Klassifizieren & Var der Konst < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:12 Di 20.01.2015 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Klassifizieren Sie folgende Differentialgleichungen (explizit/implizit, linear/nichtlinear, zeitabhängig/autonom, skalar/nichtskalar, Ordnung) und bestimmen Sie eine Lösung mittels der Methode der Variation der Konstanten.
a) [mm] t^{11} [/mm] * s`(t) = [mm] 2t^{9} [/mm] * s - 3
Hier habe ich s` geschriebe weil mit Punkt auf der Variablen für die Zeitableitung nie gelingt.
b) xy` + ny = [mm] x^{m} [/mm] , n,m [mm] \in \IR [/mm] |
Hi zusammen,
die Methode der Variation der Konstanten will nicht so recht in mein Hirn.
Jetzt erstmal die Klassifizierungen und vielleicht kann mir jemand erklären was ich zu tun habe.
zu a)
explizit
nicht linear
zeitabhängig
skalar
Ordnung = 1
zu b)
explizit
nicht linear
autonom
skalar
Ordnung = 1
Ich danke für die Hilfe im voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Di 20.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Kann mir hier niemand helfen ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:17 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Martinius |
Hallo Bindl,
soll das heißen:
a) [mm] $t^{11}*\dot s(t)\;=\;2*t^9*s(t)-3$ [/mm] und
b) [mm] $x*y'(x)+n*y(x)\;=\;x^m$ [/mm] ?
falls ja - indem Du auf die Formel klickst siehst Du, wie man sie schreibt.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:54 Mi 21.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Klassifizieren Sie folgende Differentialgleichungen
> (explizit/implizit, linear/nichtlinear,
> zeitabhängig/autonom, skalar/nichtskalar, Ordnung) und
> bestimmen Sie eine Lösung mittels der Methode der
> Variation der Konstanten.
>
> a) [mm]t^{11}[/mm] * s'(t) = [mm]2t^{9}[/mm] * s - 3
> Hier habe ich s' geschriebe weil mit Punkt auf der
> Variablen für die Zeitableitung nie gelingt.
>
> b) xy' + ny = [mm]x^{m}[/mm] , n,m [mm]\in \IR[/mm]
> Hi zusammen,
>
> die Methode der Variation der Konstanten will nicht so
> recht in mein Hirn.
> Jetzt erstmal die Klassifizierungen und vielleicht kann
> mir jemand erklären was ich zu tun habe.
>
> zu a)
> explizit
ja
> nicht linear
falsch
> zeitabhängig
ja
> skalar
ja
> Ordnung = 1
ja
>
> zu b)
> explizit
ja
> nicht linear
falsch
> autonom
falsch
> skalar
ja
> Ordnung = 1
ja
fred
>
> Ich danke für die Hilfe im voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
danke für die Antwort.
Nur wieso ist bei Aufgabe b) autonom falsch ?
Ist eine DGL nicht autonom wenn sie nicht von Variablen t, also der Zeit, abhängt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Mi 21.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> danke für die Antwort.
>
> Nur wieso ist bei Aufgabe b) autonom falsch ?
>
> Ist eine DGL nicht autonom wenn sie nicht von Variablen t,
> also der Zeit, abhängt?
in b)
$xy' + ny = [mm] x^{m} [/mm] $
ist y die gesuchte Funktion und x die Variable.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
danke für die erste Hilfe.
Kann mir jemand am Beispiel a) erklären wie ich hier mit der Methode der Variation der Konstanten vorzugehen habe ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Mi 21.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Bindl!
> Kann mir jemand am Beispiel a) erklären wie ich hier mit
> der Methode der Variation der Konstanten vorzugehen habe ?
Tipp:
[mm] s'(t)=\frac{ds}{dt}.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich schreibe mal auf was ich zuerst gemacht habe:
Ich muss zunächst die homogene DGL
[mm] \dot{s}(t) [/mm] = [mm] \bruch{2s}{t}
[/mm]
durch Trennung der Variablen lösen.
Also,
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{ds}{s}} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{t} dt}
[/mm]
ln(s) = 2*ln(t) + ln(C)
s = 2t + C
Habe ich das korrekt gemacht ?
Das "s = 2t + C" muss ich ja dann für s bei [mm] "\dot{s}(t) [/mm] = [mm] \bruch{2s}{t} [/mm] - [mm] \bruch{3}{t^{11}}" [/mm] einsetzen.
