Koeffizient Integral Grenzen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seid die Funktion
[mm] \pi/2 [/mm] für [mm] -\pi \le [/mm] x < [mm] -\pi/2
[/mm]
/x/ für [mm] -\pi/2 \le [/mm] x [mm] \le \pi/2
[/mm]
[mm] \pi/2 [/mm] für [mm] \pi/2 [/mm] < x [mm] \le \pi
[/mm]
Bestimmen Sie die Fourierkoeffizienten Ao,A1,...A4 und B1, B2...B4 |
Hallo, also ich bin grad ein bisschen verunsichert:
Die Funktion ist (aufgezeichnet) gerade.
Dafür kann man die vereinfachten Formeln verwenden.
Aber dabei ändern sich die Integrationsgrenzen, und ich weiß nicht wie:
es dürfte ja egal sein, ob ich die grenzen des links von der y achse zu integrierenden bereiches oder die des rechts davon liegenden nehme, oder?
aber in meiner formelsammlung steht da: statt [mm] 1/\pi*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) cos x dx} [/mm] verwenden...läuft mein integral jetzt bis zur häfte und ich multipliziere dann mit zwei oder wie ist das gemeint?
[mm] 2/\pi*\integral_{0}^{\pi}{f(x)cos x dx}. [/mm]
angenommen, ich möchte [mm] A_1 [/mm] berechnen:
Flächeninhalt jeweils zweier Abschnitt gleich groß (1=4 und 2=3).
1 und 4 zusammenzufassen:
da wäre es ja [mm] 2*\integral_{\pi/2}^{\pi}{\pi/2*cos x dx} [/mm] für den Flächeninhalt, aber setze ich jetzt [mm] 2*\integral_{\pi/2}^{\pi}{\pi/2*cos x dx} [/mm] in die "normale formel" ein, oder in die mit vorne [mm] (2/\pi)....?
[/mm]
[mm] (1/\pi)*(2*\integral_{\pi/2}^{\pi}{\pi/2*cos x dx})
[/mm]
oder
[mm] (2/\pi)*(2*\integral_{\pi/2}^{\pi}{\pi/2*cos x dx})..?
[/mm]
Und stimmen überhaupt meine Integrationsgrenzen (noch)
Für die Bereiche 2 und 3: Kann man da so tun, als ob man 2*Integral 3 hat? weil die funktion ja nicht gleich ist...?
dankeschön,
LZ
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> Gegeben seid die Funktion
> [mm]\pi/2[/mm] für [mm]-\pi \le[/mm] x < [mm]-\pi/2[/mm]
> /x/ für [mm]-\pi/2 \le[/mm] x [mm]\le \pi/2[/mm]
> [mm]\pi/2[/mm] für
> [mm]\pi/2[/mm] < x [mm]\le \pi[/mm]
> Bestimmen Sie die Fourierkoeffizienten
> Ao,A1,...A4 und B1, B2...B4
> Hallo, also ich bin grad ein bisschen verunsichert:
> Die Funktion ist (aufgezeichnet) gerade.
Hallo,
nein.
Sie ist nicht symmetrisch zur y-Achse.
Gruß v. Angela
EDIT: Entschuldige, ich habe die Betragsstriche nicht erkannt. Sie ist also doch gerade.
> Dafür kann man die vereinfachten Formeln verwenden.
> Aber dabei ändern sich die Integrationsgrenzen, und ich
> weiß nicht wie:
> es dürfte ja egal sein, ob ich die grenzen des links von
> der y achse zu integrierenden bereiches oder die des rechts
> davon liegenden nehme, oder?
> aber in meiner formelsammlung steht da: statt
> [mm]1/\pi*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) cos x dx}[/mm]
> verwenden...läuft mein integral jetzt bis zur häfte und
> ich multipliziere dann mit zwei oder wie ist das gemeint?
> [mm]2/\pi*\integral_{0}^{\pi}{f(x)cos x dx}.[/mm]
> angenommen, ich möchte [mm]A_1[/mm] berechnen:
> Flächeninhalt jeweils zweier Abschnitt gleich groß (1=4
> und 2=3).
