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| Aufgabe | Gegeben sei die lineare Abbildung [mm]\phi : \IR^2\to\IR^5, x\mapsto Ax[/mm] mit [mm]A=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4 \\
-1 & 0 \\
1 & 7 \\
0 & 4 \\
\end{pmatrix}[/mm]
b) Bestimmen Sie die Dimension von [mm]ker(\phi)[/mm] und geben Sie eine Basis des Bildes von [mm]\phi[/mm] an. |
Hallo liebe Mathegemeinde,
ich habe diese Aufgabe schon einmal mit meinen Kommilitonen besprochen. Was mich dabei immer noch stutzig macht ist. Warum dier Dimension des Kerns bei injektiven Abbildungen immer 0 ist. Wie sieht es denn aus bei Surjektivität und Bijektivität. Muss man das wie Vokabeln lernen oder kann man sich das erschließen?
Schöne Grüße
Christoph
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Hallo Christoph,
> Gegeben sei die lineare Abbildung [mm]\phi : \IR^2\to\IR^5, x\mapsto Ax[/mm]
> mit [mm]A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\
3 & 4 \\
-1 & 0 \\
1 & 7 \\
0 & 4 \\
\end{pmatrix}[/mm]
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> b) Bestimmen Sie die Dimension von [mm]ker(\phi)[/mm] und geben Sie
> eine Basis des Bildes von [mm]\phi[/mm] an.
>
> Hallo liebe Mathegemeinde,
>
> ich habe diese Aufgabe schon einmal mit meinen Kommilitonen
> besprochen. Was mich dabei immer noch stutzig macht ist.
> Warum dier Dimension des Kerns bei injektiven Abbildungen
> immer 0 ist.
Nun, es gilt für eine lin. Abb. [mm]\varphi[/mm] :
[mm]\varphi[/mm] injektiv [mm] \ \gdw \ \operatorname{Kern}(\varphi)=\{\vec{0}\}[/mm]
Beweis:
[mm][\Rightarrow]:[/mm]
zz.: Der Kern einer inj. linearen Abb. enthält nur den Nullvektor.
Nimm mal an, es gäbe einen weiteren Vektor [mm]\vec{x}[/mm] im Kern einer inj. linearen Abb. [mm]\varphi:V\to W[/mm].
Dann ist [mm]\varphi(\vec{x})=\vec{0}_W=\varphi(\vec{0}_V)[/mm].
Wegen der Injektivität folgt also [mm]\vec{x}=\vec{0}_V[/mm]
[mm][\Leftarrow][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
kannst du mal versuchen, selber nachzuweisen.
> {Wie sieht es denn aus bei Surjektivität und
> Bijektivität. Muss man das wie Vokabeln lernen oder kann
> man sich das erschließen?
Die Beziehung regelt der Dimensionssatz für lineare Abb.
Hast du eine lin. Abb. [mm]f:V\to W[/mm] mit [mm]\operatorname{dim}(V)=n[/mm] und [mm]\operatorname{dim}(W)=m[/mm], mit [mm]m,n\in\IN[/mm], so gilt:
[mm]\operatorname{dim}(V)=\operatorname{dim}(\operatorname{Kern}(f))+\operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(f))[/mm]
Speziell für [mm]f:V\to V[/mm] mit [mm]V[/mm] endlich-dimensional sind die Begriffe
[mm]\bullet \ \text{injektiv}[/mm]
[mm]\bullet \ \text{surjektiv}[/mm]
[mm]\bullet \ \text{bijektiv}[/mm]
äquivalent!
>
> Schöne Grüße
>
> Christoph
LG
schachuzipus
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Danke für deine sschnelle Antwort Schachuzipus. Der Beweis ist in sich schlüssig, aber mir scheint es, dass er über sich hinaus nicht schlüssig ist. Ich will damit sagen, dass nach der Definition von Injenktivität einem Element aus dem Urbild höchstens ein Element (in diesem Fall ein beliebiger Vektor) aus dem Bild zu zuordnen ist.
Mein Unverständnis liegt einfach darin, dass man von diesem Beweis einfach ausgeht das x nur null sein kann. Was ist denn z. B. wenn ein Vektor (2,4) (Urbild) nach 0(Bild) geht und null(Urbild) zu (2,4)Bild geht. Meinem Verständnis nach wäre eine Injektion weiterhin gegeben und x muss nicht zwangsläufig der Nullvektor sein.
Wer hilft mir aus dieser gedanklichen Zwickmühle?
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> Ich will damit sagen,
> dass nach der Definition von Injenktivität einem Element
> aus dem Urbild höchstens ein Element (in diesem Fall ein
> beliebiger Vektor) aus dem Bild zu zuordnen ist.
Hallo,
nein, daß ist nicht die Injektivität.
Du sprichst hier gerade über die Definition von "Funktion".
Injektivität ist etwas anderes: jedes Element des Bildes hat genau ein Urbild.
Anders ausgedrückt: es gibt nicht zwei Elemente des Definitionsbereiches, die denselben Funktionswert haben.
> Mein Unverständnis liegt einfach darin, dass man von
> diesem Beweis einfach ausgeht das x nur null sein kann.
??? Welches x?
> Was
> ist denn z. B. wenn ein Vektor (2,4) (Urbild) nach 0(Bild)
> geht
Wir reden ja von linearen Abbildungen.
Wenn [mm] f(\vektor{2\\4})=0, [/mm] dann ist aufgrund der Linearität auch [mm] f(\vektor{20\\40})=0, [/mm] und damit ist die Injektivität kaputt.
Gruß v. Angela
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Danke ihr habt mir sehr geholfen.
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