Kern und Bild bestimmen HILFE < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 So 23.11.2008 | | Autor: | Pharao |
| Aufgabe | Die reelle 3x4 Matrix A:= -1 -5 2 -1
0 0 1 -1
-1 -5 3 -2
Kann als lineare Abbildung von [mm] R^4 [/mm] nach [mm] R^3 [/mm] aufgefasst werden
[mm] R^4->R^3
[/mm]
A Vektor v -> A Vektor v
Multiple choice
der kern von A hat di Dimension 0, 1, 2, 3 bei jedem wert ja oder nein ankreuzen.
Das Bild von A hat die Dimension 0, 1, 2, 3 erneut bei jedem wert ja odr nein einzeln ankreuzen.
die folgenden vektoren sind eine basis des bildes A
2 1
1 0
3 und 1
2 1
1 0
-1 -1
2 und 0
erneut ja oder nein ankreuzen
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zunächst einmal entschuldigung für die schreibweise, ist mein erster eintrag und besuch hier.
komme leider gar nicht weiter und das wurde in der uni auch ziemlich übersprungen, bitte daher um hilfe.
wie kann ich das bild und den kern von der matrix bestimmen?
vielen dank schoneinmal
PS: stehe wirklich auf dem schlauch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Pharao und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Klicke mal im weiteren auf die Formeln, ich habe sie mal richtig hingeschrieben.
Unter dem Eingabefenster ist ne ganze Palette von mathemat. Zeichen und Formeln, einfach draufklicken und der code wird angezeigt!
> Die reelle [mm] $3\times [/mm] 4$ Matrix $A:= [mm] \pmat{-1&-5&2&-1\\0&0&1&-1\\-1&-5&3&-2}$
[/mm]
>
> Kann als lineare Abbildung von [mm] $\IR^4\to \IR^3$ [/mm] aufgefasst
> werden
>
> [mm] $\IR^4\to\IR^3$
[/mm]
> [mm] $\vec{v}\mapsto A\cdot{}\vec{v}$
[/mm]
>
> Multiple choice
>
> der kern von A hat di Dimension 0, 1, 2, 3 bei jedem wert
> ja oder nein ankreuzen.
>
> Das Bild von A hat die Dimension 0, 1, 2, 3 erneut bei
> jedem wert ja odr nein einzeln ankreuzen.
>
> die folgenden vektoren sind eine basis des bildes A
>
> [mm] $\vektor{2\\1\\3}$ [/mm] und [mm] $\vektor{1\\0\\1}$ [/mm]
>
>
> [mm] $\vektor{2\\1\\-1\\2}$ [/mm] und [mm] $\vektor{1\\0\\-1\\0}$ [/mm]
>
>
> erneut ja oder nein ankreuzen
>
>
> zunächst einmal entschuldigung für die schreibweise, ist
> mein erster eintrag und besuch hier.
> komme leider gar nicht weiter und das wurde in der uni
> auch ziemlich übersprungen, bitte daher um hilfe.
>
> wie kann ich das bild und den kern von der matrix
> bestimmen?
Zuerst schlage die Definitionen nach!!
Das sind zentrale Begriffe, und es ist sehr wichtig, dass du das hier kapierst!
Hier kurz und knapp:(schlage Details nach!!)
Der Kern(A) ist ein Unterraum des Urbildraumes, also hier des [mm] $\IR^4$, [/mm] das Bild(A) ist ein Unterraum des Zeilraumes, hier also des [mm] $\IR^3$
[/mm]
Die Spalten(vektoren) der Abbildungsmatrix spannen das Bild der linearen Abbildung auf.
Du musst also die max. Anzahl linear unabh. Spaltenvektoren von A bestimmen, das gibt die die Dimension des Bildes.
Eine konkrete Basis kannst bestimmen, wenn du entsprechend der errechneten Dimension des Bildes dir (linear unabh.) Spaltenvektoren der Matrix herausgreifst
Ein wichtiger Sachverhalt:
$Rang(A)=dim(Bild(A))$
Damit steht das Bild(A) und dessen Dimension
Dann gibts ne nette Dimensionsformel für lineare Abbildungen
[mm] $dim(Urbildraum)=dim(\IR^4)=4=dim(Kern(A))+dim(Bild(A))$
[/mm]
Wenn du also die $dim(Bild(A))$ hast, kannst du direkt die $dim(Kern(A))$ ablesen
Um eine Basis des Kernes anzugeben, bestimme die Lösungsgesamtheit von [mm] $A\cdot{}\vec{v}=\vec{0}$, [/mm] also von
[mm] $\pmat{-1&-5&2&-1\\0&0&1&-1\\-1&-5&3&-2}\cdot{}\vektor{v_1\\v_2\\v_3\\v_4}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
siehe Definition von "Kern"
> vielen dank schoneinmal
>
> PS: stehe wirklich auf dem schlauch
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Pharao |
vielen dank für die schnelle antwort,
habe mir noch einmal die definitionen angeschaut und einige antworten konnte ich nun geben, nur bin ich mir bei der basis des vektor noch nicht ganz inig, werde dies aber weiter bearbeiten.
vielen dank
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