Koeffizienten berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Mi 08.09.2010 | | Autor: | mvs |
| Aufgabe | Stellen Sie den Term
[mm] (x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{x^3})^1^0^0
[/mm]
mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes dar und berechnen Sie damit die resultierenden Koeffizienten von [mm] x^1^7 [/mm] , [mm] x^3^0 [/mm] und [mm] x^{-15} [/mm] |
Hallo, bin mich z.Z. auf die bevorstehende Matheklausur am vorbereiten und bin auf dieses Forum gestoßen und hoffe hier etwas Hilfe zu finden. Bei dieser Aufgabe hab ich ein paar Schwierigkeiten.
Den ersten Teil der Aufgabe "Term darstellen" müsste nach meiner Rechnung und der Anwendung des binomischen Lehrsatzes so aussehen:
[mm] \summe_{k=0}^{100} \vektor{100 \\ k} x^{2k} \cdot (-\bruch{1}{x^{3}}) x^{100-k}
[/mm]
Mit dem 2. Teil der Aufgabe "Koeffizienten berechnen" kann ich aber leider garnichts anfangen. Ich weiß nicht, wie ich die Koeffizienten berechnen soll. Vielleicht könnte mir dabei jemand helfen und am Bsp. [mm] x^{17} [/mm] zeigen, wie ich vorzugehen habe. An den anderen beiden Koeffizienten würde ich mich dann selbst versuchen.
Vielen dank im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Mi 08.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Stellen Sie den Term
>
> [mm](x^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{x^3})^1^0^0[/mm]
>
> mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes dar und berechnen Sie
> damit die resultierenden Koeffizienten von [mm]x^1^7[/mm] , [mm]x^3^0[/mm]
> und [mm]x^{-15}[/mm]
> Hallo, bin mich z.Z. auf die bevorstehende Matheklausur am
> vorbereiten und bin auf dieses Forum gestoßen und hoffe
> hier etwas Hilfe zu finden. Bei dieser Aufgabe hab ich ein
> paar Schwierigkeiten.
>
> Den ersten Teil der Aufgabe "Term darstellen" müsste nach
> meiner Rechnung und der Anwendung des binomischen
> Lehrsatzes so aussehen:
>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{100} \vektor{100 \\ k} x^{2k} \cdot (-\bruch{1}{x^{3}}) x^{100-k}[/mm]
Hallo,
da ist ein x zu viel:
[mm]\summe_{k=0}^{100} \vektor{100 \\ k} x^{2k} \cdot (-\bruch{1}{x^{3}})^{100-k}[/mm]
>
> Mit dem 2. Teil der Aufgabe "Koeffizienten berechnen" kann
> ich aber leider garnichts anfangen. Ich weiß nicht, wie
> ich die Koeffizienten berechnen soll. Vielleicht könnte
> mir dabei jemand helfen und am Bsp. [mm]x^{17}[/mm] zeigen, wie ich
> vorzugehen habe. An den anderen beiden Koeffizienten würde
> ich mich dann selbst versuchen.
Hallo, bei welchen Produkten entsteht denn [mm] x^{17}?
[/mm]
Um dies zu untersuchen, lassen wir mal die ganzen Koeffizienten weg und konzentrieren uns nur auf die Potenzen mit x als Basis.
Für k=1 entsteht [mm] x^2*(x^{-3})^{99}=x^{-295}.
[/mm]
Für k=2 entsteht [mm] x^4*(x^{-3})^{98}=x^{-290}.
[/mm]
Für k=3 entsteht [mm] x^6*(x^{-3})^{97}=x^{-285}.
[/mm]
Das sollte als Anstoß reichen.
Gruß Abakus
>
> Vielen dank im voraus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 Do 09.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo Abakus.
Vielen Dank, für die rasche Antwort ..
Ich bin nun folgendermaßen vorgegangen:
[mm] x^{2k}*(x^{-3})^{100-k}= x^{17}
[/mm]
[mm] \gdw x^{2k}*x^{-300+3k}= x^{17}
[/mm]
[mm] \gdw x^{2k-300+3k}= x^{17}
[/mm]
[mm] \gdw x^{5k-300}= x^{17}
[/mm]
dann habe ich das x weggelassen und nur die Gleichung:
5k-300=17 betrachtet
[mm] \gdw [/mm] 5k=317
[mm] \Rightarrow [/mm] k=63,4
bei [mm] x^{30} [/mm] und [mm] x^{-15} [/mm] bin ich dann zu folgenden Ergebnissen gekommen:
5k-300=30
[mm] \gdw [/mm] 5k=330
[mm] \Rightarrow [/mm] k=66
5k-300=-15
[mm] \gdw [/mm] 5k=285
[mm] \Rightarrow [/mm] k=57
Ist die Aufgabe damit gelöst?
