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| Aufgabe | | Finden Sie alle natürlichen Zahlen n, sodass die Kettenbruchbruchdarstellung von [mm] \wurzel{n} [/mm] Periodenlänge 1 hat! |
Hallo zusammen!
Ich bin etwas ratlos was obige Aufgabe betrifft...
Wenn ich annehmen dürfte, dass die Periode beim zweiten Argument des Kettenbruchs beginnt, also [mm] K(a,\overline{b}), [/mm] dann hätte ich zumindest eine Idee für einen Ansatz, nämlich:
[mm] x=a+\bruch{1}{b+\bruch{1}{b+\bruch{...}}} [/mm]
Dann könnte ich etwas umformen und einsetzen:
[mm] x-a=\bruch{1}{b+\bruch{1}{b+\bruch{...}}} [/mm]
[mm] x-a=\bruch{1}{b+x-a}
[/mm]
Wenn ich das nach x auflöse erhalte ich:
[mm] x=\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2}
[/mm]
Damit weiß ich zwar auch noch nicht so genau was anzufangen, aber vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen?
Ich würde mich sehr freuen 
Vielen Dank schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 So 11.03.2012 | | Autor: | abakus |
> Finden Sie alle natürlichen Zahlen n, sodass die
> Kettenbruchbruchdarstellung von [mm]\wurzel{n}[/mm] Periodenlänge 1
> hat!
> Hallo zusammen!
>
> Ich bin etwas ratlos was obige Aufgabe betrifft...
>
> Wenn ich annehmen dürfte, dass die Periode beim zweiten
> Argument des Kettenbruchs beginnt, also [mm]K(a,\overline{b}),[/mm]
> dann hätte ich zumindest eine Idee für einen Ansatz,
> nämlich:
> [mm]x=a+\bruch{1}{b+\bruch{1}{b+\bruch{...}}}[/mm]
> Dann könnte ich etwas umformen und einsetzen:
>
> [mm]x-a=\bruch{1}{b+\bruch{1}{b+\bruch{...}}}[/mm]
>
> [mm]x-a=\bruch{1}{b+x-a}[/mm]
>
> Wenn ich das nach x auflöse erhalte ich:
> [mm]x=\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2}[/mm]
>
> Damit weiß ich zwar auch noch nicht so genau was
> anzufangen, aber vielleicht kann mir ja jemand von euch
> helfen?
> Ich würde mich sehr freuen
>
> Vielen Dank schon mal!
Hallo,
was du als "x" bezeichnest, müsste doch der zu entwickelnde Ausdruck [mm]\wurzel{n}[/mm] sein? Die Gleichung
[mm]\wurzel{n}=\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2}[/mm]
kann man quadrieren zu [mm]n=(\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2})^2[/mm], und jetzt müsste man schauen, für welche natürlichen Zahlen n man ein zugehöriges Paar (a,b) findet. Gruß Abakus
PS: Ich habe gerade mal etwas mit einer Tabellenkalkulation experimentiert und komme darauf, dass die Wurzeln von 2, 5, 10, 17, 26
... Kettenbrüche der Periodenlänge 1 besitzen.
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Vielen Dank für deine Antwort Abakus
Da hast natürlich Recht, was [mm] x=\wurzel{n} [/mm] angeht!
Das legt nahe, dass die gesuchten Zahlen die Form [mm] m^2+1 [/mm] haben...
Daraus folgt, dass b gerade sein muss, weil n soll ja eine ganze Zahl werden. Mhm. Wenn ich für b also 2c einsetze, komme ich auf
n=(a - c + [mm] \wurzel{c^2+1} )^2
[/mm]
Oh ich sehe gerade, wenn ich in die "alte" Formel $ [mm] x=\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2} [/mm] $
b = 2a setze, würde ich genau [mm] m^2+1 [/mm] herausbekommen... Das muss ich jetzt nur noch rechtfertigen....
Aaaah n soll ja ganz sein und in der zweiten Formel kommt eine Wurzel vor, die bei zufälliger Wahl von c sehr wahrscheinlich irrational ist.
Ah ok, ich glaub ich sehe es jetzt: Ich brauch die neue gekürzte Formel mit dem c gar nicht...