Und was ich danach genau zu machen habe weiß ich einfach nicht.
Kann mir jemand helfen ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Bindl |
> Hi,
>
> ich schreibe mal auf was ich zuerst gemacht habe:
> Ich muss zunächst die homogene DGL
> [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t}[/mm]
> durch Trennung der Variablen lösen.
>
> Also,
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{ds}{s}}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{t} dt}[/mm]
> ln(s) = 2*ln(t) + ln(C)
> s = 2t + C
Ich glaube s = 2t + C ist falsch.
ln(s) = 2*ln(t) + ln(C)
ln(s) = [mm] ln(Ct^{2})
[/mm]
s = [mm] Ct^{2}
[/mm]
Jetzt muss ich ich s ableiten
[mm] \dot{s} [/mm] = [mm] C't^{2} [/mm] + [mm] C\bruch{t^{3}}{3}
[/mm]
Das muss ich ja nun in die DGL einsetzen:
[mm] C't^{2} [/mm] + [mm] C\bruch{t^{3}}{3} [/mm] = 2Ct - [mm] \bruch{3}{t^{11}}
[/mm]
Jetzt komme ich nicht mehr weiter, also glaube ich das ich einen Fehler gemacht habe.
Was ist mein Fehler ?
Danke für die Hilfe im voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Martinius |
Hallo Bindl,
> > Hi,
> >
> > ich schreibe mal auf was ich zuerst gemacht habe:
> > Ich muss zunächst die homogene DGL
> > [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > durch Trennung der Variablen lösen.
Könntest Du bitte einmal kontrollieren, ob Du die DGL richtig für uns aufgeschrieben hast.
Du schreibst:
$ t^{11}* \dot s \;=\; 2*t^9*s-3}$ homogene DGL: $t^{11}*\dot s\;=\; 2*t^9*s}$
Daraus: $ \dot s\;=\;\frac{2s}{t^2}$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Bindl |
> Könntest Du bitte einmal kontrollieren, ob Du die DGL
> richtig für uns aufgeschrieben hast.
>
> Du schreibst:
>
> [mm]t^{11}* \dot s \;=\; 2*t^9*s-3}[/mm] homogene DGL:
> [mm]t^{11}*\dot s\;=\; 2*t^9*s}[/mm]
>
> Daraus: [mm]\dot s\;=\;\frac{2s}{t^2}[/mm]
Die DGL lautet [mm] t^{11} [/mm] * [mm] \dot{s}(t) [/mm] = 2 * [mm] t^{9} [/mm] * s - 3
Das habe ich nach [mm] \dot{s}(t) [/mm] aufgelöst:
[mm] \dot{s}(t) [/mm] = [mm] \bruch{2t^{9}s}{t^{11}} [/mm] - [mm] \bruch{3}{t^{11}} [/mm] = [mm] \bruch{2s}{t^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{3}{t^{11}}
[/mm]
Ich dachte [mm] \dot{s}(t) [/mm] = [mm] \bruch{2t^{9}s}{t^{11}} [/mm] ist die homogene DGL.
Ist das schon falsch ? Was ist denn hier die homogene DGL ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mi 21.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Könntest Du bitte einmal kontrollieren, ob Du die DGL
> > richtig für uns aufgeschrieben hast.
> >
> > Du schreibst:
> >
> > [mm]t^{11}* \dot s \;=\; 2*t^9*s-3}[/mm] homogene DGL:
> > [mm]t^{11}*\dot s\;=\; 2*t^9*s}[/mm]
> >
> > Daraus: [mm]\dot s\;=\;\frac{2s}{t^2}[/mm]
>
> Die DGL lautet [mm]t^{11}[/mm] * [mm]\dot{s}(t)[/mm] = 2 * [mm]t^{9}[/mm] * s - 3
>
> Das habe ich nach [mm]\dot{s}(t)[/mm] aufgelöst:
> [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2t^{9}s}{t^{11}}[/mm] - [mm]\bruch{3}{t^{11}}[/mm] =
> [mm]\bruch{2s}{t^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{3}{t^{11}}[/mm]
>
> Ich dachte [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2t^{9}s}{t^{11}}[/mm] ist die
> homogene DGL.
> Ist das schon falsch ?
Nein. Was ist denn [mm] \bruch{t^9}{t^{11}} [/mm] ??????
