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Hat mir jemand ein Beispiel wo ich die Kettenregel anwenden kann mit Lösungsweg? Sollte aber kein zu einfaches sein. Mache gerade das letzte Jahr Gymnasium in der Schweiz.
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Hallo Blackkilla,
hier sind gleich 2:
1) [mm] $k_1(x)=\sin(3x^2+4x)$
[/mm]
Dies ist eine verkettete Funktion $f(g(x))$ mit [mm] $f(z)=\sin(z)$ [/mm] und [mm] $g(x)=3x^2+4x$
[/mm]
Gem. Kettenregel ist [mm] $k_1'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\text{äußere Ableitung}} [/mm] \ [mm] \cdot{} [/mm] \ [mm] \underbrace{g'(x)}_{\text{innere Ableitung}}$ [/mm]
Berechnen wir die Teilableitungen, die wir brauchen:
[mm] $f'(z)=\cos(z)$, [/mm] also [mm] $f'(g(x))=\cos(g(x))=\cos(3x^2+4x)$
[/mm]
und $g'(x)=6x+4$
Also [mm] $k_1'(x)=\cos(3x^2+4x)\cdot{}(6x+4)$
[/mm]
2) [mm] $k_2(x)=\sqrt{2x^3}$
[/mm]
Die könntest du mal versuchen ...
Überlege, was die innere, was die äußere Funktion ist und dann nach Schema X 
Oder vllt. vorab eine einfachere:
[mm] $k_3(x)=(2x+1)^2$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Ich habe dein erstes Beispiel ma probiert. Stimmt das?
Also innere Ableitung ergibt: [mm] 6x^2
[/mm]
und die äussere wäre [mm] (1/2)*(2x^3)^{1/2}
[/mm]
Und die beiden multiplizieren...
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Hallo nochmal,
> Ich habe dein erstes Beispiel ma probiert. Stimmt das?
>
> Also innere Ableitung ergibt: [mm]6x^2[/mm]
> und die äussere wäre [mm](1/2)*(2x^3)^{1/2}[/mm]
> Und die beiden multiplizieren...
Das stimmt fast, aber bedenke, dass die Ableitung von [mm] $\sqrt{z}=z^{\frac{1}{2}}$ [/mm] doch [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}z^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}z^{\red{-}\frac{1}{2}}$ [/mm] ist ...
Also flicke das mal bei ...
Gruß
schachuzipus
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Da hast du völlig recht am PC vergess ich immer dieses - Zeichen!^^ Wie kann man das nun vereinfacht multiplizieren?
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Wie kommt man nun auf [mm] (3/2)*\wurzel{2}*\wurzel{x}?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Mo 04.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Hi, magst du nochmal kurz die abzuleidende Fktn schreiben?? Ich hab grad ein bici den Überblick verloren...
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Ok vielen Dank. Ich hab mir nun eine schwierigere Aufgabe ausgedacht.
Die Funktion lautet:
[mm] y=\wurzel{((3x^3)+5)/((5x^2)+2)}
[/mm]
Die äussere Ableitung hab ich.
Bei der inneren bin ich bei folgendem angelangt:
[mm] ((45x^2)+(18x^2)-(30x^4)-(50x))/(((5x^2)+2)^2)
[/mm]
Kann mir nun jemand weiterhelfen?
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Hi,
du könntest ja auch mal deine bisherigen rechnungen schreiben..^^
Der innere Teil ist ja ein Bruch, also brauchst du jetzt eine andere Regeln zum weiterarbeiten, die Q.........regel. Naaa kommst drauf??
LG
pythagora
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Die hab ich auch angewendet. Und so bin ich zu dem gekommen wo ich momentan bin.
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und wo genau liegt das problem??
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:57 Mo 04.01.2010 | | Autor: | blackkilla |
Dort wo ich momentan bin, komm ich nicht mehr weiter. Bin mir sicher, man kann es noch vereinfachen. Kurz gesagt, wie lautet die innere Ableitung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:00 Di 05.01.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo blackkilla,
Du willst es offenbar nicht verstehen:
Du rechnest vor, dann korrigieren wir gern.
Wenn Du gar nicht weiterkommst, dann gib die Definitionen und Regeln, die Du anzuwenden versucht hast, und sag, warum sie Dir hier nicht zu passen scheinen.
Ich kenne die innere Ableitung, und zig andere Leute hier auch. Aber es hilft Dir nach unserer Ansicht nicht weiter, wenn wir Dir nur die Lösung geben. Die musst Du selbst bestimmen können. Dir dabei zu helfen, ist Sinn dieses Forums.
Also: was hast Du denn nun gerechnet?
Grüße,
reverend
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Ok^^ Ich habe mir die folgende Funktion ausgedacht.
