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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Do 07.05.2009 | | Autor: | Derrec |
| Aufgabe | Sei k ein beliebiger Körper, und d [mm] \in [/mm] k derart, dass [mm] \alpha^2 [/mm] = d nicht für a Element k lösbar ist. Weisen Sie nach, dass die Multiplikation:
[mm] (a+b\alpha)(a'+b'\alpha)=(aa'+dbb')+(ab'+a'b)\alpha
[/mm]
assoziativ und distributiv ist, indem Sie Matrizen der Gestalt [mm] \pmat{ a & b \\ db & a } [/mm] betrachten. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Huhu,
ich habe diese Aufgabe in Lineare Algebra für Lehramt Mathe bekommen und hab nicht so wirklich einen Schimmer davon, was ich machen muss.
Also ich versuch mal so ein bisschen was zu schreiben, was ich als Ansatz habe...:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \wurzel{d}
[/mm]
Man sucht also eine Lösung in k
Körpererweiterung [mm] \alpha [/mm] = [mm] \wurzel{d} [/mm] zu k
[mm] k[\wurzel{d}] [/mm] = { [mm] a+b\wurzel{d} [/mm] | a,b [mm] \in [/mm] k}
Also ist: [mm] k[\wurzel{d}]: (a+b\wurzel{d})(a'+b'\wurzel{d}) [/mm] = (aa' + dbb') + [mm] (ab'+a'b)\wurzel{d}.
[/mm]
Das hinter dem = müsste nun also zu k gehören also [mm] \in [/mm] k
Fakt ist nun, dass [mm] (k[\wurzel{d}], [/mm] +, *) ein Körper ist und [mm] [k[\wurzel{d}]:k]=dim_{k} k[\wurzel{d}] [/mm] = {1, [mm] \wurzel{d} [/mm] } = d.
So. nun muss ich ja noch nachweisen, ob die beiden Gesetzte gelten oder nicht.
Wie funktioniert das?
Und ist denn mein bisheriger Ansatz richtig?
Ich danke euch schon einmal im voraus.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Do 07.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei k ein beliebiger Körper, und d [mm]\in[/mm] k derart, dass
> [mm]\alpha^2[/mm] = d nicht für a Element k lösbar ist. Weisen Sie
> nach, dass die Multiplikation:
> [mm](a+b\alpha)(a'+b'\alpha)=(aa'+dbb')+(ab'+a'b)\alpha[/mm]
> assoziativ und distributiv ist, indem Sie Matrizen der
> Gestalt [mm]\pmat{ a & b \\ db & a }[/mm] betrachten.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Huhu,
>
> ich habe diese Aufgabe in Lineare Algebra für Lehramt Mathe
> bekommen und hab nicht so wirklich einen Schimmer davon,
> was ich machen muss.
Nun, da oben steht etwas von Matrizen. Wieso machst du das nicht so? Rechne doch mal [mm] $\pmat{ a & b \\ db & a } \cdot \pmat{ a' & b' \\ db' & a' }$ [/mm] aus und vergleiche es mit [mm] $\pmat{ a a' + d b b' & a b' + a' b \\ d (a b' + a' b) & a a' + d b b' }$.
[/mm]
> Also ich versuch mal so ein bisschen was zu schreiben, was
> ich als Ansatz habe...:
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\wurzel{d}[/mm]
> Man sucht also eine Lösung in k
Es gibt keine.
> Körpererweiterung [mm]\alpha[/mm] = [mm]\wurzel{d}[/mm] zu k
> [mm]k[\wurzel{d}][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]a+b\wurzel{d}[/mm] | a,b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
k}
> Also ist: [mm]k[\wurzel{d}]: (a+b\wurzel{d})(a'+b'\wurzel{d})[/mm]
> = (aa' + dbb') + [mm](ab'+a'b)\wurzel{d}.[/mm]
> Das hinter dem = müsste nun also zu k gehören also [mm]\in[/mm] k
Nun, das tut es sicher nicht. Es gehoert zu der Koerpererweiterung!
> Fakt ist nun, dass [mm](k[\wurzel{d}],[/mm] +, *) ein Körper ist
> und [mm][k[\wurzel{d}]:k]=dim_{k} k[\wurzel{d}][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {1,
> [mm]\wurzel{d}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} = d.
Die letzten beiden Gleichheitszeichen machen keinen Sinn.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:56 Fr 08.05.2009 | | Autor: | Derrec |
| Aufgabe | Hallo Felix.
Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, muss ich nur diese Matrizen ausrechen?
Das war es dann schon oder wie?
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Danke schon einmal für deine freundliche Hilfe
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 So 10.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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