Kettenregel im R^n < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Sherin |
| Aufgabe | | Seien [mm] \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \IR [/mm] und g: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] definiert durch g(x,y) = [mm] \wurzel{x^{4} + y^{2}}. [/mm] Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] definiert duch f(t) = g [mm] (t^{\alpha_{1}}, t^{\alpha_{2}}). [/mm] Berechnen Sie zunächst [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] f(t) mit der Kettenregel und ohne direktes Einsetzen der Funktion g und überprüfen Sie dann Ihr Ergebnis durch Einsetzen. |
Hallo..
Also ich sitze gerad an dieser Aufgabe, die partielle Ableitung mit Hilfe der Kettenregel von f(t) zu berechnen ist ja nicht das problem, aber wie genau soll man das denn machen ohne die Funktion einzusetzen?
Wäre euch dankbar, wenn ihr mir ein Tipp oder Ansatz dafür geben könntet!
Lg,
Sherin
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Hallo Sherin,
also du hast eine funktion [mm] $g:\IR^2\to \IR$ [/mm] sowie eine kurve [mm] $h:\IR\to \IR^2$ [/mm] mit [mm] $h(t):=(t^{\alpha_1},t^{\alpha_2})$. [/mm] Du definierst nun [mm] $f(t)=(g\circ h)(t)=g(h(t))=g(t^{\alpha_1},t^{\alpha_2})$
[/mm]
Es gibt nun zwei methoden, die ableitung von $f$, also $f'(t)$, zu berechnen:
- direkt durch einsetzen
- durch die kettenregel. Die sagt nämlich
[mm] $\frac [/mm] d {dt} [mm] g(h(t))=\nabla [/mm] g [mm] (h(t))\cdot [/mm] h'(t)$, also äußere ableitung mal innere ableitung, ganz klassisch wie im eindimensionalen [mm] ($\nabla [/mm] g$ ist der gradient von $g$, das kennst du, oder?).
In der aufgabe sollst du beide varianten durchrechnen und zeigen, dass das gleiche rauskommt.
VG
Matthias
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:06 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Sherin |
Erstmal danke für die schnelle Antwort.. hab aber noch paar Fragen dazu:
Also [mm] \nabla [/mm] g ist doch [mm] (2x^3 [/mm] * [mm] (x^4+ y^2)^{- \bruch{1}{2}}, [/mm] y * [mm] (x^4+y^2)^{ -\bruch{1}{2}}) [/mm] oder?
h(t) = [mm] (t^{\alpha_{1}},t^{\alpha_{2}}), [/mm] aber was ist hier h'(t)? Das ist doch nicht [mm] (\alpha_{1}t^{\alpha_{1}-1}, \alpha_{2}t^{\alpha_{2}-1}), [/mm] oder?
Und wie genau rechne ich das [mm] \nabla [/mm] g (h(t)) * h'(t) dann aus? Irgendwie komme ich noch nicht so ganz mit dem mehrdimensonalem klar.. Und irgendwie glaube ich auch nicht, dass ich das jetzt alles hier richtig verstanden hab! Wäre echt froh, wenn mir das jemand erklären könnte!
Danke im Voraus!
Also ich habe das jetzt nochmal versucht zu verstehen..
meine ideen dazu wären jetzt:
h'(t) = [mm] \pmat{ \alpha_{1} t^{\alpha_{1}-1} \\ \alpha_{2} t^{\alpha_{2}-1} }
[/mm]
g'(t) = f'(h(t)) [mm] \circ [/mm] h'(t) = [mm] (D_{1}f D_{2}f) [/mm] * [mm] \pmat{ \alpha_{1} t^{\alpha_{1}-1} \\ \alpha_{2} t^{\alpha_{2}-1} }
[/mm]
= [mm] D_{1}f \alpha_1 t^{\alpha_1-1} [/mm] + [mm] D_{2}f \alpha_2 t^{\alpha_2-1}
[/mm]
Stimmt das so? Wenn ja, wie setze ich das jetzt ein um das zu überprüfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 12.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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