Kern einer Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:32 Mo 19.01.2004 | | Autor: | Dine |
Hallöle!
Kann mir jemand erklären, was genau der Kern f einer linearen Abbildung f ist und wie man die Basis des Kerns bestimmt? Ich dachte nämlich der Kern wäre immer {0}, und somit seine Basis die leere Menge.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:00 Mo 19.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Dine,
willkommen im MatheRaum  !
> Kann mir jemand erklären, was genau der Kern f einer
> linearen Abbildung f ist und wie man die Basis des Kerns
> bestimmt? Ich dachte nämlich der Kern wäre immer {0}, und
> somit seine Basis die leere Menge.
Für eine lineare Abbildung (V, W Vektorräume)
[mm] \begin{array}{cccl}
f: & V & \to & W \\
& x&\mapsto& y=f(x)\end{array}[/mm]
ist der Kern definiert als:
[mm] \Kern f := \left\{ x\in V | f(x)=0 \right\} [/mm]
In Worten: Der Kern ist die Menge aller Vektoren der Urbildmenge, die auf den Nullvektor (der Bildmenge) abgebildet werden.
Man kann leicht zeigen, dass der Kern wieder die Struktur eines Vektorraums hat.
Wie man nun die Basis dieses Untervektorraums bestimmt, hängt natürlich von der konkreten Aufgabenstellung ab; manchmal ist es schwieriger, manchmal leichter Hast du vielleicht eine konkrete Aufgabe da, bei der du Probleme hast?
Häufig geht es aber so ganz gut, dass man zunächst die Dimension des Kerns bestimmt, zum Beispiel über diese Beziehung (im Falle endlich-dimensionaler VR):
[mm] \dim V = \dim \Kern f + \dim \Bild f [/mm]
Wenn man die Dimension kennt, muß man dann "nur" noch [mm]\dim \Kern f[/mm]-viele linear unabhängige Vektoren finden, die dann eine Basis bilden.
Bitte frage nach, wenn es noch weitere Probleme gibt
Alles Gute,
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mo 19.01.2004 | | Autor: | Dine |
Ja erstmal Dankeschön!!
Habe das glaube ich verstanden!
Die aufgabe ist:
Bestimme die basis von Kern f und Bild f von der Abbildung: f: R5 nach R5,
[mm]\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}[/mm] nach
[mm] \begin{pmatrix} x_1+2*x_2+x_3+2*x_4+x_5 \\ x_1+2*x_2+4*x_3+8*x_4+16*x_5\\6*x_1+8*x_2+6*x_3+8*x_4+6*x_5\\x_1+2*x_2+4*x_3+8*x_4+16*x_5\\7*x_1+10*x_2+7*x_3+10*x_4+7*x_5 \end{pmatrix} [/mm] .
Mein Ergebnis für die Basis von Kernf lautet nun (-4 5 0 -1 0) , ( -2 2 1 0 -1)! Ist das denn richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Mo 19.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Dine,
mmh, das kann nicht stimmen, denn deine beiden Basisvektoren werden nicht auf 0 abgebildet.
Könntest du bitte noch (kurz) schreiben, wie du darauf gekommen bist? Interessant wäre der Ansatz...
Bis gleich,
Marc.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Mo 19.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Dine,
weißt du denn, wie man die Basis von [mm]Kern(f)[/mm] bestimmt?
Schreibe die Darstellungsmatrix von [mm]f[/mm] auf und darunter die [mm]5 \times 5[/mm]-Einheitsmatrix. Bringe die obere (Darstellungs-)Matrix durch elementare Spaltenumformungen auf Spaltenstufenform und führe parallel die gleichen elementaren Spaltenumformungen an der Einheitsmatix durch.
Die neuen Spalten der unteren (ehemaligen Einheits-)Matrix, die unter den (durch die Spaltenumformungen entstandenen) Nullspalten der oberen Matrix stehen, bilden eine Basis von [mm]Kern(f)[/mm].
Alles Gute
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Mo 19.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Dine,
ich denke du hast alles richtig gemacht, nur die Spaltenvertauschungen nicht an der Einheitsmatrix durchgeführt. Kann das sein? 
Statt
>[mm]\{(-4, 5, 0, -1, 0)^T, ( -2, 2, 1, 0, -1)^T\}[/mm]
lautet (eine mögliche) Basis nämlich (wenn man es so macht, wie von mir beschrieben, was ich gerade getan habe):
[mm]\{(-4, 0, 5, 0, -1)^T, ( -2, 1, 2, -1, 0)^T\}[/mm]
Damit sollte dann alles geklärt sein.
Oder?
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Mo 19.01.2004 | | Autor: | Dine |
Ersteinmal ein Dankeschön an Mark und Stefan!
Hatte mich bei den Spaltenvertauschungen ein wenig verrechnet! Jetzt ist aber alles klar! Habe jetzt auch das richtige Ergebnis!!
Schöne Grüße Dine
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