Wusste nicht , wie ich sonst vorgehen sollte.
Über Tipps insbesondere zur Schreibweise wäre ich dankbar.
Insbesondere einen Vorschlag für den Übergang von:
[mm] x^{5k-300}= x^{17} [/mm] auf 5k-300=17 wäre nett.
vlg
Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Do 09.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo mvs,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Nein, die Aufgabe ist so noch nicht gelöst. Du sollst jeweils mit dem ermittelten [mm]k_[/mm] den Koeffizient [mm]\vektor{100\\
k}[/mm] berechnen.
Zur ersten Teilaufgabe: [mm]k_[/mm] muss eine natürliche Zahl sein. Dies ist hier offensichtlich nicht der Fall. Existiert also ein Term mit [mm]x^{17}[/mm] ?
Um von [mm]x^{5k-300} \ = \ x^{17}[/mm] zu kommen, werden beide Seiten der Gleichung logarithmiert.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Do 09.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo Loddar, danke für die Antwort und Begrüßung.
den Übergang müsste man also so schreiben:
[mm] x^{5k-300}= x^{17} [/mm] | log(x)
[mm] \gdw [/mm] 5k-300=17
Meine weitere Rechnung sieht dann wie folgt aus:
bei [mm] x^{17} [/mm] käme ja k=63,4 heraus
[mm] \Rightarrow [/mm] k [mm] \not\in \IN \Rightarrow \vektor{100 \\ k} [/mm] nicht lösbar.
bei [mm] x^{-15} [/mm] : k=57 [mm] \Rightarrow \vektor{100 \\ 57} [/mm] = [mm] 3,81^{28}
[/mm]
bei [mm] x^{30} [/mm] : k=66 [mm] \Rightarrow \vektor{100 \\ 66} [/mm] = [mm] 5,81^{26}
[/mm]
Ich weiß nun nicht ganz, ob das so richtig ist, um [mm] \vektor{100 \\ k} [/mm] zu berechnen , hab ich die Taste nCr aufm Taschenrechner genutzt. Die Ergebnisse verwirren mich allerdings.
Nun ist mir aber was aufgefallen, weiß aber nicht, ob das ein Denkfehler nun meinerseits ist.
Wendet man den binomischen Lehrsatz an, müsste der Term doch eigentlich so aussehen:
[mm] x^{2k}\cdot{}(-x^{-3})^{100-k}= x^{17}
[/mm]
[mm] \gdw x^{2k}\cdot{}-x^{-300+3k}= x^{17}| [/mm] *(-1)
[mm] \gdw x^{2k-300+3k}= -x^{17}
[/mm]
[mm] \gdw x^{5k-300}= [/mm] - [mm] x^{17}| [/mm] log(x)
[mm] \gdw [/mm] 5k-300=-17
[mm] \gdw [/mm] 5k = 283
[mm] \Rightarrow [/mm] k = 56,6
bei [mm] x^{30} [/mm] und [mm] x^{-15} [/mm] kämen ja dann entsprechend auch andere k heraus.
Welche Weg ist nun der richtige?
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Hallo mvs,
> Hallo Loddar, danke für die Antwort und Begrüßung.
>
> den Übergang müsste man also so schreiben:
>
> [mm]x^{5k-300}= x^{17}[/mm] | log(x)
> [mm]\gdw[/mm] 5k-300=17
>
> Meine weitere Rechnung sieht dann wie folgt aus:
>
> bei [mm]x^{17}[/mm] käme ja k=63,4 heraus
> [mm]\Rightarrow[/mm] k [mm]\not\in \IN \Rightarrow \vektor{100 \\ k}[/mm]
> nicht lösbar.
Somit ist der Koeffizient von [mm]x^{17}=0[/mm]
>
> bei [mm]x^{-15}[/mm] : k=57 [mm]\Rightarrow \vektor{100 \\ 57}[/mm] =
> [mm]3,81^{28}[/mm]
Genauer: [mm]\vektor{100 \\ 57}=38116532895986727945334202400[/mm]
>
> bei [mm]x^{30}[/mm] : k=66 [mm]\Rightarrow \vektor{100 \\ 66}[/mm] =
> [mm]5,81^{26}[/mm]
Genauer: [mm]\vektor{100 \\66}=580717429720889409486981450[/mm]
>
> Ich weiß nun nicht ganz, ob das so richtig ist, um
> [mm]\vektor{100 \\ k}[/mm] zu berechnen , hab ich die Taste nCr aufm
> Taschenrechner genutzt. Die Ergebnisse verwirren mich
> allerdings.