FRED
> Was ist denn hier die homogene DGL
> ?
>
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Hallo Bindl,
> > Hi,
> >
> > ich schreibe mal auf was ich zuerst gemacht habe:
> > Ich muss zunächst die homogene DGL
> > [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t}[/mm]
> > durch Trennung der Variablen lösen.
> >
> > Also,
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{ds}{s}}[/mm] =
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{t} dt}[/mm]
> > ln(s) = 2*ln(t) +
> ln(C)
> > s = 2t + C
>
> Ich glaube s = 2t + C ist falsch.
> ln(s) = 2*ln(t) + ln(C)
> ln(s) = [mm]ln(Ct^{2})[/mm]
> s = [mm]Ct^{2}[/mm]
>
> Jetzt muss ich ich s ableiten
> [mm]\dot{s}[/mm] = [mm]C't^{2}[/mm] + [mm]C\bruch{t^{3}}{3}[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]\dot{s}[/mm] = [mm]C't^{2}[/mm] + [mm]C\red{2t}[/mm]
> Das muss ich ja nun in die DGL einsetzen:
> [mm]C't^{2}[/mm] + [mm]C\bruch{t^{3}}{3}[/mm] = 2Ct - [mm]\bruch{3}{t^{11}}[/mm]
>
> Jetzt komme ich nicht mehr weiter, also glaube ich das ich
> einen Fehler gemacht habe.
> Was ist mein Fehler ?
>
> Danke für die Hilfe im voraus
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Mi 21.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> ich schreibe mal auf was ich zuerst gemacht habe:
> Ich muss zunächst die homogene DGL
> [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t}[/mm]
Nein, sondern [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t^2}[/mm]
FRED
> durch Trennung der Variablen lösen.
>
> Also,
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{ds}{s}}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{t} dt}[/mm]
> ln(s) = 2*ln(t) + ln(C)
> s = 2t + C
>
> Habe ich das korrekt gemacht ?
>
> Das "s = 2t + C" muss ich ja dann für s bei [mm]"\dot{s}(t)[/mm] =
> [mm]\bruch{2s}{t}[/mm] - [mm]\bruch{3}{t^{11}}"[/mm] einsetzen.
>
> Und was ich danach genau zu machen habe weiß ich einfach
> nicht.
> Kann mir jemand helfen ?
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:14 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
danke für den Hinweis:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{ds}{s}} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{t^{2}} dt}
[/mm]
ln(s) = [mm] -\bruch{2}{x} [/mm] + C
s = [mm] Ce^{-\bruch{2}{x}} [/mm] Habe ich die e-Funktion hier richtig angewendet?
[mm] \dot{s} [/mm] = C`* [mm] e^{-\bruch{2}{x}} [/mm] - C * [mm] e^{-\bruch{2}{x}}
[/mm]
Stimmt das?
Dann müsste ich ja s und [mm] \dot{s} [/mm] bei [mm] \dot{s} [/mm] = [mm] \bruch{2s}{t^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{3}{t^{11}} [/mm] einsetzen.
Dann nach C` auflösen und C` dann integrieren um C zu bekommen und C dann bei s = C * [mm] e^{-\bruch{2}{x}} [/mm] einsetzen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Do 22.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Kann mir jemand hier helfen ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Do 22.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Das ist mir inzwischen zu unübersichtlich geworden.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Do 22.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
kann ich verstehen. Ich schreibe nochmal alles auf:
[mm] t^{11} [/mm] * [mm] \dot{s}(t) [/mm] = [mm] 2*t^{9} [/mm] - 3
[mm] \dot{s}(t) [/mm] = [mm] \bruch{2s}{t^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{3}{t^{11}}
[/mm]
Die homogene DGL ist [mm] \dot{s}(t) [/mm] = [mm] \bruch{2s}{t^{2}}.
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{ds}{s}} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{t^{2}}}
[/mm]
ln(|s|) = [mm] -\bruch{2}{x} [/mm] + ln(|C|)
s = C * [mm] e^{-\bruch{2}{x}}
[/mm]
[mm] \dot{s} [/mm] = C' * [mm] e^{-\bruch{2}{x}} [/mm] - C * [mm] e^{-\bruch{2}{x}}
[/mm]
Ist das soweit richtig ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Do 22.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> Hi,
> kann ich verstehen. Ich schreibe nochmal alles auf:
Ja, das hilft.
