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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Di 27.04.2010 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | In der Kettenbruch-Darstellung
$$z = [mm] cfrac(a_{0}, a_1, \ldots, a_{n}, \xi/\eta)$$
[/mm]
seien [mm] $a_i, \xi, \eta \in \mathbb{R}$, $a_1, \ldots, a_n, \xi, \eta [/mm] > 0$. Dann gilt $z = x/y$, wobei $x, y [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] einen 2-dimensionalen Vektor $v$ bilden, der wie folgt definiert wird:
$$v = [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} [/mm] := [mm] A_0 \cdot A_1 \cdot \ldots \cdot A_n \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix}, [/mm] ~wobei~ [mm] A_i [/mm] := [mm] \begin{pmatrix} a_i & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, [/mm] i [mm] \in \mathbb{N}$$ [/mm] |
Hallo,
ich versuche den Beweis des obigen Lemmas zu verstehen, habe nur einen Schritt im Induktionsschritt nicht verstanden. Der Beweis sieht folgender aus
[mm] {\bf Beweis} [/mm] Durch Induktion nach n.
[mm] \textit{Induktionsanfang n = 0:}
[/mm]
$$z = [mm] cfrac(a_0, \xi/\eta) [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] \frac{\eta}{\xi} [/mm] = [mm] \frac{a_0 \xi + \eta}{\xi}.$$
[/mm]
Da [mm] $\begin{pmatrix} a_0 \xi + \eta \\ \xi \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a_0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix} [/mm] = [mm] A_0 \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix}$, [/mm] folgt die Aussage für n = [mm] 0.\\
[/mm]
[mm] \textit{Induktionsvoraussetzung} [/mm] Es gilt
$$z' := [mm] cfrac(a_{0}, a_1, \ldots, a_{n}, \xi/\eta) [/mm] = x'/y'$$
mit
[mm] $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} [/mm] = [mm] A_1 \cdot \ldots \cdot A_n \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix}.$$
[/mm]
[mm] \textit{Induktionsschritt} [/mm] $n [mm] \to [/mm] n+1$:
[mm] \noindent [/mm] Aus der Induktionsvoraussetzung folgt
$$z = [mm] cfrac(a_0, [/mm] x'/y') = [mm] \frac{a_0 x' + y'}{x'} [/mm] = [mm] \frac{x}{y}$$ [/mm]
Genau hier ist mein Problem. Wieso gilt $z = [mm] cfrac(a_0, [/mm] x'/y')$?
mit
[mm] $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a_0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} [/mm] = [mm] A_0 \cdot A_1 \cdot \ldots \cdot A_n \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix}.$$ [/mm]
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Das Interessante bei diesem Beweis ist, dass die Induktion über die Länge der Bruch-Kette geht, wobei hier aber im Induktionsschritt von n auf n+1 eigentlich nicht ein Glied angehängt, sondern das Glied [mm] a_0 [/mm] vorangestellt und auf diese Weise verlängert wird. Der Beweis ist nicht ganz richtig durchgeführt worden.
> In der Kettenbruch-Darstellung
> [mm]z = cfrac(a_{0}, a_1, \ldots, a_{n}, \xi/\eta)[/mm]
>
> seien [mm]a_i, \xi, \eta \in \mathbb{R}[/mm], [mm]a_1, \ldots, a_n, \xi, \eta > 0[/mm].
> Dann gilt [mm]z = x/y[/mm], wobei [mm]x, y \in \mathbb{R}[/mm] einen
> 2-dimensionalen Vektor [mm]v[/mm] bilden, der wie folgt definiert
> wird:
>
> [mm]v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} := A_0 \cdot A_1 \cdot \ldots \cdot A_n \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix}, ~wobei~ A_i := \begin{pmatrix} a_i & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, i \in \mathbb{N}[/mm]
>
> Hallo,
> ich versuche den Beweis des obigen Lemmas zu verstehen,
> habe nur einen Schritt im Induktionsschritt nicht
> verstanden. Der Beweis sieht folgender Maßen aus
>
> [mm]{\bf Beweis}[/mm] Durch Induktion nach n.
>
> [mm]\textit{Induktionsanfang n = 0:}[/mm]
>
> [mm]z = cfrac(a_0, \xi/\eta) = a_0 + \frac{\eta}{\xi} = \frac{a_0 \xi + \eta}{\xi}.[/mm]
>
> Da [mm]\begin{pmatrix} a_0 \xi + \eta \\ \xi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix} = A_0 \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix}[/mm],
> folgt die Aussage für n = [mm]0.\\[/mm]
>
>
---- Bis hier ist alles richtig
Jetzt geht es so weiter:
[mm]\textit{Induktionsvoraussetzung}[/mm] Es gilt
[mm]z' := cfrac(a_{0}, a_1, \ldots, a_{n}, \xi/\eta) =x'/y'[/mm]
mit
> [mm]\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A_1 \cdot
\ldots \cdot A_{n+1} \begin{pmatrix} \xi \\ \eta
\end{pmatrix}.[/mm]
Nein, sondern
[mm]\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A_0 \cdot
\ldots \cdot A_{n} \begin{pmatrix} \xi \\ \eta
\end{pmatrix}.[/mm]
[mm]\textit{Induktionsschritt}[/mm] [mm]n \to n+1[/mm]:
(dabei benutze ich zunächst den Buchstaben b, es kommt nur auf die veränderte Länge an)
[mm]z := cfrac(b_{0}, b_1, \ldots, b_{n}, b_{n+1}, \xi/\eta) =x/y[/mm]
Nun betrachten wir den Schwanz ohne [mm] b_0 [/mm] als eine Kette mit der Länge, für die die Induktionsvoraussetzung gilt. Der Form halber nummerieren wir einfach mal um, indem wie die Indizes um 1 verringern und einen anderen Buchstaben nehmen, um Verwirrungen zu vermeiden: [mm] a_i [/mm] = [mm] b_{i+1}
[/mm]
[mm]z := cfrac(a_{-1},a_0, a_1, \ldots, a_{n}, \xi/\eta) =x/y[/mm]
Nun ist aber z := [mm] cfrac(a_{-1},a_0, a_1, \ldots, a_{n}, \xi/\eta) [/mm] = [mm] a_{-1}+1/cfrac(a_0, a_1, \ldots, a_{n}, \xi/\eta)
[/mm]
= nach Voraussetzung [mm] a_{-1}+y'/x' [/mm] = [mm] \bruch{a_{-1}x'+y'}{x'}=x/y [/mm]
mit
[mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{-1} x' + y' \\ x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{-1} & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A_{-1} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_{0} & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = B_{0} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= B_0\cdot A_0 \cdot
\ldots \cdot A_{n} \begin{pmatrix} \xi \\ \eta
\end{pmatrix}=B_0\cdot B_1 \cdot
\ldots \cdot B_{n+1} \begin{pmatrix} \xi \\ \eta
\end{pmatrix}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 Di 27.04.2010 | | Autor: | Joan2 |
Danke vielmals für die ausführliche Erklärung :) Jetzt habe ich es endlich verstanden. Danke :)
Viele Grüße
Joan
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