Kettenregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Di 21.07.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Sei [mm]g(x,y) := \vektor{e^{-x-y}\\e^{xy}}[/mm] und [mm]f(u,v) = \bruch{u^2 + v^2}{u^2 - v^2}[/mm]
Berechnen Sie die Ableitungen [mm](f \circ g)_x[/mm] und [mm](f \circ g)_y [/mm] durch direktes Einsetzen und mit Hilfe der Kettenregel. |
So, bei dieser Beispielaufgabe ist mir klargeworden, dass mir bei der Kettenregel noch relativ wenig klar ist, obwohl diese recht simpel daherkommt:
[mm]J_{f \circ g}(x) = J_f (g(x)) * J_g (x)[/mm]
Bei den vorliegenden Dimensionen bedeutet das:
[mm]J_{f \circ g}(x) = grad (f \circ g)(x) = ( (f \circ g)_x , (f \circ g)_y )[/mm]
und:
[mm]J_f (g(x)) * J_g (x) = grad f(g(x)) * J_g(x) = grad (f \circ g)(x)[/mm]
---
Aber mit obigen Umformumgen aus meinem Skript liefert die Formel:
[mm]J_{f \circ g}(x) = grad (f \circ g)(x) = grad (f \circ g)(x) * J_g(x) = J_f (g(x)) * J_g (x) [/mm]
Und das ist doch ein wenig widersprüchlich, oder? Zumindest gesetz den Fall, dass die Jacobi-Matrix den Gradienten bei der Multiplikation verändert, wovon nach kurzem nachrechnen wohl auszugehen ist. 
Wo hab ich hier den Denkfehler? Vor allem wäre ja der Vorteil der Kettenregel bei der Aufgabe völlig dahin, wenn ich unterwegs ohnehin ausrechnen müsste, was ich auch direkt ausrechnen kann...
|
|
| |
|
Hallo MaRaQ,
> Sei [mm]g(x,y) := \bruch{e^{-x-y}}{e^{xy}}[/mm] und [mm]f(u,v) = \bruch{u^2 + v^2}{u^2 - v^2}[/mm]
>
> Berechnen Sie die Ableitungen [mm](f \circ g)_x[/mm] und [mm](f \circ g)_y[/mm]
> durch direktes Einsetzen und mit Hilfe der Kettenregel.
> So, bei dieser Beispielaufgabe ist mir klargeworden, dass
> mir bei der Kettenregel noch relativ wenig klar ist, obwohl
> diese recht simpel daherkommt:
>
> [mm]J_{f \circ g}(x) = J_f (g(x)) * J_g (x)[/mm]
>
> Bei den vorliegenden Dimensionen bedeutet das:
>
> [mm]J_{f \circ g}(x) = grad (f \circ g)(x) = ( (f \circ g)_x , (f \circ g)_y )[/mm]
>
> und:
>
> [mm]J_f (g(x)) * J_g (x) = grad f(g(x)) * J_g(x) = grad (f \circ g)(x)[/mm]
>
> ---
>
> Aber mit obigen Umformumgen aus meinem Skript liefert die
> Formel:
>
> [mm]J_{f \circ g}(x) = grad (f \circ g)(x) = grad (f \circ g)(x) * J_g(x) = J_f (g(x)) * J_g (x)[/mm]
>
> Und das ist doch ein wenig widersprüchlich, oder?
> Zumindest gesetz den Fall, dass die Jacobi-Matrix den
> Gradienten bei der Multiplikation verändert, wovon nach
> kurzem nachrechnen wohl auszugehen ist.
>
> Wo hab ich hier den Denkfehler? Vor allem wäre ja der
> Vorteil der Kettenregel bei der Aufgabe völlig dahin, wenn
> ich unterwegs ohnehin ausrechnen müsste, was ich auch
> direkt ausrechnen kann...