>
> [mm]t^{11}[/mm] * [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]2*s*t^{9}[/mm] - 3
Ich habe das fehlende s ergänzt.
>
> [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{3}{t^{11}}[/mm]
>
> Die homogene DGL ist [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t^{2}}.[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{s}ds}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{t^{2}}dt}[/mm]
>
> ln(|s|) = [mm]-\bruch{2}{x}[/mm] + ln(|C|)
Das ist nicht günstig, hier den Variablennamen von t in x zu ändern.
>
> s = C * [mm]e^{-\bruch{2}{x}}[/mm]
>
> [mm]\dot{s}[/mm] = C' * [mm]e^{-\bruch{2}{x}}[/mm] - C * [mm]e^{-\bruch{2}{x}}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig ?
Genau der letzte Schritt hat mich irritiert. C ist eine Konstante und damit C' = 0, weiterhin fehlt die innere Ableitung. Wie immer: mach die Probe. Du hast nun
[mm]\dot{s}[/mm] = C' * [mm]e^{-\bruch{2}{x}}[/mm] - C * [mm]e^{-\bruch{2}{x}}[/mm]
und das soll [mm] $\bruch{2 C e^{-\bruch{2}{x}} }{t^2}$ [/mm] ergeben. Rechne nach.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Do 22.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich glaube ich muss aus der Konstanten C eine Funktion von t machen.
s = C * [mm] e^{-\bruch{2}{t}} [/mm] -> s = C(t) * [mm] e^{-\bruch{2}{t}}
[/mm]
[mm] \dot{s} [/mm] = C'(t) * [mm] e^{-\bruch{2}{t}} [/mm] - C(t) * [mm] e^{-\bruch{2}{t}} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{t})
[/mm]
Müsste es nicht aber,
[mm] \dot{s} [/mm] = C'(t) * [mm] e^{-\bruch{2}{t}} [/mm] + C(t) * [mm] e^{-\bruch{2}{t}} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{t^{2}})
[/mm]
heißen ?
Ich bekomme [mm] \dot{s} [/mm] einfach nicht hin.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Do 22.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> Hi,
>
> ich glaube ich muss aus der Konstanten C eine Funktion von
> t machen.
Das heißt, Du willst Dich nun an die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mit der Methode "Variation der Konstanten" machen.
Du musst Deine Lösungen und Lösungsversuche mit präzisem Text versehen. Sonst sind sie unvollständig, mit Pech falsch, da unverständlich.
Ich finde das voreilig. Noch hast Du gar nicht die Lösung der homogenen Differentialgleichung. Da musst Du erst einmal zeigen, dass die stimmt. (Schreibe ich das nun zum fünften Mal?)
>
>
> s = C * [mm]e^{-\bruch{2}{t}}[/mm] -> s = C(t) *
> [mm]e^{-\bruch{2}{t}}[/mm]
>
> [mm]\dot{s}[/mm] = C'(t) * [mm]e^{-\bruch{2}{t}}[/mm] - C(t) *
> [mm]e^{-\bruch{2}{t}}[/mm] * [mm](\bruch{2}{t})[/mm]
Die innere Ableitung ist falsch. Was ist die Ableitung von $g(x) = - [mm] \bruch{2}{t}$.
[/mm]
>
> Müsste es nicht aber,
>
> [mm]\dot{s}[/mm] = C'(t) * [mm]e^{-\bruch{2}{t}}[/mm] + C(t) *
> [mm]e^{-\bruch{2}{t}}[/mm] * [mm](\bruch{2}{t^{2}})[/mm]
>
> heißen ?
ja
> Ich bekomme [mm]\dot{s}[/mm] einfach nicht hin.
Dazu musst Du obiges g'(t) berechnen. Es ist für mich irritierend, dass Du Dich mit Differentialgleichungen befasst. Dazu scheinen die Grundlagen nicht auszureichen.
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 14:05 Do 22.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich versuche es jetzt besser zu beschreiben was ich da mache.
Zunächst habe ich die homogene DGL [mm] \dot{s}(t) [/mm] = [mm] \bruch{2s}{t^{11}} [/mm] gelöst und bekomme s = C * [mm] e^{-2}{t}.
[/mm]
Dann habe ich gelernt das man die Konstante C zu einer Funktion machen muss um die imhogene DGL zu lösen.
