Kettenregel Ableitung gebr. < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Do 26.10.2006 | | Autor: | zeusiii |
| Aufgabe | | Ableitung mit Kettenregel |
Hallo ,
und zwar habe ich folgendes Anliegen :
f(x) = [mm] \bruch{4x^{2}+3}{(x^{2}+x)^{4}}
[/mm]
mit der Quotientenregel vorgerechnet
unter zusätzlicher Anwendung der KEttenregel um diese Form zu erreichen. ( Auf das bilden der KEttenregel usw. wollt ich nicht weiter drauf eingehen ,sollte bekannt sein . ! )
[mm] \bruch{(8*x * (x^{2}+x)^{4}) - ( (4*x^{2}+3)*(2*x+1)*4*(x^{2}+x)^{3} ) }{(x^{2}+x)^{8}}
[/mm]
jetzt erhalte ich im Zähler ja 2 mal [mm] (x^{2}+x) [/mm] und im Nenner einmal .Dieses kann ich gegeneinander kürzen .
jetzt kommt mein Problem , in der Schule an der Tafel stand dann folgendes :
[mm] \bruch{(8*x * (x^{2}+x)) - ( (4*x^{2}+3)*(2*x+1)*4) }{(x^{2}+x)^{5}}
[/mm]
ich meine aber die [mm] (x^{2}+x) [/mm] kürzen sich aus dem Zähler komplett raus und im Nenner bleibt denn [mm] (x^{2}+x)^{1} [/mm] stehen oder??
freue mich über ne Antwort
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Do 26.10.2006 | | Autor: | wulle |
grüße...
ich hab zwar nicht nachgerechnet aber bezüglich deines kürzungsproblems ist das was an der tafel stand richtig!
du übersiehst dass oben im zähler eine differenz steht und um im gesamten bruch kürzen zu können musst du den term " [mm] (x^2 [/mm] + x) " erstmal ausklammern... wenn du " [mm] (x^2 [/mm] + [mm] x)^3 [/mm] " ausklammerst und kürzt dann bleibt unten im nenner " [mm] (x^2 [/mm] + [mm] x)^5 [/mm] " stehen
... genau so wie es an der tafel stand
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Do 26.10.2006 | | Autor: | zeusiii |
hallo,
ja das ist mir schon klar ,aber es stand doch da was mit hoch 4 .
und ausgeklammert wurde ja auch nicht , da wir ja nicht aus der differenz gekürzt haben , da das eh nicht gestattet ist .
ist irgendwie schwierig nachzuvollziehen ..hm > grüße...
> ich hab zwar nicht nachgerechnet aber bezüglich deines
> kürzungsproblems ist das was an der tafel stand richtig!
> du übersiehst dass oben im zähler eine differenz steht und
> um im gesamten bruch kürzen zu können musst du den term "
> [mm](x^2[/mm] + x) " erstmal ausklammern... wenn du " [mm](x^2[/mm] + [mm]x)^3[/mm] "
> ausklammerst und kürzt dann bleibt unten im nenner " [mm](x^2[/mm] +
> [mm]x)^5[/mm] " stehen
> ... genau so wie es an der tafel stand
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Do 26.10.2006 | | Autor: | Vieta |
Hallo,
es stand schon [mm] (x^{2}+x)^{4} [/mm] doch wie die andern schon gesagt haben: es wurde eben gekürzt. Aus der Differenz kanst du ja kürzen:
Bsp.: (4xy-2x) = 2x(2y-1)
Somit wurde dann [mm] (x^{2}+x)^{3} [/mm] ausgeklammert und damit gekürzt. Deshalb hast du im Nenner dann [mm] (x^{2}+x)^{5} [/mm] und im Zähler ist immer noch ein [mm] (x^{2}+x) [/mm] vorhanden.
Greez
Vieta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Do 26.10.2006 | | Autor: | zeusiii |
aber es wurde doch gar nicht ausgeklammert , komme auch nach den tollen antworten trotzdem nicht dahinter wieso
der Nenner Hoch 5 hat und die linke Klammer nur noch Hoch 1 und rechts ist es weggekürzt .
kann es einfach nicht nachvollziehen .
Ich sollte wohl doch den Weg hinschreiben den ich gegangen bin , denn da sieht man genau ,dass ich nirgends ausgeklammert habe !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Do 26.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo zeusiii!
Hier mal die Ableitung mit Zusammenfassen / Kürzen schrittweise.
Beim Kürzen verwenden wir dann das  Potenzgesetz [mm] $a^{m+n} [/mm] \ = \ [mm] a^m*a^n$ [/mm] .
$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{8x*\left(x^2+x\right)^4-\left(4x^2+3\right)*4*\left(x^2+x\right)^3*(2x+1)}{\left(x^2+x\right)^8} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8x*\blue{\left(x^2+x\right)^3}*\left(x^2+x\right)^1-\left(4x^2+3\right)*4*\blue{\left(x^2+x\right)^3}*(2x+1)}{\blue{\left(x^2+x\right)^3}*\left(x^2+x\right)^5} [/mm] \ = \ ...$
Nun sieht man doch zeimlich deutlich, dass man [mm] $\blue{\left(x^2+x\right)^3}$ [/mm] ausklammern und kürzen kann.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Fr 27.10.2006 | | Autor: | zeusiii |
Danke Loddar ,
ich weiß jetzt auch was ich übersehen habe , wenn ich aus der Differenz kürze muss ich auf beiden Seiten das [mm] (...)^{3} [/mm] rausstreichen ,aber nur einmal im Nenner 
bei solchen zusammenhängen verlier ich schon manchmal den überblick
danke für die Hilfe
schönes WE
noch
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Die letzte Zeile wie sie an der Tafel stand ist richtig. Ich weiss nicht ob man noch weiter günstig umformen kann, dies ist aber auch nicht nötig.
Der Nenner kann Auf keinen Fall [mm] (x^2+x) [/mm] sein, da der Grad des Polynoms im Zähler 3 ist, und im Nenner das Polynom hat Grad 10 . Also stimmt das so nicht.
Mfg
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