[mm] \wurzel{b^2+4} [/mm] ist immer irrational, weil [mm] b^2+4 [/mm] nie eine Quadratzahl sein kann, deshalb müssen sich das 2a und b löschen! Die Wurzel bleibt sonst beim Quadrieren immer.
Stimmt das so?
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Hallo schneckennudel91,
> Vielen Dank für deine Antwort Abakus
> Da hast natürlich Recht, was [mm]x=\wurzel{n}[/mm] angeht!
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> Das legt nahe, dass die gesuchten Zahlen die Form [mm]m^2+1[/mm]
> haben...
>
> Daraus folgt, dass b gerade sein muss, weil n soll ja eine
> ganze Zahl werden. Mhm. Wenn ich für b also 2c einsetze,
> komme ich auf
>
> n=(a - c + [mm]\wurzel{c^2+1} )^2[/mm]
>
> Oh ich sehe gerade, wenn ich in die "alte" Formel
> [mm]x=\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2}[/mm]
> b = 2a setze, würde ich genau [mm]m^2+1[/mm] herausbekommen...
> Das muss ich jetzt nur noch rechtfertigen....
>
> Aaaah n soll ja ganz sein und in der zweiten Formel kommt
> eine Wurzel vor, die bei zufälliger Wahl von c sehr
> wahrscheinlich irrational ist.
>
> Ah ok, ich glaub ich sehe es jetzt: Ich brauch die neue
> gekürzte Formel mit dem c gar nicht...
> [mm]\wurzel{b^2+4}[/mm] ist immer irrational, weil [mm]b^2+4[/mm] nie eine
> Quadratzahl sein kann, deshalb müssen sich das 2a und b
> löschen! Die Wurzel bleibt sonst beim Quadrieren immer.
>
> Stimmt das so?
>
Ja, das stimmt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Vielen Dank, MathePower, fürs Drüberschauen!
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Hallo abakus,
> > Finden Sie alle natürlichen Zahlen n, sodass die
> > Kettenbruchbruchdarstellung von [mm]\wurzel{n}[/mm] Periodenlänge 1
> > hat!
> > Hallo zusammen!
> >
> > Ich bin etwas ratlos was obige Aufgabe betrifft...
> >
> > Wenn ich annehmen dürfte, dass die Periode beim zweiten
> > Argument des Kettenbruchs beginnt, also [mm]K(a,\overline{b}),[/mm]
> > dann hätte ich zumindest eine Idee für einen Ansatz,
> > nämlich:
> > [mm]x=a+\bruch{1}{b+\bruch{1}{b+\bruch{...}}}[/mm]
> > Dann könnte ich etwas umformen und einsetzen:
> >
> > [mm]x-a=\bruch{1}{b+\bruch{1}{b+\bruch{...}}}[/mm]
> >
> > [mm]x-a=\bruch{1}{b+x-a}[/mm]
> >
> > Wenn ich das nach x auflöse erhalte ich:
> > [mm]x=\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2}[/mm]
> >
> > Damit weiß ich zwar auch noch nicht so genau was
> > anzufangen, aber vielleicht kann mir ja jemand von euch
> > helfen?
> > Ich würde mich sehr freuen
> >
> > Vielen Dank schon mal!
> Hallo,
> was du als "x" bezeichnest, müsste doch der zu
> entwickelnde Ausdruck [mm]\wurzel{n}[/mm] sein? Die Gleichung
> [mm]\wurzel{n}=\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2}[/mm]
> kann man quadrieren zu
> [mm]n=(\bruch{2a-b+\wurzel{b^2+4}}{2})^2[/mm], und jetzt müsste man
> schauen, für welche natürlichen Zahlen n man ein
> zugehöriges Paar (a,b) findet. Gruß Abakus
>
> PS: Ich habe gerade mal etwas mit einer Tabellenkalkulation
> experimentiert und komme darauf, dass die Wurzeln von 2, 5,
> 10, 17, 26
> ... Kettenbrüche der Periodenlänge 1 besitzen.
>
Die Wurzel von 26 besitzt bereits
einen Kettenbruch der Periodenlänge 2.
Eine fehlerhafte Interpretattion der Periodenlänge.meinerseits,
daher sind Deine ecperimentellen Werte richtig.
Gruss
MathePower
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