> 1 und 4 zusammenzufassen:
> da wäre es ja [mm]2*\integral_{\pi/2}^{\pi}{\pi/2*cos x dx}[/mm]
> für den Flächeninhalt, aber setze ich jetzt
> [mm]2*\integral_{\pi/2}^{\pi}{\pi/2*cos x dx}[/mm] in die "normale
> formel" ein, oder in die mit vorne [mm](2/\pi)....?[/mm]
> [mm](1/\pi)*(2*\integral_{\pi/2}^{\pi}{\pi/2*cos x dx})[/mm]
> oder
> [mm](2/\pi)*(2*\integral_{\pi/2}^{\pi}{\pi/2*cos x dx})..?[/mm]
> Und
> stimmen überhaupt meine Integrationsgrenzen (noch)
> Für die Bereiche 2 und 3: Kann man da so tun, als ob man
> 2*Integral 3 hat? weil die funktion ja nicht gleich
> ist...?
>
> dankeschön,
> LZ
>
>
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> Gegeben seid die Funktion
> [mm]\pi/2[/mm] für [mm]-\pi \le[/mm] x < [mm]-\pi/2[/mm]
> /x/ für [mm]-\pi/2 \le[/mm] x [mm]\le \pi/2[/mm]
> [mm]\pi/2[/mm] für
> [mm]\pi/2[/mm] < x [mm]\le \pi[/mm]
> Bestimmen Sie die Fourierkoeffizienten
> Ao,A1,...A4 und B1, B2...B4
> Hallo, also ich bin grad ein bisschen verunsichert:
> Die Funktion ist (aufgezeichnet) gerade.
> Dafür kann man die vereinfachten Formeln verwenden.
Hallo,
ja, die Koeffizienten [mm] B_n [/mm] sind alle =0, so daß Du sie nicht berechnen mußt.
Deine Funktion ist [mm] 2\pi-periodisch,
[/mm]
also mußt Du für die [mm] A_n [/mm] mit [mm] n\ge [/mm] 1 berechnen
[mm] A_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} [/mm] f(t) [mm] \cdot \cos(n t)\, \mathrm{d}t [/mm] .
Aufgrund der Symmetrie von f zur y-Achse ist dies dasselbe wie [mm] 2*\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} [/mm] f(t) [mm] \cdot \cos(n t)\, \mathrm{d}t,
[/mm]
denn die Fläche unter dem Graphen ist ja links der y-Achse genauso wie rechts.
Du hast also [mm] A_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} [/mm] f(t) [mm] \cdot \cos(n t)\, \mathrm{d}t,
[/mm]
und da die Funktion abschnittweise definiert ist, teilst Du Dir das Integral nun sinnig auf:
[mm] A_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2} [/mm] f(t) [mm] \cdot \cos(n t)\, \mathrm{d}t +\frac{2}{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi} [/mm] f(t) [mm] \cdot \cos(n t)\, \mathrm{d}t.
[/mm]
Nun setze die Funktion ein:
[mm] A_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2} [/mm] t [mm] \cdot \cos(n t)\, \mathrm{d}t +\frac{2}{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi} \bruch{\pi}{2} \cdot \cos(n t)\, \mathrm{d}t.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Do 18.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
Hm, ich danke viiiiielmals für die Aufklärung....Ich habe echt schon total am Rad gedreht..Je länger man über die einfachsten Sachen nachdenkt, desdo verwirrter wird man....
Deine Erklärung hat eine gute und eine schlechte Seite:
Die gute: Jaaaa, das hatte ich doch so....
Die schlechte: Ich seh es kommen...ich werde mir gnadenlos alles verhageln, weil ich echt zu dumm zum Büchsenmilch holen bin...:-( oder zumindest zum AUSRECHNEN dieser Integrale....aber der Ansatz wird wohl ein paar Pünktchen bringen...
Danke!
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
f(x)=
-2 für [mm] -2\le [/mm] x<-1
-1 für [mm] -1\le [/mm] x<0
1 für [mm] 0\le [/mm] x<1
2 für [mm] 1\le x\le2
[/mm]
Bestimmen Sie die Koeff. [mm] A_{0},A_{1},B_{1},B_{2} [/mm] |
Hallo,
ich wollte mal fragen, wie ich das mit dem Ausrechnen der Koeffizienten mache, wenn ich Zahlen-Intervallgrenzen habe, und keine Vielfachen von Phi? Dann würde sich doch in den Berechnungsformel was ändern müssen, da ich ja schlecht z.b. schlecht bei [mm] B_{1} [/mm] cos x = cos 2 ausrechen kann, wenn ich zb. die grenzen 0 bis 2 habe...muss ich die in Phi umrechen?
