Kern einer Abbildung bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Di 23.06.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bestimme den Kern der Abbildung:
A = [mm] \begin{pmatrix}
6 & 6 & 3 \\
0 & -6 & 0 \\
4 & 0 & 2
\end{pmatrix} [/mm] |
Hallo Zusammen,
der Kern einer Abbildung, ist diejenige Menge aller Vektoren des Definitiosraumes, die unter f auf Null des Zielraumes abgebildet werden. Somit ist der Kern ein Untervektorraum des Definitionsraumes.
Durch das homogene lineare Gleichungssystem Ax = 0, lässt sich der Kern bestimmen. Daraus folgt:
[mm] \begin{pmatrix}
6 & 6 & 3 & 0\\
0 & -6 & 0 & 0\\
4 & 0 & 2 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Nach zwei Umformungen erhalte ich:
[mm] \begin{pmatrix}
6 & 6 & 3 & 0\\
0 & -6 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
3. Zeile: eine Unbekannte kann frei gewählt werden, in diesem Fall z -> z = z, z [mm] \in \IR
[/mm]
2. Zeile: -6y = 0 -> y = 0
1. Zeile: 6x+3z = 0 -> x = [mm] -\bruch{1}{2}z
[/mm]
Also lautet der Kern(A) = z [mm] \cdot{} \begin{pmatrix} -0,5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] , z [mm] \in \IR. [/mm] Geometrisch stellt dies eine Gerade dar.
Würde diese Lösung des Kerns stimmen?
In der Vorlesung hatten wir berechnet, dass der Kern folgendermaßen aussieht:
Kern(A) = x [mm] \cdot{} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] , x [mm] \in \IR.
[/mm]
Anscheinend wurde irgendwie die letzte Zeile ignoriert, da dort nur Nullen stehen.
Gruß
itse
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> Bestimme den Kern der Abbildung:
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> A = [mm]\begin{pmatrix}
6 & 6 & 3 \\
0 & -6 & 0 \\
4 & 0 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Hallo Zusammen,
>
> der Kern einer Abbildung, ist diejenige Menge aller
> Vektoren des Definitiosraumes, die unter f auf Null des
> Zielraumes abgebildet werden. Somit ist der Kern ein
> Untervektorraum des Definitionsraumes.
>
> Durch das homogene lineare Gleichungssystem Ax = 0, lässt
> sich der Kern bestimmen. Daraus folgt:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
6 & 6 & 3 & 0\\
0 & -6 & 0 & 0\\
4 & 0 & 2 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Nach zwei Umformungen erhalte ich:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
6 & 6 & 3 & 0\\
0 & -6 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> 3. Zeile: eine Unbekannte kann frei gewählt werden, in
> diesem Fall z -> z = z, z [mm]\in \IR[/mm]
> 2. Zeile: -6y = 0 -> y =
> 0
> 1. Zeile: 6x+3z = 0 -> x = [mm]-\bruch{1}{2}z[/mm]
>
> Also lautet der Kern(A) = z [mm]\cdot{} \begin{pmatrix} -0,5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> , z [mm]\in \IR.[/mm] Geometrisch stellt dies eine Gerade dar.
>
> Würde diese Lösung des Kerns stimmen?
Hallo,
Dein Ergebnis stimmt.
>
>
> In der Vorlesung hatten wir berechnet, dass der Kern
> folgendermaßen aussieht:
>
> Kern(A) = x [mm]\cdot{} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]
> , x [mm]\in \IR.[/mm]
Dieses Ergebnis stimmt ebenfalls.
Es ist doch [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] lediglich ein Vielfaches "Deines " Vektors, also stimmen die beiden geraden überein.
Du kannst Dir auch überlegen, daß Du, wenn Dein z die kompletten reellen Zahlen durchläuft, Du dieselbe Menge von Vektoren erhältst, wie wenn das x Deiner Lösung die reellen Zahlen durchläuft.
Gruß v. Angela
>
> Anscheinend wurde irgendwie die letzte Zeile ignoriert, da
> dort nur Nullen stehen.
>
> Gruß
> itse
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