Klausuraufgabe Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Fr 14.01.2011 | | Autor: | m4rio |
| Aufgabe | A = [mm] \pmat{ 3 & -2 & -4 & -1 \\ 4 & -2 & 1 & -8 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \\ -2 & 4 & 3 & -1 }
[/mm]
a) berechnen sie det(A), [mm] det(-A^2), [/mm] det(4/3 * A), [mm] det(A^t)
[/mm]
b) bestimmen sie den Rang von A
c) Ist A regulär? Begründen Sie Ihre Antwort kurz |
Hallo, habe folgende Klausuraufgabe zu lösen. Insgesamt stehen nur etwa 15min zur verfügung, daher denke ich, es muss ein paar " abkürzungen, besonders bei a) geben.
a)
[mm] \(det(A)
[/mm]
.... [mm] \(1(2+128+6)-2(-3+64-12)-3(-18+4-64)
[/mm]
det(A)= 272
(hoffe, es gab keinen rechenfehler)
[mm] \(det(A^t)
[/mm]
wenn ich mich recht entsinne, ist lauf LAPLACE [mm] det(A)=det(A^t)
[/mm]
also haben sind diese beiden operationen erledigt.
[mm] \(det(-A^2)
[/mm]
[mm] \(det( \bruch{4}{3} [/mm] * A)
muss ich hier die Matrix A zunächste Quadrieren, danach die vorzeichen ändern und dann die Determinante berechnen
und in der anderen aufgabe mit [mm] \bruch{4}{3} [/mm] multiplizieren und dann det berechnen
oder kann man das ganze verkürzen?
Grß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Fr 14.01.2011 | | Autor: | m4rio |
b)
habe mit dem Gauß-algorhytmus den rang
[mm] \(rk(A)=2 [/mm] berechnet
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> b)
>
> habe mit dem Gauß-algorhytmus den rang
Ist das der Rhythmus, bei dem jeder mit muß?
Oder redest Du über einen Algorithmus?
>
> [mm]\(rk(A)=2[/mm] berechnet
Ich habe den Rang nicht berechnet.
Dein Ergebnis sollte Dich aber irritieren.
Wenn die Matrix den Rang 2 hat, hat sie keinen vollen Rang.
Was sollte ihre Determinante dann sein?
Fazit: Determinante oder Rang stimmen nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Fr 14.01.2011 | | Autor: | m4rio |
hmm, der rang lies sich so super berechnen, dass ich tippe, bei der determinaten den Fehler zu finden... werde das nochmal nachrechnen
ja, eine matrix hat genau dann einen vollen rang, wenn ihre Det [mm] \not= [/mm] 0 ... :/
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> A = [mm]\pmat{ 3 & -2 & -4 & -1 \\
4 & -2 & 1 & -8 \\
1 & 2 & 0 & 3 \\
-2 & 4 & 3 & -1 }[/mm]
>
>
> a) berechnen sie det(A), [mm]det(-A^2),[/mm] det(4/3 * A), [mm]det(A^t)[/mm]
>
> b) bestimmen sie den Rang von A
>
> c) Ist A regulär? Begründen Sie Ihre Antwort kurz
>
> Hallo, habe folgende Klausuraufgabe zu lösen. Insgesamt
> stehen nur etwa 15min zur verfügung, daher denke ich, es
> muss ein paar " abkürzungen, besonders bei a) geben.
>
>
> a)
>
> [mm]\(det(A)[/mm]
>
> .... [mm]\(1(2+128+6)-2(-3+64-12)-3(-18+4-64)[/mm]
>
> det(A)= 272
>
> (hoffe, es gab keinen rechenfehler)
Hallo,
das hoffe ich auch, nachgerechnet habe ich es nicht.
Wenn in Klausuren die Determinanten von größeren Matrizen zu berechnen sind, sind die Matrizen meist so gemacht, daß man sie vereinfachen kann.
Wenn man Vielfache einer Spalte/Zeile zu einer anderen addiert, dann ändert sich die Det. nicht.
