Kern einer linearen Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A [mm] \in [/mm] M [mm] (n\times [/mm] n, [mm] \IR) [/mm] und sei [mm] f_{A}: \IR^{n} \to \IR^{n} [/mm] mit x [mm] \mapsto [/mm] A*x die dazugehörige Abbildung.
Zeige, dass gilt: [mm] ker(f_{A})=ker(f_{A^{T}*A}) [/mm] |
Hallo zusammen!
Hier eine Aufgabe zu linearen Abbildungen. Ich verstehe was der Kern ist und verstehe auch die Abbildung.
Ich habe diese Behauptung an einer konkreten Matrix ausprobiert und es war richtig. Ich habe bewiesen, dass die beiden Kerne die gleiche Dimension haben, aber das heisst ja noch lang nicht das die beiden Kerne gleich sind.
Ich finde einfach keine Besonderheiten an der Multiplikation [mm] A^{T}*A. [/mm] Diese Matrix ist dann logischerweise symmetrisch, aber hilft mir das weiter?
Ich dachte dass vielleicht die Spaltenvektoren von [mm] A^{T}*A [/mm] ein Vielfaches der Spaltenvektoren von A sind, aber das ist auch nicht der Fall.
Kann mir jemand eine Hilfe geben? Ich glaube ich habe meine Ideen ausgeschöpft.
Wie immer, wenn es geht, keine vollständigen Lösungen senden.
Vielen Dank im Voraus.
Tschüss
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Internetforum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 So 14.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
du hast recht die Dimensionen alleine reichen nicht !
man koennte natuerlich auch beidseitige Inklusion versuchen, also zeigen, dass:
1) jeder Vektor v aus ker(A) auch in ker( $A^TA$ ) liegt
2) jeder Vektor v aus ker( $A^TA$ ) auch in ker(A) liegt
1) ist natuerlich recht einfach, aber bei 2) sehe ich jetzt nicht sofort einen Trick bei der Umformung..
(vielleicht jemand anderes?)
:-?
Aber es gibt auch einen anderen Weg:
Stichwort: Basis selber waehlen:
Bilde eine neue Basis B aus dem Kern von [mm] $f_A$ [/mm] und einer Basisergaenzung
(schreibe die Vektoren des Kerns aber von der Reihenfolge her nach hinten,also sei der Kern r-dimensional, dann sollen die letzten r Basisvektoren auf 0 abgebildet werden (und nur die !))
wie sieht jetzt A bzgl DIESER basis B aus?
wie sieht dann [mm] A^T [/mm] aus ?
und jetzt die fangfrage : wie sieht [mm] $A^T*A$ [/mm] aus (nach Falkschem Schema)?
(und was kann man daraus lernen ?!?)
viele Gruesse
DaMenge
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Danke dir vielmals.
Leider kann ich nir das noch nicht recht vorstellen. Nehmen wir ein konkretes Beispiel, nämlich die Telefonmatrix:
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7& 8 & 9}
[/mm]
Wenn man den Kern hier untersucht (Abb. sei [mm] x\mapsto [/mm] Ax), dann ist der Kern der span von [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 1}.
[/mm]
Ist das die Basis des Kerns? Wo soll ich da einen Zusammenhang mit A machen? Ich komme nicht ganz nach.
GorkyPark
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Mo 15.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7& 8 & 9}[/mm]
>
> Wenn man den Kern hier untersucht (Abb. sei [mm]x\mapsto[/mm] Ax),
> dann ist der Kern der span von [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 1}[/mm]
ok, ja das waere eine Basis des Kerns. und mit einer Basisergaenzung waere z.B. folgendes eine Basis (die Vektoren des Kerns anch hinten geschrieben):
[mm] $B=(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{1 \\ -2 \\ 1})$
[/mm]
so, wie sieht jetzt die Telefonmatrix bzgl Basis B aus?
wie sieht deren Transponierte aus?
was folgt dann fuer [mm] $A^T*A$ [/mm] (alles bzgl neuer Basis) ?
kannst du dies verallgemeinern zu einer beliebigen nxn Matrix?
wie sieht die Matrix nach solch einem Basiswechsel aus, wenn der Kern die Dimension r hat ?!? (und wie die Transponierte)
viele Gruesse
DaMenge
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Hallo nochmals,
vielen Dank für deine Mühe.
