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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Sa 10.06.2006 | | Autor: | still86 |
| Aufgabe | Es sei (K,+, ·) ein Körper mit Nullelement 0.
a) Zeigen Sie, dass für alle a, b [mm] \in [/mm] K die Gleichung
a + x = b
genau eine Lösung x [mm] \in [/mm] K hat.
b) Zeigen Sie, dass für alle a [mm] \in [/mm] K \ {0}, b [mm] \in [/mm] K die Gleichung
a · x = b
genau eine Lösung x [mm] \in [/mm] K hat. |
Hallo, bräuchte Hilfe bei der Aufgabe. Hängt die Lösung mit der Voraussetzung, dass K ein Körper mit Nullelement ist, zusammen?
Vielen Dank. Thomas
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> Es sei (K,+, ·) ein Körper mit Nullelement 0.
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> a) Zeigen Sie, dass für alle a, b [mm]\in[/mm] K die Gleichung
> a + x = b
> genau eine Lösung x [mm]\in[/mm] K hat.
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> b) Zeigen Sie, dass für alle a [mm]\in[/mm] K \ {0}, b [mm]\in[/mm] K die
> Gleichung
> a · x = b
> genau eine Lösung x [mm]\in[/mm] K hat.
> Hallo, bräuchte Hilfe bei der Aufgabe. Hängt die Lösung
> mit der Voraussetzung, dass K ein Körper mit Nullelement
> ist, zusammen?
Also die Aussage stimmt, da K ein Körper ist. Jeder Körper besitzt ein Nullelement. In der Aufgabenstellung steht nur explizit, dass 0 das Nullelement ist, da bei b) a jedes beliebige element des Körpers, außer das Nullelement sein kann.
Die Aussage b) gilt z.B. für Ringe i.a. nicht mehr. Wenn du dir anschaust, was einen Ring von einem Körper unterscheidet, müsstest du schon wissen, wie du das lösen kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Sa 10.06.2006 | | Autor: | still86 |
Ok. Was einen Ring von einem Körper unterscheidet, ist ja das es in einem Körper zu allen a [mm] \in [/mm] K \ {0} ein multiplikatives Inverses [mm] a^{-1} [/mm] gibt. Richtig?
Wenn ich nun die Gleichung a*x=b mit [mm] a^{-1} [/mm] multipliziere dann habe ich ja [mm] x=b*a^{-1} [/mm] und dann? Ist dass überhaupt der richtige Ansatz zu b)?
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Das sieht doch schon gut aus. Jetzt hast du ein x gefunden, das die Gleichung löst und musst nur noch zeigen, dass es keine andere Lösung gibt. Ist glaub ich am Einfachsten durch Widerspruch zu zeigen.
Dabei musst du dann beachten, dass Körper nullteilerfrei sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Sa 10.06.2006 | | Autor: | still86 |
Also nehme ich an, dass es mehrere Lösungen gibt:
[mm] x=b*a^{-1} [/mm] und [mm] x'=b*a^{-1} [/mm] für x,x' [mm] \in [/mm] K
[mm] \Rightarrow [/mm] a*x'=a*x und a [mm] \not=0 \Rightarrow [/mm] x=x' und das ist ein Widerspruch zur Annahme. Richtig?
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Mmh, das geht, glaub ich, so nicht.
Du musst annehemen, dass es zwei verschiedene Lösungen der GL gibt.
Also x, [mm] x'\in{}K: [/mm] ax=b und ax'=b
und dann zeigen, dass x=x'.
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