Da die Verknüpfung [mm]f \circ g[/mm] zu bilden ist,
und f als Argument ein Element aus [mm]\IR^{2}[/mm] erwartet,
muß g von [mm]\IR^{2}[/mm] nach [mm]\IR^{2}[/mm] abbilden.
[mm]g:\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm]
Kontrolliere als nochmal die Funktion [mm]g\left(x,y\right)[/mm].
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo MaRaQ,
> Sei [mm]g(x,y) := \vektor{e^{-x-y}\\e^{xy}}[/mm] und [mm]f(u,v) = \bruch{u^2 + v^2}{u^2 - v^2}[/mm]
>
> Berechnen Sie die Ableitungen [mm](f \circ g)_x[/mm] und [mm](f \circ g)_y[/mm]
> durch direktes Einsetzen und mit Hilfe der Kettenregel.
> So, bei dieser Beispielaufgabe ist mir klargeworden, dass
> mir bei der Kettenregel noch relativ wenig klar ist, obwohl
> diese recht simpel daherkommt:
>
> [mm]J_{f \circ g}(x) = J_f (g(x)) * J_g (x)[/mm]
>
> Bei den vorliegenden Dimensionen bedeutet das:
>
> [mm]J_{f \circ g}(x) = grad (f \circ g)(x) = ( (f \circ g)_x , (f \circ g)_y )[/mm]
>
> und:
>
> [mm]J_f (g(x)) * J_g (x) = grad f(g(x)) * J_g(x) = grad (f \circ g)(x)[/mm]
>
> ---
>
> Aber mit obigen Umformumgen aus meinem Skript liefert die
> Formel:
>
> [mm]J_{f \circ g}(x) = grad (f \circ g)(x) = grad (f \circ g)(x) * J_g(x) = J_f (g(x)) * J_g (x)[/mm]
Ich glaube Dir macht diese Schreibweise zu schaffen:
[mm]grad (f \circ g)(x) = grad (f \circ g)(x) * J_g(x)[/mm]
Das Argument von grad f ist [mm]g\left(x\right)[/mm].
Demnach:
[mm]grad (f \circ g)(x) = grad (f)( \ g\left(x\right) \ ) * J_g(x)[/mm]
>
> Und das ist doch ein wenig widersprüchlich, oder?
> Zumindest gesetz den Fall, dass die Jacobi-Matrix den
> Gradienten bei der Multiplikation verändert, wovon nach
> kurzem nachrechnen wohl auszugehen ist.
Hier wurde als Argument x verwendet. Dies ist ein Vektor.
Andererseits hast Du dann nach x und y abgeleitet,
wobei hier die Skalare x und y gemeint sind.
>
> Wo hab ich hier den Denkfehler? Vor allem wäre ja der
> Vorteil der Kettenregel bei der Aufgabe völlig dahin, wenn
> ich unterwegs ohnehin ausrechnen müsste, was ich auch
> direkt ausrechnen kann...
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Di 21.07.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo noch mal, MathePower.
Leider hab ich immer noch das Gefühl, das ich ein dickes Brett vor dem Kopf habe. Ich probier es einfach mal und setze die Zahlen bzw. Funktionswerte ein. Vielleicht ist daran mein Denkfehler besser zu erkennen und zu beseitigen.
Noch mal kurz zur Erinnerung:
[mm]g(x,y) := (e^{-x-y} , e^{xy}) , f(u,v) = (u^2 + v^2) / (u^2 - v^2)[/mm]
Gesucht: [mm] (f \circ g)_x und (f \circ g)_y[/mm] via Kettenregel.