Aber ich komme nicht weiter. Ich kann zwar die Basis des Kerns ergänzen wie du gezeigt hast. Dann weiss ich, dass die Matrix A (die Spaltenvektoren) eine Linearkombination dieser Basis ist, aber dasselbe gilt auch für [mm] A^{T} [/mm] und [mm] A^{T}*A. [/mm] Was hilft mir das?
Ich glaube, du musst mir die ganze Wahrheit erzählen :D.
Dein GorkyPArk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Di 16.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
wie wärs mit
[mm] A^t [/mm] Ax=0 [mm] \Rightarrow
für die fehlende Inklusion.
Volker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Di 16.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi Volker,
ich hab deine Mitteilung mal als Antwort gesetzt, aber ich kann aus dem gedaechtnis nicht mehr sagen, ob alle deine Umformungen auch wirklich (ohne irgendwelche einschraenkungen) gelten.
Aber auf dem ersten Blick sieht es einfach nur wie die formale Schreibweise dessen aus, was ich auch vorgeschlagen habe..
(es wird halt nur vorausgesetzt, dass man alle umformungen kennt, die man bei mir noch berechnen muss)
aber ob die loesung stimmt und verwendet werden kann, muss ich mir ja nicht ueberlegen, sondern der Fragesteller
viele Gruesse
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Di 16.01.2007 | | Autor: | SEcki |
> ich hab deine Mitteilung mal als Antwort gesetzt, aber ich
> kann aus dem gedaechtnis nicht mehr sagen, ob alle deine
> Umformungen auch wirklich (ohne irgendwelche
> einschraenkungen) gelten.
Alles einwandfrei! Im zweifel nehme man als Skalarprodukt [m]x^t*x[/m], dann sieht man es sofort. Tiefere Theorie dahinter ist, dass die Transponierte die adjungierte (bzw. duale) Abbildung beschreibt.
> Aber auf dem ersten Blick sieht es einfach nur wie die
> formale Schreibweise dessen aus, was ich auch vorgeschlagen
> habe..
Naja, ohne dir auf den Schlips treten zu wollen - irgendwann sollte man ein bisschen Theorie verwenden. Ich verliere mich in dem, was du vor hast. Obiges ist knapp, präzise und elegant. Und man sieht auch noch, warum der Kern denn gleich sein muss!
> (es wird halt nur vorausgesetzt, dass man alle umformungen
> kennt, die man bei mir noch berechnen muss)
Im wesentlichen also [m](A*B)^t=B^t*A^t[/m] und [m]x^t*x=0\gdw x=0[/m], das war's ...
> aber ob die loesung stimmt und verwendet werden kann, muss
> ich mir ja nicht ueberlegen, sondern der Fragesteller
>
Stimmen tut sie 100%, was man verwenden muss, habe ich oben hin geschrieben.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Di 16.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
na gut, dann ein wenig mehr Hilfe:
wenn du die Basis wie oben beschrieben waehlst, dann sieht deine Matrix so aus:
[mm] $A=\Huge{\pmat{\* & & & | & 0\\ &\ddots & & | & 0\\ & & \* & | & 0\\}}$
[/mm]
wobei die letzten r Spalten NullSpalten sind (weil der Kern die Dimension r haben sollte) und die ersten (n-r) Spalten enthalten mindestens einen Eintrag ungleich 0.
entsprechend :
[mm] $A^T=\Huge{\pmat{\* & & \\ &\ddots & \\ & &\* \\ - & - & - \\ 0 & 0& 0}}$
[/mm]
(sorry, kann es gerade nicht schoener darstellen)
Jedenfalls kannst du nun [mm] $A^T*A$ [/mm] berechnen.
