Klappt Induktion? < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Di 14.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Man beweise folgende Eigenschaften von [mm] cosh_{\IR} [/mm] und [mm] sinh_{\IR}.
[/mm]
a) cosh(x) [mm] \ge [/mm] 1 + [mm] \bruch{x^{2}}{2}
[/mm]
b) x [mm] \ge [/mm] 0
=> sinh(x) [mm] \ge [/mm] x + [mm] \bruch{x^{3}}{6}
[/mm]
x [mm] \le [/mm] 0
=> sinh(x) [mm] \le [/mm] x + [mm] \bruch{x^{3}}{6}
[/mm]
c) sinh(x) [mm] \le \bruch{x}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x}{2(1-x)} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0,1) |
Hallo.
Klappt da auch Induktion? Ich bin etwas verwirrt, da [mm] cosh_{\IR} [/mm] und [mm] sinh_{\IR}, [/mm] also [mm] \IR [/mm] da steht. Geht Induktion nicht nur für [mm] \IN? [/mm] Demnach bin ich mir nicht sicher, ob man das hier so machen kann?
Wenn nicht, kann mir dann jemand Tipps geben, wie man sonst da rangeht.
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Hallo SolRakt,
die Schreibweise finde ich auch merkwürdig, wenngleich verständlich. Zeige die Behauptungen für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Induktion geht also nicht, die klappt wirklich nur in [mm] \IN [/mm] (und mit entsprechenden Zuordnungen auch noch in anderen abzählbar unendlichen Mengen, nicht in [mm] \IR [/mm] also).
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Mi 15.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Man beweise folgende Eigenschaften von [mm]cosh_{\IR}[/mm] und
> [mm]sinh_{\IR}.[/mm]
>
> a) cosh(x) [mm]\ge[/mm] 1 + [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm]
>
> b) x [mm]\ge[/mm] 0
>
> => sinh(x) [mm]\ge[/mm] x + [mm]\bruch{x^{3}}{6}[/mm]
>
> x [mm]\le[/mm] 0
>
> => sinh(x) [mm]\le[/mm] x + [mm]\bruch{x^{3}}{6}[/mm]
>
> c) sinh(x) [mm]\le \bruch{x}{2}[/mm] + [mm]\bruch{x}{2(1-x)}[/mm] für x [mm]\in[/mm]
> [0,1)
> Hallo.
>
> Klappt da auch Induktion? Ich bin etwas verwirrt, da
> [mm]cosh_{\IR}[/mm] und [mm]sinh_{\IR},[/mm] also [mm]\IR[/mm] da steht. Geht
> Induktion nicht nur für [mm]\IN?[/mm] Demnach bin ich mir nicht
> sicher, ob man das hier so machen kann?
>
> Wenn nicht, kann mir dann jemand Tipps geben, wie man sonst
> da rangeht.
Tipp: Potenzreihenentwicklungen von sinh und cosh
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:56 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ich hab das jetzt versucht mit
cosh(x) = [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] | * 2
[mm] e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x} [/mm] = 2 + [mm] x^{2}
[/mm]
Aber dann komme ich schon nicht mehr weiter?
An fred: Was genau meinst du mit Potenzreihenentwicklung? Geht das mit obigem Ansatz nicht? Wenn das so nicht geht, kannst dun mir bitte diese Potenzreihenentwicklung nochmal zeigen? Danke sehr.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Do 16.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab das jetzt versucht mit
>
> cosh(x) = [mm]\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}[/mm] = 1 + [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] |
> * 2
>
> [mm]e^{x}[/mm] + [mm]e^{-x}[/mm] = 2 + [mm]x^{2}[/mm]
>
> Aber dann komme ich schon nicht mehr weiter?
>
> An fred: Was genau meinst du mit Potenzreihenentwicklung?
> Geht das mit obigem Ansatz nicht? Wenn das so nicht geht,
> kannst dun mir bitte diese Potenzreihenentwicklung nochmal
> zeigen? Danke sehr.
Es gilt:
$ sinh x = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = x+ [mm] \frac{x^3}{3!} [/mm] + [mm] \frac {x^5}{5!} [/mm] + [mm] \dots$
[/mm]
und
$cosh x = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}} [/mm] {(2n)!} = 1 + [mm] \frac{x^2}{2!} [/mm] + [mm] \frac{x^4}{4!} [/mm] + [mm] \dots [/mm] $
Weil bei cosh nur gerade Potenzen von x vorkommen, siehst Du z.B.