[mm] \wurzel{\bruch{3x^{3}+5}{5x^{2}+2}}
[/mm]
Das innere ist ja ein Bruch. Das über dem Bruch hab ich als u(x) bezeichnet. Und das unten als v(x).
So kam bei mir u´ [mm] (x)=9^2 [/mm] und bei v´(x)=10x raus. Dann hab ich den Quotientenregel verwendet.
[mm] \bruch{9x^{2}*(5x^{2}+2)-10x*(3x^{3}+5)}{(5x^{2}+2)^2}
[/mm]
Dieses habe ich weitervereinfacht:
[mm] \bruch{45x^{2}+18x^{2}-30x^{4}-50x}{(5x^{2}+2)^2}
[/mm]
Nun komme ich nicht mehr weiter. Wie kann man es weiter vereinfachen, dass ich die "beste" innere Ableitung habe. Hab jetzt sogar mal die ganzen Eingabehilfen verwendet für bessere Darstellung.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:32 Di 05.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das [mm] 45x^2 [/mm] müsste ein [mm] 45x^4 [/mm] sein, ansonsten ist es richtig.
Weiter vereinfachen brauchst du diesen Term auch nicht.
Nun kannst du innere und äußere Ableitung einfach multiplizieren.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Ok dann mach ich mal weiter. Ich multipliziere erst mal die innere und äussere miteinander.
[mm] \bruch{15x^{4}+18^{2}-50x}{(5x^{2}+2)^{2}}*\bruch{1}{2*\wurzel{\bruch{3x^{3}+5}{5x^{2}+2}}}
[/mm]
Dann fahr ich weiter und komme auf:
[mm] \bruch{7.5x^{4}+9x^{2}-25x}{(5x^{2}+2)^{2}*\wurzel{\bruch{3x^{3}+5}{5x^{2}+2}}}
[/mm]
Wie gehts weiter? Kann das unter dem Bruch zusammenfassen indem ich alles unter der Wurzel nehme. Somit könnte ich einmal [mm] 5x^{2}+2 [/mm] kürzen. Aber darf ich das alles unter dem Wurzel nehmen?
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Hallo blackkilla,
> Ok dann mach ich mal weiter. Ich multipliziere erst mal die
> innere und äussere miteinander.
>
> [mm]\bruch{15x^{4}+18x^{2}-50x}{(5x^{2}+2)^{2}}*\bruch{1}{2*\wurzel{\bruch{3x^{3}+5}{5x^{2}+2}}}[/mm] (**)
>
> Dann fahr ich weiter und komme auf:
>
> [mm]\bruch{7.5x^{4}+9x^{2}-25x}{(5x^{2}+2)^{2}*\wurzel{\bruch{3x^{3}+5}{5x^{2}+2}}}[/mm]
>
> Wie gehts weiter? Kann das unter dem Bruch zusammenfassen
> indem ich alles unter der Wurzel nehme. Somit könnte ich
> einmal [mm] 5x^2+2 [/mm] kürzen. Aber darf ich das alles unter dem
> Wurzel nehmen?
Lass das kürzen, wenn sich keine ganzen Zahlen ergeben! Ich gehe daher von (**) aus:
weil [mm] \wurzel{\frac{a}{b}}=\frac{\wurzel{a}}{\wurzel{b}} [/mm] ist, solltest du zunächst den Doppelbruch auflösen:
[mm] \bruch{15x^4+18x^2-50x}{(5x^2+2)^2}*\bruch{\wurzel{5x^2+2}}{2*\wurzel{3x^3+5}}
[/mm]
Man könnte noch durch den Faktor [mm] \wurzel{5x^2+2} [/mm] kürzen und im Nenner die dann entstehenden beiden Wurzeln zusammenfassen; aber viel bringen tut das nun auch nicht.
Denk mal dran, dass es den "Zitieren"-Button gibt! Dann kannst du vorgerechnete Aufgabenteile gleich in deine Frage übernehmen und an der richtigen Stelle deine Frage platzieren.
Gruß informix
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Das ist dann die Lösung? Wenn ich will kann ich also [mm] 5x^2+2 [/mm] noch kürzen und Nenner zusammenfassen...?
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Hallo nochmal,
> Das ist dann die Lösung? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Lass das am besten so stehen ...
> Wenn ich will kann ich also [mm]5x^2+2[/mm] noch kürzen ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie denn, es tritt doch [mm] $5x^2+2$ [/mm] gar nicht als gemeinsamer Faktor in Zähler und Nenner auf.
Informix hat doch schon geschrieben, dass du allenfalls [mm] $\sqrt{5x^2+2}=\left(5x^2+2\right)^{\frac{1}{2}}$ [/mm] kürzen kannst.
Dann bleibt aber im Nenner [mm] $\left(5x^2+2\right)^{\frac{3}{2}}$ [/mm] und das ist wahrlich nicht wirklich schöner ...
> und Nenner zusammenfassen...?
Gruß
schachuzipus
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