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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:42 Mo 20.11.2006 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | Auf [mm] K:=\IQ \times \IQ [/mm] definieren wir eine Addition und eine Multiplikation von zwei Elementen (a,b), (c,d) wie folgt:
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);
(a,b)*(c,d)=(ac+2bd,ad+bc).
a) Mit den soeben definierten Verknüpfungen wird (K,+,*) zu einem Körper. Geben Sie hierzu die neutralen Elemente bezüglich der Addition bzw. der Multiplikation an und weisen Sie die Existenz inverser Elemente der Addition bzw. der Multiplikation nach. Überzeugen Sie sich ferner davon, dass alle übrigen Körperaxiome (insbesondere das Assoziativgesetz der Multiplikation und das Distributivgesetz erfüllt sind. Woran liegt das?
b) Wäre K immer noch ein Körper, wenn in der Definition der Multiplikation eine 4 statt der 2 stünde?
c) Sei [mm] \le [/mm] die gewöhnliche Ordnung auf [mm] \IQ [/mm] und [mm] \sim [/mm] die zugehörige lexikographische Ordnung auf [mm] K=\IQ \times \IQ. [/mm] Ist dann (K,+,*) versehen mit [mm] \sim [/mm] ein angeordneter Körper? |
Hallo,
beim Nachrechnen der Körperaxiome zu a) komme ich irgendwie nicht weiter. Ich finde einfach keine neutralen und inversen Elemente der Multiplikation und somit wird K bei mir nicht zu einem Körper.
Vielleicht kann das ja mal jemand nachprüfen?
Assoziativgesetz:
+: ((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=(a+c+e,b+d+f)
=(a,b)+(c+e,d+f)=(a,b)+((c,d)+(e,f)
*: ((a,b)*(c,d))*(e,f)=(ac+2bd,ad+bc)*(e,f)=ace+2bde+2adf+2bcf,acf+2bdf+ade+bce)
=(a,b)*(ce+2df,cf+de)=(a,b)*((c,d)*(e,f))
neutrale Elemente:
+: (0,0)+(a,b)=0+a,0+b)=(a,b)
*: (1,1)*(a,b)=(1a+2*1*b,1b+1a)=a+2b,a+b) [mm] \not= [/mm] (a,b)
inverse Elemente:
+: (-a,-b)+(a,b)=(-a+a,-b+b)=(0,0)
*: [mm] (a^{-1},b^{-1})*(a,b)=(3,ab^{-1}+a^{-1}b) \not= [/mm] (1,1)
Damit ist K kein Körper.
Bei b) passiert das gleiche. K wird nicht zum Körper.
Aber dann würde Aufgabe c) keinen Sinn machen, oder?
Wo liegt mein Fehler?
Vielen Dank fürs nachprüfen!
xsara
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ja, moment, du kannst nicht einfach hingehen, und die neutralen / inversen Elemente der rationalen Zahlen einsetzen! Du suchst ein Tupel \IQ\times\IQ das neutral bzw invers ist!
(x,y)*(c,d)=(xc+2yd,xd+yc)=(c,d)
also
xc+2yd=c
xd+yc=d
Also x=1 und y=0.
(1,0) ist dein neutrales Element!
Und für das Inverse genauso
xc+2yd=1
xd+yc=1
$x=\frac{2d-c}{2d^{2}-c^{2}}, \ y=\frac{d-c}{2d^{2}-c^{2}}\right]$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Mo 20.11.2006 | | Autor: | xsara |
Hallo Event_Horizon!
Vielen Dank!
Jetzt ist es mir klar geworden: Das neutrale Element heißt nur "Einselement". Es ist nicht automatisch (1,1). Man muss es erst noch bestimmen.
LG xsara
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:07 Do 23.11.2006 | | Autor: | xsara |
Hallo!
Beim nachrechnen der Axiome komme ich nun sowohl für Teilaufgabe a) als auch für b) darauf, dass (K,+,*) ein Körper ist.
Ist es richtig zu sagen, dass das Assoziativgesetz der Multiplikation und das Distributivgesetz deshalb gelten, weil man komponentenweise multipliziert? Oder gibt es da einen anderen Grund?
Zu c) muss man doch zeigen, dass die Monotoniegesetze für die Addition und Multiplikation gelten, also
+: [mm] \forall [/mm] (a,b),(c,d),(e,f) [mm] \in [/mm] K: (a,b) [mm] \le [/mm] (c,d) [mm] \Rightarrow [/mm] (a,b)+(e,f) [mm] \le [/mm] (c,d)+(e,f)
*: [mm] \forall [/mm] (a,b),(c,d) [mm] \in [/mm] K: [mm] (a,b)\ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] (c,d) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] (a,b)*(c,d) [mm] \ge [/mm] 0.
Wie zeige ich das am geschicktesten?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
xsara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 So 26.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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