$cosh x = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}} [/mm] {(2n)!} [mm] \ge [/mm] 1 + [mm] \frac{x^2}{2!} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:13 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..verstehe was du meinst (sehr gut sogar ;)). Ähm, reicht sowas denn als Begründung aus? (die Aufgabe gibt auch nur 1 Punkt, also die a) Und nochmal blöd gefragt. Wäre der Ansatz von eben denn möglich? (
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Do 16.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hmm..verstehe was du meinst (sehr gut sogar ;)). Ähm,
> reicht sowas denn als Begründung aus? (die Aufgabe gibt
> auch nur 1 Punkt, also die a) Und nochmal blöd gefragt.
> Wäre der Ansatz von eben denn möglich? (
Wenn Du das
cosh(x) = $ [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2} [/mm] $ = 1 + $ [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] $ | * 2
$ [mm] e^{x} [/mm] $ + $ [mm] e^{-x} [/mm] $ = 2 + $ [mm] x^{2} [/mm] $
meinst, nein ! Obiges ist Unfug !
Es ist weder $ [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2} [/mm] $ = 1 + $ [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] $ noch gilt
$ [mm] e^{x} [/mm] $ + $ [mm] e^{-x} [/mm] $ = 2 + $ [mm] x^{2} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:18 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
ach sry nicht =, sondern [mm] \ge [/mm] Aber dann macht es sinn ;) Aber ich verwende jetzt diese Reihendarstellung xD Wollt nur fragen, warum das andere nicht geht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Do 16.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ach sry nicht =, sondern [mm]\ge[/mm] Aber dann macht es sinn ;)
> Aber ich verwende jetzt diese Reihendarstellung xD Wollt
> nur fragen, warum das andere nicht geht.
das geht schon, wenn Du anstatt $=$ ein [mm] $\ge$ [/mm] schreibst, wie Du korrigierend angemerkt hast. Aber Du brauchst auch da eine Begründung. Z.B. müßtest Du sagen (im folgenden steht [mm] $\sum:=\sum_{k=0}^\infty$ [/mm] und beide Reihen konvergieren für alle $x$, daher darf ich auch alle Summanden "in eine Reihe" schreiben):
[mm] $$e^{x}+e^{-x}=(\sum x^k/k!)+(\sum (-1)^k x^k/k!)=\sum ((1+(-1)^k) x^k/k!)=\sum [/mm] (2 [mm] x^{2k}/(2k)!)\,,$$
[/mm]
wobei letzte Reihe deswegen entsteht, weil [mm] $(-1)^k+1=0$ [/mm] für alle ungeraden, und [mm] $(-1)^k+1=2$ [/mm] für alle geraden $k$ ist.
[mm] $\text{(}$Ein [/mm] wenig anders notiert:
[mm] $$e^x+e^{-x}=1+x+x^2/2!+x^3/3!+\ldots \;\;\;\text\bf{\text{+}}\;\;\; 1+(-1)*x+x^2/2!+(-1)*x^3/3!+\ldots$$
[/mm]
[mm] $$\underbrace{=}_{\text{Kgz. beider Reihen}}2*1+2*x^2/2!+2*x^4/4!+\ldots\text{)}$$
[/mm]
Damit wird der Rest trivial (weil [mm] $x^{2k}=(x^k)^2 \ge0$ [/mm] für alle reellen [mm] $x\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Die Reihenumformung versteh ich, aber deine Alternative, also [mm] e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x} [/mm] = ... nicht. Wie würde man daraus folgern, dass das [mm] \ge [/mm] 1 + [mm] x^{2}/2 [/mm] ist?
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Hallo,
> Die Reihenumformung versteh ich, aber deine Alternative,
> also [mm]e^{x}[/mm] + [mm]e^{-x}[/mm] = ... nicht.
Na schreibe dir doch mal die ersten paar Summanden für die Reihe von [mm]e^x[/mm] hin und auch für die Reihe von [mm]e^{-x}[/mm]
> Wie würde man daraus
> folgern, dass das [mm]\ge[/mm] 1 + [mm]x^{2}/2[/mm] ist?
In der Aufaddierung von [mm]e^x+e^{-x}[/mm] stehen doch lauter positive Summanden, es ist also [mm]e^{x}+e^{-x}\ge \ \text{die Summe aus nur den ersten beiden Summanden}[/mm]
Du lässt ja was Positives weg.
