Kern(f) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 So 10.05.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | V n-dimensionaler Vektorraum und [mm] f:V\rightarrow [/mm] V Endomorphismus.
Zeige: Ist [mm] f^2 =0\Rightarrow dimBild(f)\leq [/mm] n/2 |
Hallo,
Ich muss da mit der Dimensionsformel ran. Also dimV=dimKern(f)+dimBild(f).
Jetzt weiß ich, dass [mm] f^2=0, [/mm] also [mm] f^2 \in [/mm] Kern(f). Aber welche Dimension hat dann der Kern(f). Ich muss am Ende ja irgendwie für den Rang [mm] \leq [/mm] n/2 rausbekommen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 So 10.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich muss da mit der Dimensionsformel ran. Also
> dimV=dimKern(f)+dimBild(f).
Ich werf eine zweite als Hilfe rein: f kann man auch wieder auf Bild(f) einschränken und hat damit eine Dimensionsformel für [m]f^2[/m]: [m]dim(Bild(f))=dim(\underbrace{Ker(f^2)}_{\subset Ker(f)})+dim(\underbrace{Im(f^2)}_{=0})[/m], damit hast du schnell eine Formel für den Kern und damit für das Bild.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 So 10.05.2009 | | Autor: | Unk |
Okay, ich checke das aber noch nicht so ganz.
Mit
[mm] dim(Bild(f))=dim(\underbrace{Ker(f^2)}_{\subset Ker(f)})+dim(\underbrace{Im(f^2)}_{=0}) [/mm]
habe ich, dass [mm] dimBild(f)=dim(Ker(f^2)) [/mm]. Dann könnte ich das in die Ausgangsformel einsetzen und es folgt:
[mm] dimV=dimKer(f)+dim(Ker(f^2)). [/mm] Aber dann stehe ich wieder auf dem Schlauch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 So 10.05.2009 | | Autor: | Unk |
> habe ich, dass [mm]dimBild(f)=dim(Ker(f^2)) [/mm]. Dann könnte ich
> das in die Ausgangsformel einsetzen und es folgt:
> [mm]dimV=dimKer(f)+dim(Ker(f^2)).[/mm] Aber dann stehe ich wieder
> auf dem Schlauch.
>
Kann ich das überhaupt so machen? Wie macht man es richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Mo 11.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> habe ich, dass [mm]dimBild(f)=dim(Ker(f^2)) [/mm]. Dann könnte ich
> das in die Ausgangsformel einsetzen und es folgt:
Ja.
> [mm]dimV=dimKer(f)+dim(Ker(f^2)).[/mm] Aber dann stehe ich wieder
> auf dem Schlauch.
[m]Ker(f^2)\subset Ker(f)[/m]. Jetzt brüte mal drüber nach, wie man das verwenden kann.
SEcki
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> > [mm]dimV=dimKer(f)+dim(Ker(f^2)).[/mm] Aber dann stehe ich wieder
> > auf dem Schlauch.
>
> [m]Ker(f^2)\subset Ker(f)[/m]. Jetzt brüte mal drüber nach, wie
> man das verwenden kann.
>
> SEcki
Meinst du so:
[mm] dimV=dimKer(f)+dimKer(f^{2})\leq2\cdot\mbox{dimKer(f)}\Rightarrow\frac{dimV}{2}\leq [/mm] dimKer(f)
dann mit [mm] dimV=n\Rightarrow dimKer(f)\geq\frac{n}{2}.
[/mm]
Damit folgt dann sofort:
[mm] dimBild(f)=dimKer(f^{2})\leq [/mm] dimKer(f)
Dann hab ich irgendwo ein Problem mit dem größer gleich bzw kleiner gleich. Ich sehe es aber gerade nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Mo 11.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> [mm]dimV=dimKer(f)+dimKer(f^{2})\leq2\cdot\mbox{dimKer(f)}\Rightarrow\frac{dimV}{2}\leq[/mm]
> dimKer(f)
>
> dann mit [mm]dimV=n\Rightarrow dimKer(f)\geq\frac{n}{2}.[/mm]
Ja.
