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| Aufgabe | Sei K ein Körper und seien V,W,X drei K-Vektorräume sowie [mm] f\in [/mm] L(V,W) und [mm] g\in [/mm] L(W,X). Zeigen Sie die folgende Aussagen:
1.) g injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] Kern(f) = Kern (g [mm] \circ [/mm] f)
2.) f surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] Bild(g) = Bild(g [mm] \circ [/mm] f) |
Guten Abend,
ich habe zu 1.) bisher nur einen kleinen Anfang, bei dem ich mir aber auch nicht sicher bin. Weiter komme ich leider nicht. Zu 2.) habe ich eine Lösung, weiß aber auch nicht, ob sie korrekt ist.
1.) Sei [mm] (w_1, ...,w_n) [/mm] Basis von W. Dann gilt für alle w [mm] \in [/mm] W: [mm] w=\summe_{i=1}^{n} \lambda_i w_i, (\lambda_i \in [/mm] K).
Dann gilt [mm] g(w)=g(\summe_{i=1}^{n} \lambda_i w_i)=\summe_{i=1}^{n}\lambda_i g(w_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i x_i [/mm] = x.
Da g injektiv ist, folgt [mm] x_i [/mm] = [mm] g(w_i). [/mm]
2.) Sei [mm] (v_1, [/mm] ... [mm] ,v_m) [/mm] Basis von V.
Dann gilt für alle [mm] v\in [/mm] V: [mm] v=\summe_{i=1}^{m} \mu_jv_j (\mu_j \in [/mm] K).
Da f linear ist, gilt [mm] f(v)=f(\summe_{j=1}^{n} \mu_j v_j)=\summe_{i=1}^{m}\mu_j f(v_j) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{m} \mu_j w_j [/mm] = w.
Da f surjektiv ist, gilt W = [mm] span(w_1, [/mm] ... [mm] ,w_m) [/mm] = Bild(f) = f(V).
Damit ist g(W) = Bild(g) = [mm] g(span(w_1, [/mm] ... [mm] ,w_m)) [/mm] = [mm] g(span(f(v_1), [/mm] ... [mm] ,f(v_m)) [/mm] = g(f(V)).
Also ist Bild(g) = Bild(g [mm] \circ [/mm] f).
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße
Alex
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo qwertz235,
willkommen im Forum! 
Ich habe eine ähnliche Frage bereits hier beantwortet. Lies dir den Artikel mal durch. Ich denke er beantwortet deine Frage hinreichend.
MfG
Ladon
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:53 Fr 02.01.2015 | | Autor: | qwertz235 |
Hallo Ladon,
vielen Dank, das hat mir sehr weitergeholfen.
Viele Grüße
Alex
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Das ist jetzt meine Lösung zur ersten Aufgabe. Ist das so korrekt?
Zu zeigen: [mm] Kern(f)\subseteq [/mm] Kern(g [mm] \circ [/mm] f).
Sei [mm] x\in [/mm] Kern(f). Dann ist [mm] f(x)=0_W. [/mm] Damit ist [mm] (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(0_W)=0_V, [/mm] also ist [mm] x\in [/mm] Kern(g [mm] \circ [/mm] f).
Zu zeigen: Kern(g [mm] \circ [/mm] f) [mm] \subseteq [/mm] Kern(f).
Sei [mm] x\in Kern(g\circ [/mm] f). Dann ist [mm] (g\circ f)(x)=g(f(x))=0_X. [/mm] Aufgrund der Injektivität von g gilt [mm] f(x)=O_W. [/mm] Damit ist [mm] x\in [/mm] Kern(f).
Viele Grüße
Alex
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Hallo,
Das ist genau richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Das freut mich, danke. Wie sieht es mit meiner Lösung zur zweiten Aufgabe aus?
Zu zeigen: [mm] Bild(g)\subseteq [/mm] Bild(g [mm] \circ [/mm] f).
Sei x [mm] \in [/mm] Bild(g). Dann existiert ein [mm] w\in [/mm] W mit g(w)=x. Wir wählen w:=f(v). Dann gilt g(w)=g(f(v))=x, also ist [mm] x\in [/mm] Bild(g [mm] \circ [/mm] f).
Zu zeigen: [mm] Bild(g\circ f)\subseteq [/mm] Bild(g).