Kettenregel: [mm]grad (f \circ g) (x,y) = ((f \circ g)_x , (f \circ g)_y ) = grad f(g(x,y)) * J_g(x,y)[/mm]
grad f(g(x,y)) = grad ( [mm] \bruch{e^{-2x-2y} + e^{2xy}}{e^{-2x-2y} - e^{2xy}} [/mm] ) =
= ( [mm] \bruch{(-2e^{-2x-2y} + 2y e^{2xy})(e^{-2x-2y} - e^{2xy}) - (e^{-2x-2y} + e^{2xy})(-2e^{-2x-2y} - 2ye^{-2xy})}{(e^{-2x-2y} - e^{2xy})^2} [/mm] , [mm] \bruch{(-2e^{-2x-2y} + 2x e^{2xy})(e^{-2x-2y} - e^{2xy}) - (e^{-2x-2y} + e^{2xy})(-2e^{-2x-2y} - 2xe^{-2xy})}{(e^{-2x-2y} - e^{2xy})^2})
[/mm]
Das ließe sich jetzt natürlich noch um einiges vekürzen und vereinfachen. Aber es geht ja erst mal nur um den richtigen Ansatz. Wenn der nicht stimmt, hab ich nichts davon, wenn ich mir hier einen Wolf tippe.
[mm] J_g(x,y) [/mm] = [mm] \pmat{ -e^{-x-y} & ye^{xy} \\ -e^{-x-y} & xe^{xy} }
[/mm]
Danach wäre dann das Ergebnis [mm] J_{f \circ g} [/mm] (x,y) ein 2-dimensionaler Vektor (nämlich das Produkt aus der 2x2-Matrix [mm] J_g [/mm] und des Gradienten f(g(x,y)) ).
Richtig, halbrichtig, ganz falsch? (unzutreffendes bitte streichen ).
Wenn ich gänzlich danebenliege, wäre ich für ein Vorkauen des Vorgehens bei diesem Aufgabentyp sehr dankbar. Ich hätte noch weitere Beispielaufgaben, an denen ich dann das Verständnis testen könnte.
Nur leider gehen mir im Hinblick auf die Klausur so langsam Zeit und Nerven aus. (oder anders gesagt mir geht inzwischen ganz schön die Flatter...)
Danke im Voraus für die Hilfe und liebe Grüße,
Maraq
|
|
|
| |
|
Hallo MaRaQ,
> Hallo noch mal, MathePower.
>
> Leider hab ich immer noch das Gefühl, das ich ein dickes
> Brett vor dem Kopf habe. Ich probier es einfach mal und
> setze die Zahlen bzw. Funktionswerte ein. Vielleicht ist
> daran mein Denkfehler besser zu erkennen und zu beseitigen.
>
>
> Noch mal kurz zur Erinnerung:
> [mm]g(x,y) := (e^{-x-y} , e^{xy}) , f(u,v) = (u^2 + v^2) / (u^2 - v^2)[/mm]
>
> Gesucht: [mm](f \circ g)_x und (f \circ g)_y[/mm] via Kettenregel.
>
> Kettenregel: [mm]grad (f \circ g) (x,y) = ((f \circ g)_x , (f \circ g)_y ) = grad f(g(x,y)) * J_g(x,y)[/mm]
>
> grad f(g(x,y)) = grad ( [mm]\bruch{e^{-2x-2y} + e^{2xy}}{e^{-2x-2y} - e^{2xy}}[/mm]
> ) =
> = ( [mm]\bruch{(-2e^{-2x-2y} + 2y e^{2xy})(e^{-2x-2y} - e^{2xy}) - (e^{-2x-2y} + e^{2xy})(-2e^{-2x-2y} - 2ye^{-2xy})}{(e^{-2x-2y} - e^{2xy})^2}[/mm]
> , [mm]\bruch{(-2e^{-2x-2y} + 2x e^{2xy})(e^{-2x-2y} - e^{2xy}) - (e^{-2x-2y} + e^{2xy})(-2e^{-2x-2y} - 2xe^{-2xy})}{(e^{-2x-2y} - e^{2xy})^2})[/mm]
Das ist fast richtig:
[mm]grad (f \circ g) (x,y) = ((f \circ g)_x , (f \circ g)_y ) = grad f(g(x,y)) * J_g(x,y)[/mm]
[mm] grad f(g(x,y)) = grad \left( \bruch{e^{-2x-2y} + e^{2xy}}{e^{-2x-2y} - e^{2xy}\right)[/mm]
[mm]=\left( \ \bruch{(-2e^{-2x-2y} + 2y e^{2xy})(e^{-2x-2y} - e^{2xy}) - (e^{-2x-2y} + e^{2xy})(-2e^{-2x-2y} - 2ye^{\red{+}2xy})}{(e^{-2x-2y} - e^{2xy})^2} , \ \bruch{(-2e^{-2x-2y} + 2x e^{2xy})(e^{-2x-2y} - e^{2xy}) - (e^{-2x-2y} + e^{2xy})(-2e^{-2x-2y} - 2xe^{\red{+}2xy})}{(e^{-2x-2y} - e^{2xy})^2}\right)[/mm]
Das ist schon das Ergebnis durch direktes Einsetzen.
