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| Aufgabe | Sei [mm] d\in\IQ [/mm]
1. Konstriere einen [mm] \IQ [/mm] -Algebrenisomorphismus [mm] \gamma:\IQ[x]/(x^2-d)\IQ [x]\to\IQ(\wurzel[]{d}). [/mm] wobei [mm] \IQ(\wurzel[]{d})=\pmat{ a & db \\ b & a }a,b\in\IQ.
[/mm]
2. Zeige [mm] \IQ(\wurzel[]{d}) [/mm] ist genau dann Körper. wenn [mm] \wurzel [/mm] {d} [mm] \not\in \IQ [/mm] gilt |
Hier habe ich das Problem, das ich nicht genau weiß ,was [mm] \IQ[x] [/mm] ist und wie ich sowas konstruiere.
Also was ich genau tun muss um den [mm] \IQ [/mm] Algebrenisomorphismus zu konstruieren.
Bei zwei ist es so , das ich nicht genau weiß wie ich bei einer Matrix die Körperaxiome zeigen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Mo 14.05.2012 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]d\in\IQ[/mm]
> 1. Konstriere einen [mm]\IQ[/mm] -Algebrenisomorphismus
> [mm]\gamma:\IQ[x]/(x^2-d)\IQ [x]\to\IQ(\wurzel[]{d}).[/mm] wobei
> [mm]\IQ(\wurzel[]{d})=\pmat{ a & db \\ b & a }a,b\in\IQ.[/mm]
> 2.
> Zeige [mm]\IQ(\wurzel[]{d})[/mm] ist genau dann Körper. wenn
> [mm]\wurzel[/mm] {d} [mm]\not\in \IQ[/mm] gilt
>
> Hier habe ich das Problem, das ich nicht genau weiß ,was
> [mm]\IQ[x][/mm] ist und wie ich sowas konstruiere.
[mm] $\IQ[x]$ [/mm] ist ein Polynomring ueber [mm] $\IQ$ [/mm] mit der Unbestimmten $x$.
> Also was ich genau tun muss um den [mm]\IQ[/mm]
> Algebrenisomorphismus zu konstruieren.
>
> Bei zwei ist es so , das ich nicht genau weiß wie ich bei
> einer Matrix die Körperaxiome zeigen soll.
Versuche die Koerperaxiome bezueglich der Addition und Multiplikation von Matrizen nachzuweisen.
Wenn ich nicht weiss, wie ein gesuchter Homomorphismus ausschauen koennte, dann bilde ich Summe und Produkt in beiden Strukturen; manchmal erkennt man dann was wohin abgebildet werden muss. Beachte bei Deinem Beispiel darauf, dass es bei den Elementen in dem Faktorring [mm] $IQ[x]/(x^{2}-d)$ [/mm] im Grunde nur auf das absolute und lineare Glied des Polynoms ankommt.
Speziell bei Foaktorringen von Polynomringen kann man auch haeufig so vergehen, dass man einen Homomorphismus des Polynomrings findet, dessen Kern genau gleich dem Ideal ist, denn nach dem Isomorphiesatz induziert dieser dann den gewuenschten Homomorphismus auf den Faktorring. Das ist meist leichter als das Arbeiten mit Restklassen, weil man da immer die Wohldefiniertheit nachweisen muss.
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