Knobelaufgabe < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:46 Fr 18.01.2013 | | Autor: | anna_h |
| Aufgabe | Stellen Sie sich vor sie sind Hotelbesitzer. Alle 222 Hotelzimmer haben eine Tür zu einem sehr langen Gang. Jeden Morgen läuft das gleiche ab:
Der Gast aus Zimmer 1 verlässt sein Zimmer. Dabei öffnet er selbstverständlich seine eigene Tür und alle weiteren Türen des Ganges.
Anschließend verlässt der Gast aus Zimmer 2 sein Zimmer durch die nunmehr bereits offen stehende Tür, verschließt seine und auch jede weitere offenstehende zweite Tür bis zum Ende des Ganges.
Nun verlässt der Gast aus Zimmer 3 sein Zimmer und öffnet jede 3. Tür - also auch seine Eigene-, wenn dierse verschlossen war und schließt sie, wenn sie bereits offen stand. Dies geht mit allen Gästen so weiter.
Wieviele Türen stehen am Ende dieser Prozedur offen? |
Ich habe angefangen das Problem "händig" zu lösen. Ich habe einfach eine exeltabelle angelegt. Dies dauert allerdings länger und ich denke das das auch in dieser Frage nicht gewollt ist.
Leider habe ich keine Ahnung wie ich das Problem mathematisch angehen könnte.
Im Grunde geht es ja darum die Anzahl der ganzzahligen Teiler rauszufinden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:14 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Diophant |
Hi [mm] anna_h
[/mm]
es wäre vielleicht gut, wenn du bei dieser speziellen Aufgabe noch dazusagen könntest, wo sie herstammt.
Vielen Dank.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:24 Fr 18.01.2013 | | Autor: | anna_h |
Das ist ein Rätsel von einer Privatperson. Es reizt mich es zu lösen, oder besser zu wissen wie man es löst.
Es ist nicht aus einem Buch oder so.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Stellen Sie sich vor sie sind Hotelbesitzer. Alle 222
> Hotelzimmer haben eine Tür zu einem sehr langen Gang.
> Jeden Morgen läuft das gleiche ab:
> Der Gast aus Zimmer 1 verlässt sein Zimmer. Dabei öffnet
> er selbstverständlich seine eigene Tür und alle weiteren
> Türen des Ganges.
> Anschließend verlässt der Gast aus Zimmer 2 sein Zimmer
> durch die nunmehr bereits offen stehende Tür, verschließt
> seine und auch jede weitere offenstehende zweite Tür bis
> zum Ende des Ganges.
> Nun verlässt der Gast aus Zimmer 3 sein Zimmer und
> öffnet jede 3. Tür - also auch seine Eigene-, wenn dierse
> verschlossen war und schließt sie, wenn sie bereits offen
> stand. Dies geht mit allen Gästen so weiter.
>
> Wieviele Türen stehen am Ende dieser Prozedur offen?
> Ich habe angefangen das Problem "händig" zu lösen. Ich
> habe einfach eine exeltabelle angelegt. Dies dauert
> allerdings länger und ich denke das das auch in dieser
> Frage nicht gewollt ist.
>
> Leider habe ich keine Ahnung wie ich das Problem
> mathematisch angehen könnte.
> Im Grunde geht es ja darum die Anzahl der ganzzahligen
> Teiler rauszufinden.
Das sehe ich nicht, wie kommst du darauf?
Also entweder habe ich etwas falsch verstenden, oder die Aufgabe ist viel, viel einfacher. Überlge mal für jede Türe, wie viele Gäste jeweils an ihr vorbeikommen...
Gruß, Diophant
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:09 Fr 18.01.2013 | | Autor: | anna_h |
Also der erste macht alle auf.
der zweite schließt tür 2,4,6,8,....
da der dritte durch eine offene tür geht, schließt er 3,6,9,..
ich kann gleich mal meine exeltabelle anhängen.
oder vertseht ihr/du die aufgabe anders?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Diophant |
Hi [mm] anna_h,
[/mm]
> Also der erste macht alle auf.
> der zweite schließt tür 2,4,6,8,....
> da der dritte durch eine offene tür geht, schließt er
> 3,6,9,..
> ich kann gleich mal meine exeltabelle anhängen.
> oder vertseht ihr/du die aufgabe anders?
du hast sie richtig verstanden. Ich hatte das überlesen, dass der Zweite nur jede zweite, der Dritte nur jede dritte us. aufmachen.
Nette Knobelei, nur leider habe ich keine Zeit mehr...
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo anna!
> Stellen Sie sich vor sie sind Hotelbesitzer. Alle 222
> Hotelzimmer haben eine Tür zu einem sehr langen Gang.
> Jeden Morgen läuft das gleiche ab:
> Der Gast aus Zimmer 1 verlässt sein Zimmer. Dabei öffnet
> er selbstverständlich seine eigene Tür und alle weiteren
> Türen des Ganges.
> Anschließend verlässt der Gast aus Zimmer 2 sein Zimmer
> durch die nunmehr bereits offen stehende Tür, verschließt
> seine und auch jede weitere offenstehende zweite Tür bis
> zum Ende des Ganges.