Mit diesem Wissen kannst Du Dir flugs in der 2.Spalte viele Nullen machen, was die Rechnung auf jeden Fall schonmal verkürzt.
Vielleicht geht danach nochwas, Du wirst es ja ggf. merken.
>
>
>
> [mm]\(det(A^t)[/mm]
>
> wenn ich mich recht entsinne, ist lauf LAPLACE
> [mm]det(A)=det(A^t)[/mm]
Ja.
>
> also haben sind diese beiden operationen erledigt.
>
>
>
> [mm]\(det(-A^2)[/mm]
>
>
> [mm]\(det( \bruch{4}{3}[/mm] * A)
>
>
> muss ich hier die Matrix A zunächste Quadrieren, danach
> die vorzeichen ändern und dann die Determinante berechnen
>
> und in der anderen aufgabe mit [mm]\bruch{4}{3}[/mm] multiplizieren
> und dann det berechnen
>
> oder kann man das ganze verkürzen?
Um Himmelswillen! Das dauert zu lange! Du mußt die Regeln fürs Berechnen von Determinanten kennen.
Ich möchte Dir diese ungern servieren.
Schlag sie mal selber nach und setze sie dann um.
Gruß v. Angela
>
>
> Grß
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Fr 14.01.2011 | | Autor: | m4rio |
c)
da es sich um eine quadratische MAtrix handelt und die [mm] \(det \not= \(0 [/mm] ist, muss es eine Inverse geben, was bedeutet, das es sich um eine regüläre Matrix handelt.
würde dies, sofern es denn richtig ist, für eine kurze geforderte Antwort reichen?
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> c)
>
> da es sich um eine quadratische MAtrix handelt und die
> [mm]\(det \not= \(0[/mm] ist, muss es eine Inverse geben, was
> bedeutet, das es sich um eine regüläre Matrix handelt.
>
> würde dies, sofern es denn richtig ist, für eine kurze
> geforderte Antwort reichen?
Hallo,
ja, die Begründung wäre richtig.
Aus dem von Dir errechneten Rang hingegen kann man schließen, daß die Matrix nicht invertierbar ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Fr 14.01.2011 | | Autor: | m4rio |
Da ich beim rang eine untere Dreiecksmatrix berechnet habe, könnte ich nciht hiervon einfach die Hauptdiagonale multiplizieren und erhalte daraus die [mm] \(det(A)....
[/mm]
diese wäre damit [mm] \(=0 [/mm] und es würde sich um eine singuläre Matrix handeln... würde dann auch mit dem Rang passen...
wäre es dann nicht zeitsparender, erst den Rang zu berechnen und per "Hauptdiagonalen multiplikation" die determinant?
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Hallo m4rio,
> Da ich beim rang eine untere Dreiecksmatrix berechnet habe,
> könnte ich nciht hiervon einfach die Hauptdiagonale
> multiplizieren und erhalte daraus die [mm]\(det(A)....[/mm]
>
> diese wäre damit [mm]\(=0[/mm] und es würde sich um eine
> singuläre Matrix handeln... würde dann auch mit dem Rang
> passen...
>
Die Determinante der Matrix A ist von Null verschieden
und hat einen Wert ungleich 272.
>
> wäre es dann nicht zeitsparender, erst den Rang zu
> berechnen und per "Hauptdiagonalen multiplikation" die
> determinant?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Fr 14.01.2011 | | Autor: | m4rio |
[mm] \(det=306 [/mm] .... ist das besser`?
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Hallo m4rio,
> [mm]\(det=306[/mm] .... ist das besser'?
>
Dieser Wert ist größer als die Determinante der Matrix A.
Poste doch die Rechenschritte, wie Du auf diesen Wert kommst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Fr 14.01.2011 | | Autor: | m4rio |
ja, bin auch mal gespannt, wo der fehler steckt...
