Fr 20.01.2012 | | Autor: | nick55 |
also wenn ich
den von dir angegebenen spann ausrechne/vereinfache komme ich auf [mm] \vektor{2x \\ y \\ 3z} [/mm] und das ist sicher auch nicht der Kern. Denn wenn ich z=x=y=1 wähle, was ich da ja machen kann kommt nicht null raus.
sorry, aber irgendwas machst du hier falsch.
|
|
|
| |
|
weißt du überhaupt wie die Basis eines Kerns aussieht?
du suchst nach der kombination von x,y,z ,sodass sie in der gleichung 0 ergeben.
ist klar wenn du x=y=z = 1 wählst, dass da nicht 0 rauskommt. Sollst du auch nicht. nimm mal zum Beispiel meine Kombinationen...
damit kommst du auf 0. du weißt dass es so gemeint ist oder?
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \* \vektor{2 \\ 1 \\ 3} [/mm] = 0, deshalb stimmen meine vektoren auch. das sind übrigens nicht alle, aber den rest schaffst du schon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Fr 20.01.2012 | | Autor: | nick55 |
ok also wenn ich jetzt das oben von dir genannte Gleichungssystem nullsetze gibt es ja unendlich viele Möglichkeiten und unter denen such ich mir (3?) linear unabhängige raus, die somit alle anderen als Linearkombination darstellen können?
|
|
|
| |
|
die basis des kerns ist
B = ( [mm] \vektor{1 \\ 1\\-1}, \vektor{0 \\ -3\\1}, \vektor{3 \\ 0 \\ -2}, \vektor{1 \\ -2\\ 0} [/mm] )
der Kern dann natürlich der span dieser Vektoren.
solltest du eine Orthormalbasis oder eine Orthogonalbasis finden?
Wenn Orthonormalbasis würd ich gram schmidt anwenden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Fr 20.01.2012 | | Autor: | nick55 |
ich soll eine orthoNORMALbasis bilden aber das schaf ich, sofern die von dir geschriebene basis stimmt ;)
eine frage noch: mit dem Dimensionssatz müsste [mm] dim(\IR^3) [/mm] dann ja [mm] \ge [/mm] 3 sein und das geht nicht, oder lieg ich da falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 So 22.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du denn jetzt eine Basis?
dann nimm einen der baisvektoren und mach ihn 1 lang, inden du durch seinen Betrag teilsz. dann kennst du ds Gram-scmittvefahren, oder suchs eine Kombinaion, von b1 und b2 die auf [mm] b_1 [/mm] senkrecht steht,
wiesst du wie das geht?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:33 Mo 23.01.2012 | | Autor: | nick55 |
ich war leider am wochenende völlig beschäftigt und setzte mich morgen nochmal mit ein paar leuten aus der uni zusammen. vermutlich hab ichs mir nur viel zu schwer gemacht. danke schonmal für die ganzen hilfreichen ansätze. ich nehme mal an der kern hat 2 basisvektoren und das gram-schmidtsche ONV bekomm ich hin.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 18:27 Fr 20.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Basis ist die minimalzahl der lin unabh. vektoren, hier also nur 3
aber Span der 4 Vektoren ist natürlich richtig.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Fr 20.01.2012 | | Autor: | chesn |
Hab mir mal Gedanken gemacht.. weiss nicht obs dir weiter hilft.. :D
2x+y+3z=0 => 2x+y=-3z => [mm] z=-\bruch{2}{3}x-\bruch{1}{3}y
[/mm]
Jetzt wähle x=s und y=t mit s,t [mm] \in \IR.
[/mm]
Dann bekommst du einen Vektor [mm] \pmat{s \\ t \\-\bruch{2}{3}s-\bruch{1}{3}t}
[/mm]
Alle Vektoren aus dem Kern lassen sich dann so darstellen. Denn:
[mm] 2s+t+3*(-\bruch{2}{3}s-\bruch{1}{3}t)=0
[/mm]
Gruß
chesn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Fr 20.01.2012 | | Autor: | nick55 |
naja wenn du da die 3 in die klammer ziehst (ausmultiplizierst) steht da 2s +t -2s -t = 0 also 0=0 und das hilft nich gar so viel.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Fr 20.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo Nich.
der kern ist ja ein VR und in dem sind immer unendlich viele Vektoren. du musst dir von den vielen die maximalzahl lin unabhängiger aussuchen
setze etwa z=s, y=t dann bestimme x. jetzt kannst du enmal s=0 und einmal t=0 nehmen . sind die 2 dann lin unabh? gibts noch einen dritten?
Wenn nicht hast du 2 basisvektoren. dann mach daraus ne Orthonormalbasis.
gruss leduart
|
|
|
|
