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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Amy1988 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion mit [mm] f(x)=\wurzel{25-x^2}.
[/mm]
a) Berechnen Sie f'.
b) Stellen Sie die Gleichung der Tangente t und der Normalen n an den Graphen von f im Punkt P(a;b) auf.
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Hallo!
Also ich breite mich gerade auf eine Klausur vor und weiß wirklich nciht, wie ich diese Aufgabe hier lösen soll.
Bei a) habe ich denke ich schonmal einen Ansatz:
[mm] f(x)=\wurzel{25-x^2}
[/mm]
= [mm] (25-x^2)^1/2
[/mm]
f'(x)= [mm] 1/2(25-x^2)^-1/2*(-2x)
[/mm]
Stimmt das soweit?
und was die Gleichung der Tangente angeht ist es doch so, dass f'=m ist, oder?
Nur wie mach eich dann weiter?![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Wäre dankbar für jede Hilfe!
AMY
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Sa 11.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich glaube, du meinst bei der Ableitung das Richtige:
[mm] f'(x)=\bruch{-2x}{2\wurzel{25-x²}}=\bruch{-x}{\wurzel{25-x²}}
[/mm]
Die Tangente und Normale in P(a;b) haben ja alle die Gleichung [mm] t(x)=m_{T}x+n_{T}, [/mm] bzw [mm] n(x)=m_{N}x+n_{N}.
[/mm]
Für die Steigung der Tangente gilt:
[mm] m_{T}=f'(a)=\bruch{-a}{\wurzel{25-a²}}
[/mm]
und für die Normale: [mm] m_{N}*M_{T}=-1\gdw M_{N}=\bruch{-1}{m_{T}}=\bruch{-1}{\bruch{-a}{\wurzel{25-a²}}}=\bruch{\wurzel{25-a²}}{a}
[/mm]
Ausserdem
P(a;b)=P(a;f(a))
Und [mm] f(a)=\wurzel{25-a²}
[/mm]
Also gilt für die Tangente, da ja p auch auf t liegt
t(a)=f(a), dasselbe gilt auch für n(a)=f(a)
Also
[mm] t(x)=m_{t}*x+n_{t}
[/mm]
wird zu:
[mm] \wurzel{25-a²}=\bruch{-a}{\wurzel{25-a²}}*a+n_{T}
[/mm]
Daraus kannst du jetzt [mm] n_{T} [/mm] berechnen.
Genauso gilt für [mm] n_{N}
[/mm]
[mm] \wurzel{25-a²}=\bruch{\wurzel{25-a²}}{a}*a+n_{N}
[/mm]
Jetzt klarer?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Amy1988 |
Hey Marius!
Ja, das war wirklich superlieb!
Ich glaube, mein Hautproblem besteht in der vereinfachung der Ableitungen...So wie du es aufgeschrieben hast, ist es doch viel übersichtlicher und man kann wesentlich besser damit weiterrechnen ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Also auf jeden Fall großes Dankeschön...
Amy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Sa 11.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Ein kleiner Tipp noch:
Wenn du den Formeleditor nutzt, wird es deutlich einfacher und übersichtlicher.
(Und für potentielle Helfer ansprechender)
Wenn du sehen willst, wie der Quelltext für die Formeln lautet, kannst du einfach auf die entsprechende Formel klicken, in einem Neuen Fenster/Tab öffnet sich dann der Quelltext.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Amy1988 |
Jetzt muss ich doch nochmal kurz fragen, ob die Tangentengleichung so stimmt:
t(a) = [mm] \bruch{-a^2}{5-a} [/mm] + n
Richtig?
Amy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Sa 11.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Leider nicht ganz: Das n musst du noch berechnen.
Es gilt ja:
[mm] \wurzel{25-a²}=\bruch{-a}{\wurzel{25-a²}}\cdot{}a+n_{T}
[/mm]
[mm] \gdw 25-a²=-a+n_{T}
[/mm]
[mm] \gdw n_{T}=-a²+a+25
[/mm]
Also ist [mm] t(x)=\bruch{-a}{\wurzel{25-a²}}*x+[-a²+a+25]
[/mm]
Marius
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