> Damit folgt dann sofort:
>
> [mm]dimBild(f)=dimKer(f^{2})\leq[/mm] dimKer(f)
Ja, das muss man wieder in die ursprüngliche Dim.formel einsetzen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:19 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Sei [mm] t\leq\frac{n}{2} [/mm] eine natürliche Zahl. [mm] \textbf{Aufgabe:} [/mm] Konstruiere einen Endomorphismus [mm] f:K^{n}\rightarrow K^{n} [/mm] mit [mm] f^{2}=0 [/mm] und dimBild(f)=t. |
Hallo,
danke für die Hilfe bei dem ersten Teil. Jetzt habe selbst ich es rausbekommen.
Nun gibt es einen neuen Aufgabenteil. Wenn ich da einen Endomorphismus konstruieren soll, was muss ich da genau machen. Soll ich eine Matrix finden, sodass [mm] A^2=0. [/mm] Aber es wird ja eigentlich nicht nach einer Darstellungsmatrix gefragt. Ich weiß auch nicht wie ich die dimBild(f) mit in die Konstruktion des Endomorphismus einbeziehen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:52 Mo 11.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Nun gibt es einen neuen Aufgabenteil. Wenn ich da einen
> Endomorphismus konstruieren soll, was muss ich da genau
> machen.
Da gibt es viele Wege - du sollst halt einen angeben!
> Soll ich eine Matrix finden, sodass [mm]A^2=0.[/mm] Aber es
> wird ja eigentlich nicht nach einer Darstellungsmatrix
> gefragt.
Du kannst und darfst das sicher machen, wenn der Rang der Matrix eben t ist.
> Ich weiß auch nicht wie ich die dimBild(f) mit in
> die Konstruktion des Endomorphismus einbeziehen kann?
Das Bild soll halt Dimension t haben, also der Endo Rang t. Du kannst dir ja mal ne Basis nehmen, und dann den Endo durch Angabe der Bilder angeben. Am besten so, dass das Bild Dimension t hat, aber das Quadrat 0. Dazu sollte man die Basis wohl in zwei Teile teilen - eines mit Länge t, eines mit anderer Länge.
SEcki
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Ich betrachte nun mal [mm] \mathbb{R}^4, [/mm] um es besser notieren zu können.
Wenn ich dann einfach die Matrix A als Darstellungsmatrix nehme, mit
[mm] A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
[/mm]
dann ist [mm] rg(A)=2\leq [/mm] n/2. Also im allgemeinen Fall dann t und [mm] A^2=0.
[/mm]
Kann man das so machen? Erscheint mir irgendwie zu primitiv. Den anderen Weg, den du beschrieben hast kann ich nicht nachvollziehen.
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> Ich betrachte nun mal [mm]\mathbb{R}^4,[/mm] um es besser notieren
> zu können.
> Wenn ich dann einfach die Matrix A als Darstellungsmatrix
> nehme, mit
> [mm]A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>
> dann ist [mm]rg(A)=2\leq[/mm] n/2. Also im allgemeinen Fall dann t
> und [mm]A^2=0.[/mm]
> Kann man das so machen? Erscheint mir irgendwie zu
> primitiv. Den anderen Weg, den du beschrieben hast kann ich
> nicht nachvollziehen.
Hallo,
Du hast die Aufgabe jetzt für einen speziellen Fall gelöst, nämlich für n=4 und für t=2. (Irgenwas wirst Du Dir ja dabei gedacht haben, oder ist das ein Zufallsprodukt?)
Nimm nun den allgemeinen Fall [mm] t\le \bruch{n}{2}, [/mm] dim Bild(f)=t.
Daraus folgt ja, daß die Dimension des Kerns= n-t ist, und ich würde nun mal eine Basis verwenden, die durch Erweiterung einer Basis des Kerns entstanden ist.
Sei [mm] b_1,...,b_t,\underbrace{b_{t+1},...,b_n}_{Basis\quad des\quad Kerns} [/mm] so eine Basis.
Nun definiere die Abbildung f so, daß das Bild sicher die Dimension t hat, und [mm] f^2=0 [/mm] ergibt.
[mm] b_1\mapsto [/mm] ...
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] b_t\mapsto [/mm] ...