Also hast du die Abschätzung: [mm]e^x+e^{-x}\ge 2+x^2[/mm]
Und wie kommst du damit nun auf die zu zeigende Abschätzung ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Vllt zu simpel, aber einfach durch 2 teilen? Ich versteh jetzt auch die Begründung. Vielen Dank. Ich setz mich mal an die b ;)
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Hallo nochmal,
> Vllt zu simpel, aber einfach durch 2 teilen?
HEUREKA!
> Ich versteh
> jetzt auch die Begründung. Vielen Dank. Ich setz mich mal
> an die b ;)
Gut, gut ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry, wenn das jetzt total blöd klingt, aber das ist doch vom Prinzip genau das gleiche. Also, ich mache das mal genau (lasse aber die Grenzen der reihe weg).
[mm] e^{x} [/mm] - [mm] e^{-x} [/mm] = [mm] \summe(\bruch{x^{k}}{k!}) [/mm] +
[mm] \summe(-((-1)^{k}\bruch{x^{k}}{k!}))
[/mm]
= [mm] \summe((1-(-1)^{k}))\bruch{x^{k}}{k!})
[/mm]
So, wenn k ungerade, ergibt sich:
[mm] \summe(2 \bruch{x^{k}}{k!})
[/mm]
Wenn k gerade, fällt alles weg, also 0.
Stimmt das mit der Reihe?
Nun
[mm] e^{x} [/mm] - [mm] e^{-x} [/mm] = 2x + 2 [mm] \bruch{x^{3}}{3!} [/mm] + 2 [mm] \bruch{x^{5}}{5!} [/mm] * ...
also [mm] e^{x} [/mm] - [mm] e^{-x} \ge [/mm] 2x + 2 [mm] \bruch{x^{3}}{3!} [/mm]
Jetzt wieder durch zwei, dann gilt die Behauptung.
Und da nur ungerade Exponenten stehen bleiben, gilt das für x [mm] \le [/mm] 0 genau andersrum. Kann man das so in etwas als Begründung noch da hinschreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Do 16.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sry, wenn das jetzt total blöd klingt, aber das ist doch
> vom Prinzip genau das gleiche. Also, ich mache das mal
> genau (lasse aber die Grenzen der reihe weg).
naja, wenn Du einfach nur so etwas wie [mm] $e^x+e^{-x} \ge [/mm] irgendwas$ behauptest, ohne das zu begründen, ist es halt nur eine unbewiesene Behauptung. Mit der Reihenentwicklung entsteht bei Dir aus der Behauptung eine (damit bewiesene) Tatsache!
Das ist etwa so wie, wenn man behauptet, dass [mm] $x^2-2x+1$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] stets [mm] $\ge [/mm] 0$ ist. Diese Ungleichung ist nicht sofort klar, wenn man allerdings nachweist, dass $x [mm] \mapsto x^2-2x+1$ [/mm] an [mm] $x=1\,$ [/mm] ein globales Minimum hat, ist sie bewiesen. (Ich mache den Beweis dieser Tatsache extra ein wenig komplizierter, weil Deine behauptete Ungleichung auch nicht so trivial einzusehen ist, wie obige Ungleichung es mittels der 2en bin. Formel wäre.  )
> [mm]e^{x}[/mm] - [mm]e^{-x}[/mm] = [mm]\summe(\bruch{x^{k}}{k!})[/mm] +
> [mm]\summe(-((-1)^{k}\bruch{x^{k}}{k!}))[/mm]
>
> = [mm]\summe((1-(-1)^{k}))\bruch{x^{k}}{k!})[/mm]
Die letzte Gleichheit gilt allerdings unter Beachtung der Konvergenz der beiden Reihen (für jedes reelle [mm] $x\,$).
[/mm]
> So, wenn k ungerade, ergibt sich:
>
> [mm]\summe(2 \bruch{x^{k}}{k!})[/mm]
>
> Wenn k gerade, fällt alles weg, also 0.
>
> Stimmt das mit der Reihe?
Das ist, wenn Du es so meinst, wie Du es schreibst, Unfug.