>
> Nun ist mir aber was aufgefallen, weiß aber nicht, ob das
> ein Denkfehler nun meinerseits ist.
>
> Wendet man den binomischen Lehrsatz an, müsste der Term
> doch eigentlich so aussehen:
>
> [mm]x^{2k}\cdot{}(-x^{-3})^{100-k}= x^{17}[/mm]
> [mm]\gdw x^{2k}\cdot{}-x^{-300+3k}= x^{17}|[/mm]
> *(-1)
> [mm]\gdw x^{2k-300+3k}= -x^{17}[/mm]
> [mm]\gdw x^{5k-300}=[/mm] - [mm]x^{17}|[/mm]
> log(x)
> [mm]\gdw[/mm] 5k-300=-17
> [mm]\gdw[/mm] 5k = 283
> [mm]\Rightarrow[/mm] k = 56,6
>
> bei [mm]x^{30}[/mm] und [mm]x^{-15}[/mm] kämen ja dann entsprechend auch
> andere k heraus.
>
> Welche Weg ist nun der richtige?
>
Der Weg, der unter "den Übergang müßte man also so schreiben:" steht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Do 09.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo Mathepower, vielen dank.
nach allen Antworten müsste die Lösung der Aufgabe so aussehen:
"Term darstellen"
[mm] \summe_{k=0}^{100} \vektor{100 \\ k} x^{2k} \cdot (-\bruch{1}{x^{3}}) x^{100-k}
[/mm]
"Koeffizienten berechnen"
für [mm] x^{17}:
[/mm]
[mm] x^{2k}\cdot{}(x^{-3})^{100-k}= x^{17}
[/mm]
[mm] \gdw x^{2k}\cdot{}x^{-300+3k}= x^{17}
[/mm]
[mm] \gdw x^{2k-300+3k}= x^{17}
[/mm]
[mm] \gdw x^{5k-300}= x^{17}| [/mm] log(x)
[mm] \gdw [/mm] 5k-300=17
[mm] \gdw [/mm] 5k=317
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ k=63,4
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] k\not\in \IN \Rightarrow \vektor{100 \\ k} [/mm] nicht lösbar.
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Koeffizient von $ [mm] x^{17}=0 [/mm] $
für [mm] x^{30}:
[/mm]
5k-300=30
$ [mm] \gdw [/mm] $ 5k=330
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ k=66
[mm] \Rightarrow \vektor{100 \\66}=580717429720889409486981450 [/mm]
für [mm] x^{-15}:
[/mm]
5k-300=-15
$ [mm] \gdw [/mm] $ 5k=285
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ k=57
[mm] \Rightarrow \vektor{100 \\ 57}=38116532895986727945334202400
[/mm]
Wäre das nun die komplette Lösung zur Aufgabe !? Könnte ich dies formell noch besser darstellen oder is das i.O. so ?
Dann noch eine Frage um zB. [mm] \vektor{100 \\66} [/mm] zu berechnen. Mein Taschenrechner spuckt also Ergebnis lediglich [mm] 5.8071774297^{26} [/mm] heraus.
gruß Michael
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Hallo mvs,
> Hallo Mathepower, vielen dank.
>
> nach allen Antworten müsste die Lösung der Aufgabe so
> aussehen:
>
> "Term darstellen"
>
> [mm]\summe_{k=0}^{100} \vektor{100 \\ k} x^{2k} \cdot (-\bruch{1}{x^{3}}) x^{100-k}[/mm]
>
> "Koeffizienten berechnen"
>
> für [mm]x^{17}:[/mm]
>
> [mm]x^{2k}\cdot{}(x^{-3})^{100-k}= x^{17}[/mm]
> [mm]\gdw x^{2k}\cdot{}x^{-300+3k}= x^{17}[/mm]
>
> [mm]\gdw x^{2k-300+3k}= x^{17}[/mm]
> [mm]\gdw x^{5k-300}= x^{17}|[/mm] log(x)
> [mm]\gdw[/mm] 5k-300=17
> [mm]\gdw[/mm] 5k=317
> [mm]\Rightarrow[/mm] k=63,4
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]k\not\in \IN \Rightarrow \vektor{100 \\ k}[/mm]
> nicht lösbar.