[mm] \pmat{ 3 & -2 & -4 & -1 \\ 4 & -2 & 1 & -8 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \\ -2 & 4 & 3 & -1 }
[/mm]
habe nach Zeile 3 entwickelt.
[mm] \((-1)^3+1 \(+1*\pmat{ -2 & -4 & -1 \\ -2 & 1 & -8 \\ 4 & 3 & -1} [/mm] + [mm] (-1)^3+2 \(-2*\pmat{ 3 & 4 & -1 \\ 4 & 1 & -8 \\ -2 & 3 & -1 } \(+(-3\pmat{ 3 & -2 & -4 \\ 4 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 3 }
[/mm]
[mm] \(1((2+128+6)-(-4+42-8))-2((-3-64-12)-(2-72+16))-3((-18+4-64)-(-16+12-24))
[/mm]
[mm] \(136-30-2-79+54=306
[/mm]
hoffe alles ist verständlich...
die oberen matrizen sind natürlich determinanten und zum aulflösen habe ich die regel des sarrus genutzt
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Hallo m4rio,
> ja, bin auch mal gespannt, wo der fehler steckt...
>
> [mm]\pmat{ 3 & -2 & -4 & -1 \\ 4 & -2 & 1 & -8 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \\ -2 & 4 & 3 & -1 }[/mm]
>
>
> habe nach Zeile 3 entwickelt.
>
> [mm]\((-1)^3+1 \(+1*\pmat{ -2 & -4 & -1 \\ -2 & 1 & -8 \\ 4 & 3 & -1}[/mm]
> + [mm](-1)^3+2 \(-2*\pmat{ 3 & 4 & -1 \\ 4 & 1 & -8 \\ -2 & 3 & -1 } \(+(-3\pmat{ 3 & -2 & -4 \\ 4 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 3 }[/mm]
>
Hier muß es lauten:
[mm]\((-1)^{3+1} \(+1*\pmat{ -2 & -4 & -1 \\ -2 & 1 & -8 \\ 4 & 3 & -1}
+(-1)^{3+2} *2*\pmat{ 3 & 4 & -1 \\ 4 & 1 & -8 \\ -2 & 3 & -1 } +\left(-1\right)^{3+4}*3\pmat{ 3 & -2 & -4 \\ 4 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 3 }[/mm]
>
> [mm]\(1((2+128+6)-(-4+42-8))-2((-3-64-12)-(2-72+16))-3((-18+4-64)-(-16+12-24))[/mm]
Schliesslich ist hier der Fehler passiert:
[mm]\(1((2+128+6)-(-4+\red{3*\left(-8\right)*\left(-2\right)}-8))-2((-3-64-12)-(2-72+16))-3((-18+4-64)-(-16+12-24))[/mm]
[mm]=\(1((2+128+6)-(-4+\red{48}-8))-2((-3-64-12)-(2-72+16))-3((-18+4-64)-(-16+12-24))[/mm]
>
>
> [mm]\(136-30-2-79+54=306[/mm]
>
>
> hoffe alles ist verständlich...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Fr 14.01.2011 | | Autor: | m4rio |
super, dann müsste die Determinante = 300 sein ... im detail steckt der teufel... beim term oben ist mir im exponenten die jeweils zu addierende Zahl iwie runter gerutscht...
da die deteriminante [mm] \not= [/mm] 0 ist, müsste der Rang = 2 ja auch falsch sein... ohh man, dabei ging das alles so schön auf
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Hallo m4rio,
> super, dann müsste die Determinante = 300 sein ... im
> detail steckt der teufel... beim term oben ist mir im
> exponenten die jeweils zu addierende Zahl iwie runter
> gerutscht...
>
Ja, die Determinante ergibt sich auch tatsächlich zu 300.
>
> da die deteriminante [mm]\not=[/mm] 0 ist, müsste der Rang = 2 ja
> auch falsch sein... ohh man, dabei ging das alles so schön
> auf
Das ist richtig, daß der Rang dann auch falsch ist.
Gruss
MathePower
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