---
[mm] b_{t+1}\mapsto [/mm] ...
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] b_n\mapsto [/mm] ...
Gruß v. Angela
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> > Ich betrachte nun mal [mm]\mathbb{R}^4,[/mm] um es besser notieren
> > zu können.
> > Wenn ich dann einfach die Matrix A als
> Darstellungsmatrix
> > nehme, mit
> > [mm]A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > dann ist [mm]rg(A)=2\leq[/mm] n/2. Also im allgemeinen Fall dann t
> > und [mm]A^2=0.[/mm]
> > Kann man das so machen? Erscheint mir irgendwie zu
> > primitiv. Den anderen Weg, den du beschrieben hast kann ich
> > nicht nachvollziehen.
>
> Hallo,
>
> Du hast die Aufgabe jetzt für einen speziellen Fall gelöst,
> nämlich für n=4 und für t=2. (Irgenwas wirst Du Dir ja
> dabei gedacht haben, oder ist das ein Zufallsprodukt?)
>
Ich denke mir ja immer irgendwas dabei. Meistens hilft es schon, einen Spezialfall zu betrachten und dann zu verallgemeinern.
> [mm]b_1\mapsto[/mm] ...
>
> [mm]\vdots[/mm]
>
> [mm]b_t\mapsto[/mm] ...
> ---
> [mm]b_{t+1}\mapsto[/mm] ...
>
> [mm]\vdots[/mm]
>
> [mm]b_n\mapsto[/mm] ...
>
> Gruß v. Angela
Die [mm] b_{t+1},...,b_{n} [/mm] werden unter f ja auf 0 abgebildet, weil sie im Kern liegen.
Dann könnte ich doch [mm] b_{1}\mapsto b_{t+1},\, b_{2}\mapsto b_{t+2} [/mm] usw. also allgemein [mm] b_{i}\mapsto b_{t+1} [/mm] für [mm] i\leq [/mm] t und [mm] b_{i}\mapsto0 [/mm] für i>t.
Dann ist [mm] f(f(b_{1}))=f(b_{t+1})=0 [/mm] und entsprechend für alle anderen Vektoren.
Liege ich damit richtig?
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> > [mm]b_1\mapsto[/mm] ...
> >
> > [mm]\vdots[/mm]
> >
> > [mm]b_t\mapsto[/mm] ...
> > ---
> > [mm]b_{t+1}\mapsto[/mm] ...
> >
> > [mm]\vdots[/mm]
> >
> > [mm]b_n\mapsto[/mm] ...
> >
>
> Die [mm]b_{t+1},...,b_{n}[/mm] werden unter f ja auf 0 abgebildet,
> weil sie im Kern liegen.
Hallo,
ja, die Basis hatten wir ja extra so ausgesucht.
>
> Dann könnte ich doch [mm]b_{1}\mapsto b_{t+1},\, b_{2}\mapsto b_{t+2}[/mm]
> usw. also allgemein [mm]b_{i}\mapsto b_{t+1}[/mm] für [mm]i\leq[/mm] t und
> [mm]b_{i}\mapsto0[/mm] für i>t.
>
> Dann ist [mm]f(f(b_{1}))=f(b_{t+1})=0[/mm] und entsprechend für alle
> anderen Vektoren.
>
> Liege ich damit richtig?
Ja.
Für Deine Chefs solltest Du sicherheitshalber noch erwähnen, daß das bild der Abbildung natürlich die Dimension t hat, weil ...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei [mm] f:V\rightarrow [/mm] V Endomorphismus mit Kern(f)=Bild(f).
Beweise:
Die Dimension von V ist gerade, z.B. dimV=2m und [mm] \exists [/mm] Basis [mm] {v_1,...,v_2m} [/mm] von V mit [mm] f(v_{2i-1}=v_{2i} [/mm] für [mm] 1\leq i\leq [/mm] n. |
Vielen Dank für die zahlreiche Hilfe bisher.
Ich habe nun noch einen letzten Aufgabenteil, zu dem ich mir schon folgendes überlegt habe:
Der erste Teil ist klar, da Kern=Bild sind die Dimensionen gleich. Wenn dann [mm] dimKern=m\in \mathbb{N} [/mm] ist, folgt es mit der Dimensionsformel.