Sei x [mm] \in [/mm] Bild(g [mm] \circ [/mm] f). Dann existiert ein [mm] v\in [/mm] V mit (g [mm] \circ [/mm] f)(v)=g(f(v))=x. Aufgrund der Surjektivität von f gilt f(v)=W. Also gilt g(f(v))=g(W)=x. Somit ist [mm] x\in [/mm] Bild(g).
Hier bin ich mir deutlich unsicherer, ob man das so machen darf.
Viele Grüße
Alex
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Fr 02.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Das freut mich, danke. Wie sieht es mit meiner Lösung zur
> zweiten Aufgabe aus?
>
Das sieht ganz gut aus. Aber die Surjektivitaet von $f$ wird im Beweisteil [mm] $Bild(g)\subseteq [/mm] Bild(g [mm] \circ [/mm] f)$ benoetigt, waehrend der Teil $Bild(g [mm] \circ f)\subseteq [/mm] Bild g$ auch ohne richtig ist. Versuche Dir das klarzumachen und korrigiere Deinen Beweis entsprechend. Dann wird er wohl voellig richtig werden.
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Ist es auch erlaubt, einfach zu sagen "wir wählen w:=f(v)"? Ich bin mir noch nicht ganz darüber im Klaren, wann man das machen darf. Ansonsten wäre das mein korrigierter Beweis:
Zu zeigen: [mm] Bild(g)\subseteq [/mm] Bild(g [mm] \circ [/mm] f).
Sei x [mm] \in [/mm] Bild(g). Dann existiert ein [mm] w\in [/mm] W mit g(w)=x. Da aufgrund der Surjektivität von f W=f(v) gilt, gilt auch [mm] w\in [/mm] f(v). Es existiert also ein [mm] v\in [/mm] V mit f(v)=w. Dann gilt g(w)=g(f(v))=x, also existiert ein [mm] v\in [/mm] V mit g(f(v))=x. Somit ist [mm] x\in [/mm] Bild(g [mm] \circ [/mm] f).
Zu zeigen: [mm] Bild(g\circ f)\subseteq [/mm] Bild(g).
Sei x [mm] \in [/mm] Bild(g [mm] \circ [/mm] f). Dann existiert ein [mm] v\in [/mm] V mit (g [mm] \circ [/mm] f)(v)=g(f(v))=x. Da [mm] f(v)\subseteq [/mm] W gilt, exisiert ein [mm] w\in [/mm] W mit f(v)=w. Also gilt (g [mm] \circ [/mm] f)(v)=g(f(v))=g(w)=x, also gibt es ein [mm] w\in [/mm] W mit f(w)=x. Somit ist [mm] x\in [/mm] Bild(g).
Viele Grüße
Alex
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> Ist es auch erlaubt, einfach zu sagen "wir wählen
> w:=f(v)"? Ich bin mir noch nicht ganz darüber im Klaren,
> wann man das machen darf. Ansonsten wäre das mein
> korrigierter Beweis:
>
> Zu zeigen: [mm]Bild(g)\subseteq[/mm] Bild(g [mm]\circ[/mm] f).
> Sei x [mm]\in[/mm] Bild(g). Dann existiert ein [mm]w\in[/mm] W mit g(w)=x. Da
> aufgrund der Surjektivität von f W=f(v) gilt,
Das "gilt" nicht, sondern man kann ein v wählen, sodass das gilt.
> gilt auch
> [mm]w\in[/mm] f(v). Es existiert also ein [mm]v\in[/mm] V mit f(v)=w.
Das ist die richtige Formulierung. Lass das darüber weg.
>Dann
> gilt g(w)=g(f(v))=x, also existiert ein [mm]v\in[/mm] V mit
> g(f(v))=x. Somit ist [mm]x\in[/mm] Bild(g [mm]\circ[/mm] f).
Genau
> Zu zeigen: [mm]Bild(g\circ f)\subseteq[/mm] Bild(g).
> Sei x [mm]\in[/mm] Bild(g [mm]\circ[/mm] f). Dann existiert ein [mm]v\in[/mm] V mit (g
> [mm]\circ[/mm] f)(v)=g(f(v))=x. Da [mm]f(v)\subseteq[/mm] W gilt, exisiert
> ein [mm]w\in[/mm] W mit f(v)=w.
Ja, nämlich f(v). Besser wäre hier, zu sagen, wir setzen w=f(v).
Also gilt (g [mm]\circ[/mm]
> f)(v)=g(f(v))=g(w)=x, also gibt es ein [mm]w\in[/mm] W mit f(w)=x.
> Somit ist [mm]x\in[/mm] Bild(g).
Genau
> Viele Grüße
> Alex
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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