[mm] $$\summe((1-(-1)^{k}))\bruch{x^{k}}{k!})=\sum_{k \text{ ungerade}} 2\frac{x^{k}}{k!}=\sum_{m=0}^\infty 2\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}$$
[/mm]
ergibt sich einfach, weil
[mm] $$(1-(-1)^k)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k=2m \mbox{ mit einem }m \in \IN_0 \\ 2, & \mbox{für } k=2m+1 \mbox{ mit einem }m \in \IN_0 \end{cases}$$
[/mm]
Es macht keinen Sinn, zu sagen:
[mm] $$\sum a_k=\begin{cases} S_1, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ S_2, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}$$
[/mm]
[mm] $k\,$ [/mm] ist der Laufindex, und wenn die Reihe [mm] $\sum a_k$ [/mm] konvergiert, so kann der Grenzwert doch nicht vom Laufindex abhängen. Aber wenn für alle ungeraden [mm] $k\,$ [/mm] nun [mm] $a_k=0$ [/mm] ist, dann gilt
[mm] $$\sum a_k=\sum_{k \text{ gerade}}a_k=\sum_{m=0}^\infty a_{2m}$$
[/mm]
für den Grenzwert der Reihe.
Mach' Dir bitte deutlich klar, was der Unterschied hier zu Deiner Aussage ist. Nach Deiner Aussage wäre [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] vom Laufindex [mm] $k\,$ [/mm] abhängig - dieser durchläuft alle Zahlen aus [mm] $\IN_0$... [/mm]
P.S.:
Vielleicht ist aber obiges Missverständnis auch nur entstanden, weil Du anfangs
[mm] $$e^x+(-1)^ke^{-x}$$
[/mm]
schreiben wolltest. Dann sollte aber in der Reihenentweicklung von [mm] $e^x$ [/mm] bzw. [mm] $e^{-x}$ [/mm] auch (jeweils) anders heißen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Wie kann ich das denn bei dem dritten Punkt umformen, also da steht ja
[mm] e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x} \ge x^{2} [/mm] + [mm] x^{3}/3!
[/mm]
So, wenn man durch 2 teilt, steht links der sinh(x)
Aber wie formt man das rechte um, damit da das aus Punkt 3 steht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Do 16.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie kann ich das denn bei dem dritten Punkt umformen, also
> da steht ja
>
> [mm]e^{x}[/mm] + [mm]e^{-x} \ge x^{2}[/mm] + [mm]x^{3}/3![/mm]
>
> So, wenn man durch 2 teilt, steht links der sinh(x)
>
> Aber wie formt man das rechte um, damit da das aus Punkt 3
> steht?
keine Ahnung, was Du da rechnest:
[mm] $$2*\sinh(x)=e^{x}-e^{-x}=\sum_{m=0}^\infty 2\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} \ge 2x+\frac{2x^3}{3!}$$
[/mm]
gilt sicher für alle $x [mm] \ge 0\,$ [/mm] (man beachte, dass die Reihe linkerhand dann eh sicher konvergiert ("schlimmstenfalls" gegen [mm] $\infty$), [/mm] und bei dieser Abschätzung nur Summanden [mm] $\ge [/mm] 0$ rechterhand des [mm] $\ge$ [/mm] fehlen, so dass diese Abschätzung trivial ist).
Den (edit: Teil c) Rest von Teil b) kannst Du aus dem ersten Teil von b) folgern: Für $x [mm] \le [/mm] 0$ ist nämlich $y:=-x [mm] \ge 0\,,$ [/mm] und nun wende die erste Abschätzung aus b) auf $y [mm] \ge [/mm] 0$ an.
(Danach z.B. Multiplikation der Ungleichung mit [mm] $-1\,$ [/mm] unter Beachtung, dass sich das Ungleichzeichen dabei umdreht. Ferner kannst Du auch die banale Gleichheit [mm] $\sinh(-x)=-\sinh(x)$ [/mm] begründen und benutzen.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:36 Fr 17.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Aber x soll doch größer Null sein? Versteh deine Rechnung irgendwie nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aber x soll doch größer Null sein? Versteh deine Rechnung
> irgendwie nicht.