>
> Das ließe sich jetzt natürlich noch um einiges vekürzen
> und vereinfachen. Aber es geht ja erst mal nur um den
> richtigen Ansatz. Wenn der nicht stimmt, hab ich nichts
> davon, wenn ich mir hier einen Wolf tippe.
>
> [mm]J_g(x,y)[/mm] = [mm]\pmat{ -e^{-x-y} & ye^{xy} \\ -e^{-x-y} & xe^{xy} }[/mm]
>
> Danach wäre dann das Ergebnis [mm]J_{f \circ g}[/mm] (x,y) ein
> 2-dimensionaler Vektor (nämlich das Produkt aus der
> 2x2-Matrix [mm]J_g[/mm] und des Gradienten f(g(x,y)) ).
Wenn Du das mit dem vorgehenden Resultat multiplizieren willst,
dann ist das nicht ganz richtig.
Du bildest den Gradient von [mm]f\left(u.v\right)[/mm] an der Stelle [mm]\pmat{u \\ v}=g\left(x.\right)[/mm].
Es ist dann
[mm]\operatorname{grad} f\left(\ g\left(x,y\right) \ \right)=\left(\operatorname{grad} f\right)\left( g\left(x,y\right) \right)*\left( \ \operatorname{grad} g \right) \left(x,y\right)[/mm]
[mm]=\pmat{f_{u}\left( \ g\left(x,y\right) \ \\ f_{v}\left( \ g\left(x,y\right) \ }*\left( \ \operatorname{grad} g \right) \left(x,y\right)[/mm]
>
> Richtig, halbrichtig, ganz falsch? (unzutreffendes bitte
> streichen ).
>
> Wenn ich gänzlich danebenliege, wäre ich für ein
> Vorkauen des Vorgehens bei diesem Aufgabentyp sehr dankbar.
> Ich hätte noch weitere Beispielaufgaben, an denen ich dann
> das Verständnis testen könnte.
> Nur leider gehen mir im Hinblick auf die Klausur so langsam
> Zeit und Nerven aus. (oder anders gesagt mir geht
> inzwischen ganz schön die Flatter...)
>
> Danke im Voraus für die Hilfe und liebe Grüße,
>
> Maraq
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Mi 22.07.2009 | | Autor: | MaRaQ |
> Du bildest den Gradient von [mm]f\left(u.v\right)[/mm] an der Stelle
> [mm]\pmat{u \\ v}=g\left(x.\right)[/mm].
>
> Es ist dann
>
> [mm]\operatorname{grad} f\left(\ g\left(x,y\right) \ \right)=\left(\operatorname{grad} f\right)\left( g\left(x,y\right) \right)*\left( \ \operatorname{grad} g \right) \left(x,y\right)[/mm]
>
> [mm]=\pmat{f_{u}\left( \ g\left(x,y\right) \ \\ f_{v}\left( \ g\left(x,y\right) \ }*\left( \ \operatorname{grad} g \right) \left(x,y\right)[/mm]
>
Ich glaub, den Groschen, der mir grad runtergefallen ist, den hat man noch 3 Häuser weiter gehört.