Wieviele und welche Nullspalten gibt es?
Und was ist mit den ersten (n-r) Spalten, wenn du weisst, dass in jeder der ersten (n-r) Spalten von A ein Eintrag [mm] $a_{ij}\not= [/mm] 0$ gibt und damit [mm] $a_{ji}\not= [/mm] 0$ in [mm] A^T
[/mm]
(betrachte die obere linke (n-r)x(n-r) untermatrix von [mm] $A^T*A$ [/mm] um zu sehen, dass die ersten (n-r) Spalten wirklich nicht 0 sind und somit der Kern von [mm] $f_{A^T*A}$ [/mm] auch nur durch die letzten r Basisvektoren bestimmt ist...)
kommst du damit weiter?
viele Gruesse
DaMenge
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Hey DaMenge!
Wiederum vielen Dank für deine Hilfestellung. Deine Matrizen sibnd verständlich.
Eine grundsätzliche Frage: Warum müssen die letzten r- Spalten (die Basis des Kerns) Nullspalten sein? Das habe ich nocht begriffen?
Kannst du es mir vielleicht am Beispiel der Telefonmatrix zeigen?
Gorky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Di 16.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal ganz shcnell,
> Eine grundsätzliche Frage: Warum müssen die letzten r-
> Spalten (die Basis des Kerns) Nullspalten sein? Das habe
> ich nocht begriffen?
weil die spalten der darstellungsmatrix immer die Bilder der Basisvektoren sind.
(und die Bilder von Vektoren des Kerns sind nunmal 0-Vektoren)
viele Grüße
DaMenge
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Guten Abend,
ich glaub' ich habs!!! Ich habe noch viel herumgerechnet um mir sicher zu sein.
Nur noch eine kleine Schwierigkeit, nämlich die absolut letzte Schlussfolgerung. Ich habe [mm] A^{t}*A [/mm] berechnet (in der darstellenden Matrix mit der neuen Basis) und habe gesehen, dass die Untermatrix [mm] (n-r)\times(n-r) [/mm] Einträge hat, die letzten r-Spalten bzw. r-Zeilen alle 0 sind.
die letzten r-Spalten dieser Multiplikation sind 0, genauso wie die letzten r-Spalten der darstellenden Matrix zu A. Kann ich daraus schliessen, dass die beiden Kerne gleich sind????
(Ich kenn mich eben bei darstellenden Matrizen noch nicht so aus, sie scheinen ziemlich wichtig zu sein; vielleicht könnte mir jemand den Sinn von darstellenden Matrizen nochmal erläutern, berechnen kann ich sie!)
Ansonsten vielen Dank an dich DaMenge!!
GorkyPArk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Mi 17.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> die letzten r-Spalten dieser Multiplikation sind 0, genauso
> wie die letzten r-Spalten der darstellenden Matrix zu A.
> Kann ich daraus schliessen, dass die beiden Kerne gleich
> sind????
ja genau, denn in der darstellenden Matrix von [mm] $f_{A^T*A}$ [/mm] bzgl derselben Basis sind die letzten r Spalten wieder Nullspalten, also sind die letzten r Basisvektoren eine Basis des Kerns.
(wenn man noch bedenkt, dass die ersten (n-r) Basisvektoren NICHT auf die 0 abgebildet werden, denn die Spalten enthalten ja noch einträge ungleich 0)
zum thema empfehle ich natürlich den Artikel :  Darstellungsmatrix
aber so richtig weiß ich gar nicht, wo man mit einer Erklärung anfangen soll
(ist ja schon was umfangreich und wird überall verwendet)
also wenn du durch den Artikel Fragen zum thema hast oder dir auch sonst irgendwelche spezielle Fragen einfalle, kannst du sie natürlich gerne mal stellen..
(aber am besten in einem eigenen Thread)
viele Grüße
DaMenge
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