> [mm]\Rightarrow[/mm] Koeffizient von [mm]x^{17}=0[/mm]
>
>
> für [mm]x^{30}:[/mm]
>
> 5k-300=30
> [mm]\gdw[/mm] 5k=330
> [mm]\Rightarrow[/mm] k=66
> [mm]\Rightarrow \vektor{100 \\66}=580717429720889409486981450[/mm]
>
> für [mm]x^{-15}:[/mm]
>
> 5k-300=-15
> [mm]\gdw[/mm] 5k=285
> [mm]\Rightarrow[/mm] k=57
> [mm]\Rightarrow \vektor{100 \\ 57}=38116532895986727945334202400[/mm]
>
>
> Wäre das nun die komplette Lösung zur Aufgabe !? Könnte
Ja.
> ich dies formell noch besser darstellen oder is das i.O. so
> ?
Nun, Du könntest die Gleichung
[mm]5k-300=n[/mm]
für einen beliebigen Exponenten n lösen.
Und zu dem Schluss kommen, daß es nur eine ganzzahlige Lösung k gibt,
wenn der Exponent n durch 5 teilbar ist.
>
> Dann noch eine Frage um zB. [mm]\vektor{100 \\66}[/mm] zu berechnen.
> Mein Taschenrechner spuckt also Ergebnis lediglich
> [mm]5.8071774297^{26}[/mm] heraus.
Klar, der Taschenrechner hat eben nur eine begrenzte Stellenanzahl.
Ich habe das mit einem Computer Algebra System (CAS) berechnet.
>
> gruß Michael
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Do 09.09.2010 | | Autor: | mvs |
Wenn die Lösung so richtig und vollständig ist, lass ich es dann dabei :)
Vielen Dank an alle, die mir geholfen haben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Do 09.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Da
$ [mm] \summe_{k=0}^{100} \vektor{100 \\ k} x^{2k} \cdot (-\bruch{1}{x^{3}})^{100-k} [/mm] $
steckt noch ein "-" Zeichen drin !!! Also gibt es au8ch negative Koeeffizienten . Welche ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Do 09.09.2010 | | Autor: | mvs |
hm okay, danke
da bin ich aber überfragt, kann mir viell. jemand ein Tipp geben?
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Hallo mvs,
> hm okay, danke
> da bin ich aber überfragt, kann mir viell. jemand ein Tipp
> geben?
Nun, betrachte den Exponenten 100-k.
Zu untersuchen ist, dann für welche k die Gleichung
[mm]\left(-1\right)^{100-k}=-1[/mm]
erfüllt ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Do 09.09.2010 | | Autor: | mvs |
> Nun, betrachte den Exponenten 100-k.
>
> Zu untersuchen ist, dann für welche k die Gleichung
>
> [mm]\left(-1\right)^{100-k}=-1[/mm]
k=99 , is das alles, was ich dann noch machen muss?
hab das nun aber nicht ausgerechnet, sondern einfach durch "Hinschauen" herausgefunden. Wollte es ausrechnen, aber logarithmieren geht ja nicht auf beiden Seiten.
Bin nun aber ziemlich verwirrt, warum das hier überhaupt notwendig ist, weil Mathepower in einem vorherigen Post gemeint hat, ich haette die Aufgabe nun vollständig gelöst.
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Hallo mvs,
> > Nun, betrachte den Exponenten 100-k.
> >
> > Zu untersuchen ist, dann für welche k die Gleichung
> >
> > [mm]\left(-1\right)^{100-k}=-1[/mm]
>
> k=99 , is das alles, was ich dann noch machen muss?
Das ist sicher nicht der einzigste negative Koeffizient.
>
> hab das nun aber nicht ausgerechnet, sondern einfach durch
> "Hinschauen" herausgefunden. Wollte es ausrechnen, aber
> logarithmieren geht ja nicht auf beiden Seiten.
Logarithmieren braucht man hier nicht.
>
> Bin nun aber ziemlich verwirrt, warum das hier überhaupt
> notwendig ist, weil Mathepower in einem vorherigen Post
> gemeint hat, ich haette die Aufgabe nun vollständig
> gelöst.
Die Aufgabe ist ja auch komplett gelöst.
Die Frage, welche negative Koeffizienten es gibt, war nur ne Zusatzfrage.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:23 Fr 10.09.2010 | | Autor: | mvs |
ahso okay :)
danke mathepower, sofern ich die Zeit finde, werd ich mich dann noch mit der Zusatzfrage beschäftigen. Im Moment mach ich grad noch das, was ich aufjedenfall machen muss :). Hab auch noch ein paar Aufgaben vor mir.
gruß
Michael
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