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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Mo 19.01.2015 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Klassifizieren Sie folgende Differentialgleichungen (explizit/implzit, linear/nichtlinear, zeitabhängig/autonom, skalar/nichtskalar, Ordnung). Bestimmen Sie, ob die Differentialgleichungen exakt sind und wenn nicht, bestimmen Sie einen Integrierenden Faktor. Lösen Sie anschließend die exakten Differentialgleichungen.
a) t [mm] \dot [/mm] x cos(x) + sind(x) = 0 , Hinweis: Es genügt hier, das Potenzial zu bestimmen
b) [mm] (x^{2} [/mm] - [mm] 3y^{2}) [/mm] + [mm] 2xy\bruch{dy}{dx} [/mm] = 0 , y(9)=2 |
Hi zusammen,
zu a)
explizit, da nach [mm] \dot [/mm] x auflösbar
linear, da alle Potenzen = 1 sind
autonom, da nicht von t abhängig
skalar/nichtskalar, ???
Ordnung, 1
M(x,y) = t*cos(x) -> [mm] M_{y} [/mm] = 0
N(x,y) = sin(x) -> [mm] N_{x} [/mm] = cos(x)
-> nicht exakt
zu b)
explizit, da nach [mm] 2xy\bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] -x^{2} [/mm] + [mm] 3y^{2} [/mm] auflösbar
nicht linear, da nicht alle Potenzen = 1
autonom, da nicht von t abhängig
skalar/nichtskalar, ???
Ordnung, 1
M(x,y) = [mm] x^{2} [/mm] - [mm] 3y^{2} [/mm] -> [mm] M_{y} [/mm] = -6y
N(x,y) = 2xy -> [mm] N_{x} [/mm] = 2y
-> nicht exakt
Ist das soweit richtig?
Danke für eure Hilfe im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Mo 19.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei a) sehe ich keine Dgl
bei b) hast du dy/dx also hat das nichts mit t zu tun sondern mit x und ist davon nicht unabhängig.
skalar kenne ich nur für lieare Dgl.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Mo 19.01.2015 | | Autor: | Bindl |
zu a)
Hier sollte bei t * x * cos(x) das x mit einem Punkt drauf versehen sein.
Auch hier ist mir das verwenden der vorgegeben Formel nicht gelungen.
[mm] \dotx
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mo 19.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
wie sieht es denn bezüglich meiner ersten Berechnungen aussieht?
Ist es richtig das bei beide DGL`s nicht exakt sind und habe ich das auch richtig gezeigt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Mo 19.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn a) nun $ x'*t*cos(x)+sinx=0 $ ist kommt x zwar nicht als direkte Potenz vor aber sicher nicht nur linear was ist mit sin(x)?
also nicht linear, da x' nur linear vorkommt skalar, nicht autonom, da t explizit vorkommt
lösen ist einfach durch Separation.
b) hattest du soweit richtig,
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:46 Di 20.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
da ich nun bewiesen habe das beide DGL nicht exakt sind meine weiteren Rechnungen.
zu a)
Hier soll ich ja nur das Potenzial berechnen.
[mm] \bruch{M_{y} - N_{x}}{N}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{0 - cos(x)}{sin(x)} [/mm] = [mm] -\bruch{cos(x)}{sin(x)}
[/mm]
[mm] \bruch{N_{x} - M_{y}}{M}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{cos(x) - 0}{t * cos(x)} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{t}
[/mm]
Bin ich damit fertig?
zu b)
[mm] \bruch{M_{y} - N_{x}}{N}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{-6y - 2y}{2xy} [/mm] = [mm] \bruch{-8y}{2xy} [/mm] = [mm] \bruch{-4}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{N_{x} - M_{y}}{M}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{2y + 6y}{x^{2} - 3y^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{8y}{x^{2} - 3y^{2}}
[/mm]
[mm] exp(\integral_{}^{x}{-\bruch{4}{n} dn} [/mm] = exp(-4 ln(x)) = [mm] \bruch{4}{x}
[/mm]
-> 4x - [mm] \bruch{12y^{2}}{x} [/mm] + [mm] 2y\bruch{dy}{dx} [/mm] = 0
Ab hier stehe ich auf dem Schlauch.
Ist das was bis hierhin gemacht habe korrekt?