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> Gegeben sei die Funktion
> f(x)=
> -2 für [mm]-2\le[/mm] x<-1
> -1 für [mm]-1\le[/mm] x<0
> 1 für [mm]0\le[/mm] x<1
> 2 für [mm]1\le x\le2[/mm]
> Bestimmen Sie die Koeff.
> [mm]A_{0},A_{1},B_{1},B_{2}[/mm]
> Hallo,
> ich wollte mal fragen, wie ich das mit dem Ausrechnen der
> Koeffizienten mache, wenn ich Zahlen-Intervallgrenzen habe,
> und keine Vielfachen von Phi?
Hallo,
die Funktion, die Du jetzt vorlegen hast, hat die Periode 4, dh. Du mußt z.b. von -2 bis 2 integrieren.
Außerdem ist sie ungerade, was wieder Arbeit spart.
Wenn wir die Bezeichnungen im wikipedia-Artikel über Fourierreihen nehmen, dann ist jetzt T=4, und [mm] \omega [/mm] ändert sich entsprechend.
Gruß v. Angela
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So, jetzt bin ich aber gleich am Ende:
Ich habe das falsche Ergebnis raus, obwohl ich doch nur einsetzen muss :-(
B1=?
n=1
[mm] B_1=\bruch{4}{4}\integral_{0}^{4/2}{f(x) cos (\bruch{2\pi x}{4}) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{cos (\bruch{\pi x}{2}) dx}+\integral_{1}^{2}{2*cos (\bruch{\pi x}{2}) dx}
[/mm]
= [mm] (\bruch{sin \bruch{\pi x }{2}}{\bruch{\pi }{2}}) [/mm] + [mm] (2\bruch{sin \bruch{\pi x }{2}}{\bruch{\pi }{2}}) [/mm] (Der Erste Term hat die Grenzen 0,1 und der zweite 1,2)
[mm] =\bruch{2}{\pi}(1-0)+\bruch{2}{\pi}(2*0-2)
[/mm]
= [mm] -2/\pi
[/mm]
Laut Lösung aber [mm] 6/\pi...meine [/mm] Lösung soll dann die für [mm] B_{2} [/mm] sein...
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Hallo!
> So, jetzt bin ich aber gleich am Ende:
>
> Ich habe das falsche Ergebnis raus, obwohl ich doch nur
> einsetzen muss :-(
>
> B1=?
> n=1
>
> [mm]B_1=\bruch{4}{4}\integral_{0}^{4/2}{f(x) cos (\bruch{2\pi x}{4}) dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{1}{cos (\bruch{\pi x}{2}) dx}+\integral_{1}^{2}{2*cos (\bruch{\pi x}{2}) dx}[/mm]
>
> = [mm](\bruch{sin \bruch{\pi x }{2}}{\bruch{\pi }{2}})[/mm] +
> [mm](2\bruch{sin \bruch{\pi x }{2}}{\bruch{\pi }{2}})[/mm] (Der
> Erste Term hat die Grenzen 0,1 und der zweite 1,2)
> [mm]=\bruch{2}{\pi}(1-0)+\bruch{2}{\pi}(2*0-2)[/mm]
> = [mm]-2/\pi[/mm]
>
> Laut Lösung aber [mm]6/\pi...meine[/mm] Lösung soll dann die für
> [mm]B_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sein...
Meinst du mit B_{1} das b_{1} gemäß dem Wikipedia-Artikel?
Dann müsstest du mit
$B_1=\bruch{4}{4}\integral_{0}^{4/2}{f(x) \red{\sin} (\bruch{2\pi x}{4}) dx$
anfangen und kämst so auch zu deinem gewünschten Ergebnis.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 So 21.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
Unglaublich....hab ich da einfach mal nen astreinen "cos" anstatt "sin" abgetippt ( und dann ausgedruckt und verwendet)...Es lebe doch das "copy&paste"....
Sehr schön, das sind Fehler, die die Menschheit nicht braucht...
Danke euch beiden!
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