Kettenregel < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Fr 11.04.2014 | | Autor: | Orchis |
| Aufgabe | Betrachte die DGL [mm] $w_{xx} [/mm] - [mm] w_{yy}=f$ [/mm] auf [mm] $\mathbb{R}^{2}$ [/mm] mit [mm] $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$.
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
(i) Bestimme die DGL in den Koordinaten [mm] $(s,t)\mapsto [/mm] (x+y,x-y)$, also die entsprechende Gleichung f"ur die Funktion [mm] $(s,t)\mapsto [/mm] v(s,t)$, die durch die Gleichung $v(x+y,x-y)=u(x,y)$ f"ur alle $x,y$ bestimmt ist. |
Guten Abend zusammen,
[mm] \\
[/mm]
ich habe Probleme diese (wahrsch.) sehr einfache Teilaufgabe zu lösen...traurigerweise hapert es vermutlich beim Anwenden der Kettenregel....
Da ja $v(x+y,x-y)=u(x,y)$ gilt muss man doch [mm] \glqq lediglich\grqq [/mm] die zweiten partiellen Ableitungen [mm] $v_{xx}$ [/mm] und [mm] $v_{yy}$ [/mm] bestimmen, oder?
Die äußere Funktion ist [mm] $v:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$, [/mm] die Innere $g:=(s,t)=(x+y,x-y)$.
Damit folgt für die jeweiligen Ableitungen
[mm] $v'(s,t)=\begin{pmatrix} v_{s} & v_{t}\\\end{pmatrix}$
[/mm]
und
[mm] $f'(x,y)=\begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & -1\\
\end{pmatrix}$.
[/mm]
Somit folgt für die Verkettung $h(s,t):=(v [mm] \circ g)(s,t)=\begin{pmatrix} v_{s} +v_{t}\\v_{s} - v_{t}\\\end{pmatrix}$.
[/mm]
Ist nun
[mm] $v_{x}=v_{s} [/mm] + [mm] v_{t}$ [/mm] und [mm] $v_{y}=v_{s} [/mm] - [mm] v_{t}$ [/mm] ? Und wenn ja, wie mache ich nun weiter, um an die zweiten partiellen Ableitungen zu kommen? Irgendwie sehe ich nicht, wie man da jetzt nochmal die Kettenregel anwenden kann. Entschuldigt, wenn diese Fragen euch zu doof erscheinen, aber ich würde nach meiner ganzen Rumprobiererei heute einfach einmal gerne einen Streif am Horizont sehen. :)
Danke schon mal fürs Drübergucken!!!
Orchis
|
|
| |
|
Hallo Orchis,
> Betrachte die DGL [mm]w_{xx} - w_{yy}=f[/mm] auf [mm]\mathbb{R}^{2}[/mm] mit
> [mm]f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}[/mm].
> [mm]\\[/mm]
> (i) Bestimme die DGL in den Koordinaten [mm](s,t)\mapsto (x+y,x-y)[/mm],
> also die entsprechende Gleichung f"ur die Funktion
> [mm](s,t)\mapsto v(s,t)[/mm], die durch die Gleichung
> [mm]v(x+y,x-y)=u(x,y)[/mm] f"ur alle [mm]x,y[/mm] bestimmt ist.
> Guten Abend zusammen,
> [mm]\\[/mm]
> ich habe Probleme diese (wahrsch.) sehr einfache
> Teilaufgabe zu lösen...traurigerweise hapert es vermutlich
> beim Anwenden der Kettenregel....
> Da ja [mm]v(x+y,x-y)=u(x,y)[/mm] gilt muss man doch [mm]\glqq lediglich\grqq[/mm]
> die zweiten partiellen Ableitungen [mm]v_{xx}[/mm] und [mm]v_{yy}[/mm]
> bestimmen, oder?
> Die äußere Funktion ist [mm]v:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}[/mm],
> die Innere [mm]g:=(s,t)=(x+y,x-y)[/mm].
> Damit folgt für die jeweiligen Ableitungen
> [mm]v'(s,t)=\begin{pmatrix} v_{s} & v_{t}\\\end{pmatrix}[/mm]
> und
> [mm]$f'(x,y)=\begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & -1\\
\end{pmatrix}$.[/mm]
>
> Somit folgt für die Verkettung [mm]h(s,t):=(v \circ g)(s,t)=\begin{pmatrix} v_{s} +v_{t}\\v_{s} - v_{t}\\\end{pmatrix}[/mm].
>
> Ist nun
> [mm]v_{x}=v_{s} + v_{t}[/mm] und [mm]v_{y}=v_{s} - v_{t}[/mm] ? Und wenn
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ja, wie mache ich nun weiter, um an die zweiten partiellen
> Ableitungen zu kommen? Irgendwie sehe ich nicht, wie man da
> jetzt nochmal die Kettenregel anwenden kann. Entschuldigt,
> wenn diese Fragen euch zu doof erscheinen, aber ich würde
> nach meiner ganzen Rumprobiererei heute einfach einmal
> gerne einen Streif am Horizont sehen. :)
Nun, [mm]v_{s}[/mm] und [mm]v_{t}[/mm] sind
wieder als verkettete Funktionen zu sehen.
Das heisst:
[mm]v_{s}\left(x,y\right)=v_{s}\left( \ s\left(x,y\right),t\left(x,y\right) \ \right)[/mm]
Dann ist
[mm]\bruch{\partial v_{s}}{\partial x}=\bruch{\partial v_{s}}{\partial s}\bruch{\partial s}{\partial x}+\bruch{\partial v_{s}}{\partial t}\bruch{\partial t}{\partial x}=\bruch{\partial v_{s}}{\partial s}*1+\bruch{\partial v_{s}}{\partial t}*1[/mm]
, da [mm]\bruch{\partial s}{\partial x}=\bruch{\partial t}{\partial x}=1[/mm]
Das geht für die anderen partiellen Ableitungen
[mm]\bruch{\partial v_{t}}{\partial x}, \bruch{\partial v_{s}}{\partial y}, \bruch{\partial v_{s}}{\partial y}[/mm] genauso.
> Danke schon mal fürs Drübergucken!!!
> Orchis
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Sa 12.04.2014 | | Autor: | Orchis |
Ahhhhhh, danke! Für alle, die das hier noch zu Ende rechnen wollen: Ich weiß nicht, ob es richtig ist, aber ich bekomme in den Koordinaten dann
[mm] v_{st}=0 [/mm] heraus. :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Sa 12.04.2014 | | Autor: | Orchis |
Das war Quatsch. Ich meinte:
[mm] 4v_{st}=f.
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Orchis,
> Das war Quatsch. Ich meinte:
> [mm]4v_{st}=f.[/mm]
Das ist vollkommen richtig.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