Also aus s = C * [mm] e^{-2}{t} [/mm] mache ich s = C(t) * [mm] e^{-2}{t}.
[/mm]
Nun mache ich die Zeitableitung [mm] \dot{s}. [/mm] Hier habe ich wieso auch immer bei [mm] e^{-2}{t} [/mm] ans integrieren gedacht und nicht ans ableiten, sorry.
Also ist [mm] \dot{s} [/mm] = C'(t) * [mm] e^{-2}{t} [/mm] + [mm] \bruch{2 * C(t) * e^{-2}{t}}{t^{2}}.
[/mm]
Nun setze ich s & [mm] \dot{s} [/mm] in die ursprüngliche inhomogene DGL [mm] \dot{s} [/mm] = [mm] \bruch{2s}{t^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{3}{t^{11}}
[/mm]
Also, C'(t) * [mm] e^{-2}{t} [/mm] + [mm] \bruch{2 * C(t) * e^{-2}{t}}{t^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{2 * C(t) * e^{-2}{t}}{t^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{3}{t^{11}}.
[/mm]
[mm] \bruch{2 * C(t) * e^{-2}{t}}{t^{2}} [/mm] fällt weg und es bleibt nur C'(t) * [mm] e^{-2}{t} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{t^{11}}
[/mm]
C'(t) = [mm] -\bruch{3 * e^{\bruch{2}{t}}}{t^{11}}
[/mm]
Jetzt möchte ich C(t) bestimmen:
C(t) = [mm] \integral_{}^{}{C'(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{-\bruch{3 * e^{\bruch{2}{t}}}{t^{11}} dt} [/mm] = -3 * [mm] \integral_{}^{}{e^{\bruch{2}{t}} * t^{-11}}
[/mm]
Hier habe ich ein Problem !
Ein Produkt intergriert man doch so:
[mm] \integral_{}^{}{x * e^{x} dt}
[/mm]
u = x u'= 1
v'= [mm] e^{x} [/mm] v = [mm] e^{x}
[/mm]
F(x) = u * v - [mm] \integral_{}^{}{(u' * v) dt}
[/mm]
Also ich bei meiner Aufgabe:
u = [mm] e^{2/t} [/mm] u'= [mm] -\bruch{2e^{2/t}}{t^{2}}
[/mm]
v = [mm] t^{-11} [/mm] v'= [mm] -10t^{-10}
[/mm]
F(x) = [mm] e^{2/t} [/mm] * [mm] t^{-11} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{20e^{2/t}}{t^{12}}}
[/mm]
Und bei [mm] \integral_{}^{}{\bruch{20e^{2/t}}{t^{12}}} [/mm] scheitere ich.
Wenn ich diese Integration hinbekommen würde müsste ich nur noch folgendes mache:
C(t) in s = C(t) * [mm] e^{-2/t} [/mm] einsetzen und dann hätte ich die inhomogene DGL gelöst.
Zumindest habe ich das so gelernt, wenn ich es richtig verstanden habe.
Dann war noch s(-1) = 1 gegeben.
Ich müsste dann nur noch für t = -1 & für s = 1 setzen und C berechnen.
Es gibt sicher andere Wege, nur kenne ich diese nicht.
Vielleicht kann mir ja bei meinem Intergrationsproblem geholfen werden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Do 22.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> Hi,
> ich versuche es jetzt besser zu beschreiben was ich da
> mache.
>
> Zunächst habe ich die homogene DGL [mm]\dot{s}(t)[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t^{11}}[/mm] gelöst
Vorher lautete die anders.
> und bekomme s = C * [mm]e^{-2}{t}.[/mm]
Auch das war vorher anders.
Daher kann ich das Folgende nur ganz allgemein kommentieren.
>
> Dann habe ich gelernt das man die Konstante C zu einer
> Funktion machen muss um die imhogene DGL zu lösen.
> Also aus s = C * [mm]e^{-2}{t}[/mm] mache ich s = C(t) *
> [mm]e^{-2}{t}.[/mm]
In Ordnung, "Variation der Konstanten".
>
> Nun mache ich die Zeitableitung [mm]\dot{s}.[/mm] Hier habe ich
> wieso auch immer bei [mm]e^{-2}{t}[/mm] ans integrieren gedacht und
> nicht ans ableiten, sorry.