Danke dir! Den Gradienten von f an der Stelle g(x,y) und nicht der Gradient von f(g(x,y)). Himmel hilf. Da wär ich alleine im Leben nicht drauf gekommen. 
Ergo:
grad f (u,v) = ( [mm] \bruch{-4uv^2}{(u^2 - v^2)^2} [/mm] , [mm] \bruch{4vu^2}{(u^2 - v^2)^2} [/mm] )
und damit:
(grad (f [mm] \circ [/mm] g))(x,y) = (grad f)(g(x,y)) cdot [mm] J_g(x,y)
[/mm]
= [mm] \vektor{a := \bruch{-4e^{-x-y}e^{2xy}}{(e^{-2x-2y} - e^{2xy})^2} \\ b:= \bruch{4e^{-2x-2y}e^{xy}}{(e^{-2x-2y} - e^{2xy})^2}} [/mm] * [mm] \pmat{-e^{-x-y} & ye^{xy} \\ -e^{-x-y} & xe^{xy}} [/mm] = [mm] \vektor{ -ae^{-x-y} + bye^{xy} \\ -ae^{-x-y} + bxe^{xy}}
[/mm]
(mit einem nur noch ganz kleinen "?")
lg, Tobias
Edit: Da diese Lösung mit zwei Umformungen genau dem entspricht, was ich direkt ausgerechnet habe, wird es wohl richtig sein.
|
|
|
| |
|
Hallo MaRaQ,
> > Du bildest den Gradient von [mm]f\left(u.v\right)[/mm] an der Stelle
> > [mm]\pmat{u \\ v}=g\left(x.\right)[/mm].
> >
> > Es ist dann
> >
> > [mm]\operatorname{grad} f\left(\ g\left(x,y\right) \ \right)=\left(\operatorname{grad} f\right)\left( g\left(x,y\right) \right)*\left( \ \operatorname{grad} g \right) \left(x,y\right)[/mm]
>
> >
> > [mm]=\pmat{f_{u}\left( \ g\left(x,y\right) \ \\ f_{v}\left( \ g\left(x,y\right) \ }*\left( \ \operatorname{grad} g \right) \left(x,y\right)[/mm]
>
> >
>
> Ich glaub, den Groschen, der mir grad runtergefallen ist,
> den hat man noch 3 Häuser weiter gehört.
>
> Danke dir! Den Gradienten von f an der Stelle g(x,y) und
> nicht der Gradient von f(g(x,y)). Himmel hilf. Da wär ich
> alleine im Leben nicht drauf gekommen.
>
> Ergo:
> grad f (u,v) = ( [mm]\bruch{-4uv^2}{(u^2 - v^2)^2}[/mm] ,
> [mm]\bruch{4vu^2}{(u^2 - v^2)^2}[/mm] )
>
> und damit:
>
> (grad (f [mm]\circ[/mm] g))(x,y) = (grad f)(g(x,y)) cdot [mm]J_g(x,y)[/mm]
> = [mm]\vektor{a := \bruch{-4e^{-x-y}e^{2xy}}{(e^{-2x-2y} - e^{2xy})^2} \\ b:= \bruch{4e^{-2x-2y}e^{xy}}{(e^{-2x-2y} - e^{2xy})^2}}[/mm]
> * [mm]\pmat{-e^{-x-y} & ye^{xy} \\ -e^{-x-y} & xe^{xy}}[/mm] =
> [mm]\vektor{ -ae^{-x-y} + bye^{xy} \\ -ae^{-x-y} + bxe^{xy}}[/mm]
>
> (mit einem nur noch ganz kleinen "?")
>
> lg, Tobias
>
> Edit: Da diese Lösung mit zwei Umformungen genau dem
> entspricht, was ich direkt ausgerechnet habe, wird es wohl
> richtig sein.
Das ist auch richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Mi 22.07.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Danke dir, MathePower, du hast mir enorm weitergeholfen!
|
|
|
|