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Hallo Bindl,
> [mm]exp(\integral_{}^{x}{-\bruch{4}{n} dn}[/mm] = exp(-4 ln(x)) =
> [mm]\bruch{4}{x}[/mm]
Hier ist der Fehler:
> $ exp(-4 [mm] *ln(x))\; [/mm] = [mm] \;x^{-4}\;=\; \frac{1}{x^4}$ [/mm] ist damit der integrierende Faktor.
> Ist das was bis hierhin gemacht habe korrekt?
>
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Di 20.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
danke es ist natürlich [mm] x^{-4} [/mm] bei Aufgabe b)
Dann müsste ich ja
[mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{3y^{2}}{x^{4}} [/mm] + [mm] \bruch{2y}{x^{3}} \bruch{dy}{dx} [/mm] = 0
lösen. Nur wie ?
Habe ich denn a) vollständig gelöst?
Danke für die Hilfe im voraus
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Hallo Bindl,
> Hi,
>
> danke es ist natürlich [mm]x^{-4}[/mm] bei Aufgabe b)
>
> Dann müsste ich ja
> [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{3y^{2}}{x^{4}}[/mm] +
> [mm]\bruch{2y}{x^{3}} \bruch{dy}{dx}[/mm] = 0
> lösen. Nur wie ?
>
> Habe ich denn a) vollständig gelöst?
>
> Danke für die Hilfe im voraus
Du hast: [mm] $\left(\frac{1}{x^2}-\frac{3y^2}{x^4} \right)dx+\left( \frac{2y}{x^3}\right)dy\;=\;0$
[/mm]
Nun integriere:
[mm] $\int \left(\frac{1}{x^2}-\frac{3y^2}{x^4} \right)dx+\int\left( \frac{2y}{x^3}\right)dy\;=\;\int [/mm] 0$
1. Integral: [mm] $\int \left(\frac{1}{x^2}-\frac{3y^2}{x^4} \right)dx\;=\;-\frac{1}{x}+\frac{y^2}{x^3}+f(y)$
[/mm]
2. Integral: [mm] $\int\left( \frac{2y}{x^3}\right)dy\;=\;\frac{y^2}{x^3}+f(x)$
[/mm]
wobei f(y)=0 und [mm] $f(x)\;=\;-\frac{1}{x}$ [/mm] damit: [mm] $F(x,y)\;=\;-\frac{1}{x}+\frac{y^2}{x^3}\;=\;C$ [/mm] oder: [mm] $y^2\;=\;C*x^3+x^2$
[/mm]
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Martinius |
Hallo Bindl,
Du hast ja noch einen Funktionswert gegeben: (9/2)
Damit: [mm] $y\;=\; \pm \wurzel{C*x^3+x^2}$
[/mm]
[mm] $2\;=\; \wurzel{C*729+81}$ [/mm] daher: [mm] $C\;=\;\frac{-77}{729}$
[/mm]
LG, Martinius
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:55 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Bindl |
> zu a)
> Hier soll ich ja nur das Potenzial berechnen.
>
> [mm]\bruch{M_{y} - N_{x}}{N}(x,y)[/mm] = [mm]\bruch{0 - cos(x)}{sin(x)}[/mm]
> = [mm]-\bruch{cos(x)}{sin(x)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{N_{x} - M_{y}}{M}(x,y)[/mm] = [mm]\bruch{cos(x) - 0}{t * cos(x)}[/mm]
> = [mm]-\bruch{1}{t}[/mm]
>
> Bin ich damit fertig?
Hi,
danke für die zahlreiche Hilfe zu Aufgabe b).
Nun möchte ich nur noch einmal zu Aufgabe a), wo ich ja nur das Potenzial berechnen soll.
Die DGL hat doch ein Potential wenn [mm] M_{y}=N_{x} [/mm] ist damit exakt.
Hier habe ich ja [mm] M_{y} [/mm] = 0 [mm] \not= N_{x} [/mm] = cos(x).
Damit hat die DGL kein Potenzial und ist damit auch nicht exakt,
richtig?
[mm] \bruch{M_{y} - N_{x}}{N}(x,y) [/mm] & [mm] \bruch{N_{x} - M_{y}}{m}(x,y) [/mm] brauch ich ja dann gar nicht mehr berechnen um die Aufgabe zu lösen, richtig ?
Danke für die Hilfe im voraus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
kann mir jemand bei meiner Unsicherheit bei diesem Aufgabenteil helfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 24.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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