> Also ist [mm]\dot{s}[/mm] = C'(t) * [mm]e^{-2}{t}[/mm] + [mm]\bruch{2 * C(t) * e^{-2}{t}}{t^{2}}.[/mm]
Wenn Du Dich um das t im Exponenten kümmerst und alles entsprechend verbesserst, dann erkenne ich die vorher diskutierte Aufgabe wieder und es könnte nun eine korrekte Ableitung werden. Meine weiteren Anmerkungen stehen immer unter diesem Vorbehalt.
>
> Nun setze ich s & [mm]\dot{s}[/mm] in die ursprüngliche inhomogene
> DGL [mm]\dot{s}[/mm] = [mm]\bruch{2s}{t^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{3}{t^{11}}[/mm]
>
> Also, C'(t) * [mm]e^{-2}{t}[/mm] + [mm]\bruch{2 * C(t) * e^{-2}{t}}{t^{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{2 * C(t) * e^{-2}{t}}{t^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{3}{t^{11}}.[/mm]
>
> [mm]\bruch{2 * C(t) * e^{-2}{t}}{t^{2}}[/mm] fällt weg und es
> bleibt nur C'(t) * [mm]e^{-2}{t}[/mm] = [mm]-\bruch{3}{t^{11}}[/mm]
>
> C'(t) = [mm]-\bruch{3 * e^{\bruch{2}{t}}}{t^{11}}[/mm]
Nun stimmt es wieder.
>
> Jetzt möchte ich C(t) bestimmen:
> C(t) = [mm]\integral_{}^{}{C'(t) dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{-\bruch{3 * e^{\bruch{2}{t}}}{t^{11}} dt}[/mm] =
> -3 * [mm]\integral_{}^{}{e^{\bruch{2}{t}} * t^{-11}}[/mm]
>
> Hier habe ich ein Problem !
Das ist in in der Tat nicht ein Itegral, dessen Lösung ins Auge springt.
> Ein Produkt intergriert man doch so:
> [mm]\integral_{}^{}{x * e^{x} dt}[/mm]
> u = x u'= 1
> v'= [mm]e^{x}[/mm] v = [mm]e^{x}[/mm]
> F(x) = u * v - [mm]\integral_{}^{}{(u' * v) dt}[/mm]
Du meinst, dass Du die Methode der partiellen Integration anwenden willst. Beim Integrieren gibt es viele Rezepte. Da muss man probieren, wie man weiter kommt.
>
> Also ich bei meiner Aufgabe:
> u = [mm]e^{2/t}[/mm] u'= [mm]-\bruch{2e^{2/t}}{t^{2}}[/mm]
> v = [mm]t^{-11}[/mm] v'= [mm]-10t^{-10}[/mm]
Da stimmt es auch nicht.
Wenn, dann müsste es v' = [mm]t^{-11}[/mm] und v= [mm]-0,1t^{-10}[/mm] heißen. Aber auch dann wird die Potenz von t im Nenner des neuen Integrals größer. Das legt als nächsten Versuch nahe, es genau anders herum anzusetzen:
u' = [mm]e^{2/t}[/mm]
v = [mm]t^{-11}[/mm]
Das wird aber nichts, weil es keine einfache Lösung für u gibt. Da Wolfram Alpha eine Lösung findet, muss es einen Weg geben. Ich sehe den nicht. Da sollte jemand mit mehr Routine ran. Ich rate Dir, nur die Suche nach der Lösung von [mm]\integral_{}^{}{e^{\bruch{2}{t}} * t^{-11}}[/mm]
als neue Frage zu stellen, mit einem Hinweis auf diesen Thread.
Nachrag: Als ich eben mit den Einkäufen vom Markt nach Hause ging, kam mir die Idee, es erst einmal mit der Substitution u = 1/t zu versuchen. Anschließend sollte es dann mit mehrfacher partieller Integration gelingen. Das ist etwas Schreibarbeit. Da musst Du entscheiden, ob es Dir das wert ist.
>
> F(x) = [mm]e^{2/t}[/mm] * [mm]t^{-11}[/mm] -
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{20e^{2/t}}{t^{12}}}[/mm]
>
> Und bei [mm]\integral_{}^{}{\bruch{20e^{2/t}}{t^{12}}}[/mm]
> scheitere ich.
>
> Wenn ich diese Integration hinbekommen würde müsste ich
> nur noch folgendes mache:
> C(t) in s = C(t) * [mm]e^{-2/t}[/mm] einsetzen und dann hätte ich
> die inhomogene DGL gelöst.