> Nun verlässt der Gast aus Zimmer 3 sein Zimmer und
> öffnet jede 3. Tür - also auch seine Eigene-, wenn dierse
> verschlossen war und schließt sie, wenn sie bereits offen
> stand. Dies geht mit allen Gästen so weiter.
>
> Wieviele Türen stehen am Ende dieser Prozedur offen?
> Ich habe angefangen das Problem "händig" zu lösen. Ich
> habe einfach eine exeltabelle angelegt. Dies dauert
> allerdings länger und ich denke das das auch in dieser
> Frage nicht gewollt ist.
>
> Leider habe ich keine Ahnung wie ich das Problem
> mathematisch angehen könnte.
> Im Grunde geht es ja darum die Anzahl der ganzzahligen
> Teiler rauszufinden.
Richtig, der Zustand der Tür (offen oder geschlossen) hängt von der Anzahl der verschiedenen (!) Teiler der Türnummer ab.
Ich nehme an, du hast das Ganze schon für eine gewisse Anzahl von Türen durchgespielt... Welche Türen bleiben am Ende offen? Welche Eigenschaften haben diese Türnummern? Hat das vielleicht auch was mit den Primfaktoren zu tun?
Denk mal über diese Fragen nach und melde dich wieder, wenn du steckenbleibst.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Mo 21.01.2013 | | Autor: | anna_h |
Ich habe das jetzt für alle Türen durchgespielt. Ich habe 109 offene Türen und 113 geschlossene Türen. Dies ist allerdings Falsch.
Es kommt auf die Anzahl der ganzzahligen Teiler an.
Was ich wissen wollte, ist wie ich meine Tabelle kontrollieren kann.
Kann man sowas relativ einfach berechnen?
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Hallo Anna,
> Ich habe das jetzt für alle Türen durchgespielt. Ich habe
> 109 offene Türen und 113 geschlossene Türen. Dies ist
> allerdings Falsch.
> Es kommt auf die Anzahl der ganzzahligen Teiler an.
Genau.
> Was ich wissen wollte, ist wie ich meine Tabelle
> kontrollieren kann.
> Kann man sowas relativ einfach berechnen?
Für jede einzelne Zahl getrennt, ja. Man braucht dazu die Primfaktorzerlegung der Zahl. Nehmen wir mal die [mm] 12=2^2*3^1.
[/mm]
Ein Teiler von 12 kann nun 0,1 oder 2mal den Faktor 2 und 0 oder 1mal den Faktor 3 beinhalten. Darum gibt es 3*2 ganzzahlige Teiler, die 1 und 12 mitgezählt (was bei Deiner Aufgabe ja auch Sinn macht).
Die Teiler sind 1,2,3,4,6,12.
Generell ist die Zahl der Teiler das Produkt aller Primzahlexponenten, jeder davon um 1 vermehrt. Ist also eine Zahl $z$ z.B. aus den drei Primzahlen $p,q,r$ zusammengesetzt mit [mm] z=p^a*q^b*r^c, [/mm] dann hat sie $(a+1)(b+1)(c+1)$ Teiler, unabhängig davon, um welche Primzahlen $p,q,r$ es sich handelt.
Daraus folgt auch, dass eine Primzahl nur 2 Teiler hat, nämlich 1 und sich selbst.
Alle Zahlen bis 222 in Primfaktoren zu zerlegen, scheint nun aber trotzdem viel Arbeit zu sein.
Du kannst aber ganz gut so ähnlich vorgehen wie beim ![[]](/images/popup.gif) Sieb des Eratosthenes. Dabei musst Du Deine Zahlenliste mehrmals durchlaufen, allerdings erst einmal nur für die Primzahlen bis 13 und ihre Potenzen, soweit die vorkommen können. Für die 2 geht das also bis [mm] 2^7, [/mm] für die 13 nur bis [mm] 13^2.
[/mm]
Hast Du Excel?
Dann kann ich Dir mal so eine Liste vormachen.
Grüße
reverend
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Guten Tag [mm] anna_h
[/mm]
das Problem ist bekannt, in etwas anderen Einkleidungen.
Du bist auf dem richtigen Weg, wenn du dir überlegst,
dass es mit der Anzahl der Teiler einer ganzen Zahl
zu tun hat - und zwar nur damit, ob diese Anzahl
jeweils gerade oder ungerade ist.
Wenn du dir mal die Anzahl T(n) der Teiler einer
Zahl [mm] n\in\IN [/mm] tabellierst (etwa für n von 1 bis 30), so
merkst du leicht, für welche n der Wert T(n) ungerade
ist !
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Mo 21.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
> Wenn du dir mal die Anzahl T(n) der Teiler einer
> Zahl [mm]n\in\IN[/mm] tabellierst (etwa für n von 1 bis 30), so
> merkst du leicht, für welche n der Wert T(n) ungerade
> ist !
z.B. bei 16, und wenn Du die Tabelle weiterführst, findest Du bei 36 noch so eine Zahl...
Ich habe gerade versucht, das mit dem nötigen Hintergrund zu erklären, ohne gleich die Lösung zu verraten. Man kann sie ja erstaunlich leicht "händisch" finden, wenn man einmal weiß, wie. Dazu muss man aber erst einmal verstehen, warum das funktioniert.
Herzliche Grüße
reverend
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