deswegen hatte ich geschrieben:
> $ [mm] 2\cdot{}\sinh(x)=e^{x}-e^{-x}=\sum_{m=0}^\infty 2\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} \ge 2x+\frac{2x^3}{3!} [/mm] $
> gilt sicher für alle $ x [mm] \ge 0\, [/mm] $
Was verstehst Du an der Rechnung nicht? Wenn man es ganz genau macht, dann kann man auch so argumentieren:
Klar ist, dass (sogar) für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt
[mm] $$2\sinh(x)=e^x-e^{-x}\,.$$
[/mm]
Nun gilt [mm] $e^x=\lim_{N \to \infty} \sum_{k=0}^N \frac{x^k}{k!}$ [/mm] und [mm] $e^{-x}=\lim_{N \to \infty} \sum_{k=0}^N(-1)^k\frac{x^k}{k!}$ [/mm] (der Reihenwert einer konvergenten Reihe ist der Grenzwert der zugehörigen Teilsummenfolge!), und weil die beiden Reihen konvergieren (d.h. die zugehörigen Teilsummenfolgen), gilt
[mm] $$2\sinh(x)=e^x-e^{-x}=\lim_{N \to \infty}\sum_{k=0}^N \frac{x^k}{k!}\;\;-\;\;\lim_{N \to \infty} \sum_{k=0}^N(-1)^k\frac{x^k}{k!}=\lim_{N \to \infty} \sum_{k=0}^N(1-(-1)^k)\frac{x^k}{k!}=\lim_{n \to \infty} \sum_{m=0}^n 2\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}\,.$$ [/mm]
Nun kommen wir zu der ersten Abschätzung (hier brauchen wir, dass $x [mm] \ge 0\,$):
[/mm]
Für $x [mm] \ge [/mm] 0$ ist jeder Summand [mm] $2x^{2m+1}/(2m+1)!$ [/mm] auch [mm] $\ge 0\,.$ [/mm] (Diese Eigenschaft wäre für $x [mm] \le [/mm] 0$ Quatsch - hier geht also die Voraussetzung $x [mm] \ge [/mm] 0$ wesentlich ein!)
Daher gilt für jedes [mm] $\blue{n} \in \IN\,:$
[/mm]
[mm] $$2\sinh(x)=\lim_{N \to \infty} \sum_{m=0}^N 2\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} \ge \sum_{m=0}^{\blue{n}} 2\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}\,.$$ [/mm]
(Denn hier ist, für jedes $x [mm] \ge 0\,,$ [/mm] die Reihe [mm] $\sum_{m=0}^\infty 2x^{2m+1}/((2m+1)!)\,,$ [/mm] also die Folge der Teilsummen: [mm] $\left(\sum_{m=0}^N 2x^{2m+1}/((2m+1)!)\right)_{N \in \IN}$, [/mm] eine monoton wachsende Folge!)
Daraus folgt insbesondere (für [mm] $n=1\,$), [/mm] dass
[mm] $$2\sinh(x) \ge 2\frac{x^1}{1!}+2\frac{x^3}{3!}\,.$$
[/mm]
Wegen [mm] $x^1=x\,,$ $1!=1\,$ [/mm] und $3!=6$ folgt nach einer Division der letzten Ungleichung durch [mm] $2\,,$ [/mm] dass
[mm] $$\sinh(x) \ge x+\frac{x^3}{6}\,.$$
[/mm]
(Erinnerung: Diese Abschätzung folgte so nur unter der Voraussetzung $x [mm] \ge [/mm] 0$ !!!))
Ist nun $x [mm] \le 0\,,$ [/mm] so können wir nicht [mm] $\sinh(x) \ge x+\frac{x^3}{6}$ [/mm] benutzen, da in dieser Abschätzung $x [mm] \ge [/mm] 0$ eine (nicht unwichtige) Voraussetzung war. Aber wir wissen dann, dass
[mm] $$(\star)\;\;\;\sinh(-x) \ge (-x)+\frac{(-x)^3}{6}$$
[/mm]
gilt. Damit das noch offensichtlicher wird, habe ich gesagt: Ist $x [mm] \le 0\,,$ [/mm] so ist $y:=-x [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Dann gilt aber nach dem ersten Teil
[mm] $$\sinh(y) \ge y+\frac{y^3}{6}\,.$$
[/mm]
Resubstituierst Du nun [mm] $y=-x\,$ [/mm] in der letzten Ungleichung, so erhältst Du sofort die obenstehende Ungleichung [mm] $(\star)\,.$ [/mm]
Die Ungleichung [mm] $(\star)$ [/mm] kannst Du nun noch ein wenig umformen, um die zweite Behauptung in Teil b) (also die Ungleichung für $x [mm] \le [/mm] 0$) nachzurechnen.
Besten Gruß,
Marcel
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