>
> Zumindest habe ich das so gelernt, wenn ich es richtig
> verstanden habe.
>
> Dann war noch s(-1) = 1 gegeben.
> Ich müsste dann nur noch für t = -1 & für s = 1 setzen
> und C berechnen.
>
> Es gibt sicher andere Wege, nur kenne ich diese nicht.
> Vielleicht kann mir ja bei meinem Intergrationsproblem
> geholfen werden.
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 24.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 24.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
zur Lösung von b) sollte ich ja zunächst wissen was hier die homogene DGL ist.
Nur sehe ich das leider nicht.
Was ist denn hier die homogene DGL ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mi 21.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> zur Lösung von b) sollte ich ja zunächst wissen was hier
> die homogene DGL ist.
> Nur sehe ich das leider nicht.
> Was ist denn hier die homogene DGL ?
$xy' + ny = 0$
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
xy'+ ny = 0
[mm] x\bruch{dy}{dx} [/mm] = -ny
[mm] \bruch{dy}{-ny} [/mm] = [mm] \bruch{dx}{x}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{-ny}} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{x}}
[/mm]
[mm] -\bruch{ln(y)}{n} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + C
ln(y) = [mm] -\bruch{x^{2}n}{2} [/mm] - Cn
Ich weiß nicht so richtig wie ich die e-Funktion anzuwenden.
Kann mir jemand helfen um das ganze dann als y=... zu haben?
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Hallo Bindl,
inhomogene DGL: [mm] $x*\frac{dy}{dx}+n*y\;=\;x^m$ [/mm] homogene DGL: [mm] $x*\frac{dy}{dx}+n*y\;=\;0$
[/mm]
[mm] $x*\frac{dy}{dx}\;=\;-n*y$
[/mm]
[mm] $\int \frac{1}{y}\;dy\;=\;-n*\int \frac{1}{x}\;dx$
[/mm]
[mm] $ln|y|\;=\;-n*ln|x|+ln|C|$
[/mm]
[mm] $y\;=\;\frac{C}{x^n}\;=\;C*x^{-n}$ [/mm] nun Variation der Konstanten: [mm] $y\;=\;C(x)*x^{-n}$
[/mm]
[mm] $y'\;=\; C'*x^{-n}-n*C*x^{-n-1}$ [/mm] einsetzen in die inhomogene DGL: [mm] $x*C'*x^{-n}-n*x*C*x^{-n-1}+n*C*x^{-n}\;=\;x^m$
[/mm]
[mm] $C'*x^{-n+1}-n*C*x^{-n}+n*C*x^{-n}\;=\;x^m$
[/mm]
[mm] $C'*x^{-n+1}\;=\;x^m$
[/mm]
[mm] $\frac{dC}{dx}\;=\;x^{m+n-1}$ [/mm] liefert [mm] $\int dC\;=\;\int x^{n+m-1}\;dx$ [/mm] und also: [mm] $C\;=\;\frac{1}{m+n}*x^{m+n}+D$
[/mm]
Einsetzen in: [mm] $y\;=\;C(x)*x^{-n}$
[/mm]
[mm] $y\;=\;\frac{1}{m+n}*\frac{x^{m+n}}{x^n}+\frac{D}{x^n}\;$ [/mm] ist [mm] $y=\;\frac{x^m}{m+n}+\frac{D}{x^{n}}$
[/mm]
Um die Lösung zu überprüfen könntest Du sie ableiten und alles in die inhomogene DGL einsetzen.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Bindl |
> [mm]\int \frac{1}{y}\;dy\;=\;-n*\int \frac{1}{x}\;dx[/mm]
>
> [mm]ln|y|\;=\;-n*ln|x|+ln|C|[/mm]
Wieso kommt bei dem integrieren immer + ln|C| und nicht einfach + C ?
So kenn ich beim "normalen" integrieren.
Und natürlich danke für die ausführliche Erklärung.
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Hallo Bindl,
> > [mm]\int \frac{1}{y}\;dy\;=\;-n*\int \frac{1}{x}\;dx[/mm]
> >
> > [mm]ln|y|\;=\;-n*ln|x|+ln|C|[/mm]
>
> Wieso kommt bei dem integrieren immer + ln|C| und nicht
> einfach + C ?
Das darfst Du machen wie Du möchtest.
LG, Martinius
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