Zu der Basis: Ich wollte begründen, dass sie existiert, indem ich eine Basis [mm] v_1,...,v_m [/mm] des Kerns betrachte und die dann nach Basisergänzungssatz zu einer Basis von V ergänze.
Dann bekomme ich aber Probleme, da dann nicht mehr [mm] f(v_{2i-1})=v_{2i} [/mm] ist. Also ist dieses Vorgehen scheinbar falsch. Aber wie kann ich es richtig machen?
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> Sei [mm]f:V\rightarrow[/mm] V Endomorphismus mit Kern(f)=Bild(f).
> Beweise:
> Die Dimension von V ist gerade, z.B. dimV=2m und [mm]\exists[/mm]
> Basis [mm]{v_1,...,v_2m}[/mm] von V mit [mm]f(v_{2i-1}=v_{2i}[/mm] für [mm]1\leq i\leq[/mm]
> n.
> Vielen Dank für die zahlreiche Hilfe bisher.
> Ich habe nun noch einen letzten Aufgabenteil, zu dem ich
> mir schon folgendes überlegt habe:
> Der erste Teil ist klar, da Kern=Bild sind die Dimensionen
> gleich. Wenn dann [mm]dimKern=m\in \mathbb{N}[/mm] ist, folgt es mit
> der Dimensionsformel.
> Zu der Basis: Ich wollte begründen, dass sie existiert,
> indem ich eine Basis [mm]v_1,...,v_m[/mm] des Kerns betrachte und
> die dann nach Basisergänzungssatz zu einer Basis von V
> ergänze.
Hallo,
das ist für den Anfang doch gar nicht schlecht.
[mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_m) [/mm] ist also eine Basis des Kerns.
Also
[mm] v_1\mapsto [/mm] 0
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] v_m\mapsto [/mm] 0.
Jetzt ist [mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_m) [/mm] ja auch eine Basis des Bildes, also gibt es [mm] c_i [/mm] mit [mm] f(c_i)=v_i, [/mm] i=1,...,m.
Überleg Dir, daß [mm] (v_1,...,v_m, c_1,...,c_m) [/mm] eine Basis von V ist.
Und nun sortierst Du Dir diese Basisvektoren passend.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Unk |
> Überleg Dir, daß [mm](v_1,...,v_m, c_1,...,c_m)[/mm] eine Basis von
> V ist.
Das folgt aus der Injektivität von f. Also habe ich wieder eine Basis.
> Und nun sortierst Du Dir diese Basisvektoren passend.
Damit komme ich trotz allem noch nicht so ganz weiter. Es macht noch nicht so ganz klick. Ich brauche noch etwas Hilfe...
>
> Gruß v. Angela
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> > Überleg Dir, daß [mm](v_1,...,v_m, c_1,...,c_m)[/mm] eine Basis von
> > V ist.
>
> Das folgt aus der Injektivität von f. Also habe ich wieder
> eine Basis.
>
> > Und nun sortierst Du Dir diese Basisvektoren passend.
>
> Damit komme ich trotz allem noch nicht so ganz weiter. Es
> macht noch nicht so ganz klick. Ich brauche noch etwas
> Hilfe...
Hallo,
hm. Noch mehr Hilfe? Das läuft auf den Kellner mit dem Silbertabett hinaus.
Du hast bisher
[mm] c_1\mapsto v_1
[/mm]
[mm] v_1\mapsto [/mm] 0
[mm] c_1\mapsto v_2
[/mm]
[mm] v_2\mapsto [/mm] 0
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] c_n\mapsto v_n
[/mm]
[mm] v_n\mapsto [/mm] 0.
Mach Dir jetzt 'ne neue Basis [mm] (b_1,...,b_2n), [/mm] für welche Du diese Vektoren so anordnest, daß sie tun, was sie sollen.
Also [mm] b_1:=
[/mm]
[mm] b_2:=
[/mm]
[mm] b_3:=
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] b_{2n}:=
[/mm]
Es soll ja immer ein ungerader auf den nachfolgenden geraden abgebildet werde
Gruß v. Angela
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