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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 So 09.11.2003 | | Autor: | AstridW |
Hallo!
Ich habe noch zwei Fragen in Analyis:
Sei K ein angeordneter Körper, M Teilmenge von K und N:= {|x|;x element M}
Ist M beschränkt, so auch N. (Ja????)
Hat M ein Infimum, so auch N.(nein???)
Vielen Dank schon mal
Astrid
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 So 09.11.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Astrid,
nur zur Ergänzung:
Natürlich muss das Infimum von N nicht ein Element von N sein, selbst wenn vorher das Infimum von M ein Element von M war.
Beispiel (in [mm]\mathbb{R}[/mm]): [mm] M=[-3,-2] \cup ]0,1][/mm].
(Waren das deine Bedenken?)
Aber das ist natürlich unabhängig davon, ob N ein Infimum (im umgebenden Körper) besitzt.
Alles Gute
Stefan
Nachricht bearbeitet (So 09.11.03 21:05)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Mo 10.11.2003 | | Autor: | AstridW |
Übrigens ist die 2.Aussage doch falsch, wie ich gerade erfahren habe!!! Warum weiß ich allerdings nicht so genau.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Mo 10.11.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Astrid,
uups? Dann wäre ich um Aufklärung demnächst dankbar, wenn du es weißt.
Wie habt ihr denn angeordnete Körper und den Betrag von Elementen eines angeordneten Körpers sowie das Infimum einer Teilmenge eines angeordeten Körpers definiert?
Viele Grüße
Stefan
Nachricht bearbeitet (Mo 10.11.03 18:25)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:01 Do 13.11.2003 | | Autor: | AstridW |
Hallo!
Ich hab mittlerweile ein Gegenbeispiel: M={x element Q|x³>3 und -5}
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:01 Do 13.11.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Astrid!
Okay, du meinst:
[mm]M = \{x \in \IQ\, : \, x^3>3\} \cup \{-5\}.[/mm]
Stimmt, du hast recht, denn es gilt [mm]\inf M=-5[/mm], aber
[mm]N= \{x \in \IQ\, : \, x^3>3\} \cup \{5\}[/mm]
hat natürlich kein Infimum.
Ich Idiot!!! :-( Sorry. 
Vergiss meine Erklärung vom letzten Mal. Man braucht natürlich keine nicht-archimedischen Körper, sondern nicht-vollständige Körper, denn dort gibt es ja bereits nach unten beschränkte Mengen, die kein Infimum besitzen (wenn ich mich nicht ganz irre ist die Eigenschaft, dass jede nach unten beschränkte Menge ein Infimum besitzt, ja sogar äquivalent zur Vollständigkeit).
Oh, oh, ich hoffe du vertraust uns weiterhin, auch wenn wir hier echt Mist gebaut haben. Entschuldige bitte! Peinlich genug für mich ist es allemal.
Alles Gute
Stefan
Nachricht bearbeitet (Do 13.11.03 08:02)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Do 13.11.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Stefan,
> [mm]M = \{x \in \IQ\, : \, x^3>3\} \cup \{-5\}.[/mm]
>
> Stimmt, du hast recht, denn es gilt [mm]\inf M=-5[/mm], aber
>
> [mm]N= \{x \in \IQ\, : \, x^3>3\} \cup \{5\}[/mm]
>
> hat natürlich kein Infimum.
Moment, ich bin doch auch doof. Der Körper, von dem in der Aufgabenstellung die Rede war, ist dann [mm] K=\IQ [/mm] (und nicht [mm]\IR[/mm])? Oh je, da liegt noch viel Wiederholung vor mir...
Gruß,
Marc.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 So 09.11.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Astrid,
> Sei K ein angeordneter Körper, M Teilmenge von K und N:= {|x|;x
> element M}
> Ist M beschränkt, so auch N. (Ja????)
Warum so unsicher?
Die Frage ist ja schon irgendwie intuitiv klar, hoffe ich.
Ich zeige es aber mal in einer schönen Folgerungskette:
M beschränkt
=> Es exisiteren zwei Zahlen x,z in K ("untere und obere Schranke"), so dass [mm] x \le y \le z [/mm] für alle [mm]y \in K[/mm]
Ich setze [mm] a:=\max\{|x|,|z|\} [/mm] (a ist dann einfach der Betrag der betragsmäßig grösseren Zahl)
=> [mm] -a \le x \le y \le z \le a [/mm]
=> [mm] -a \le y \le a [/mm]
=> [mm] 0 \le |y| \le a [/mm]
=> N ist beschränkt.
> Hat M ein Infimum, so auch N.(nein???)
Das würde ich schon sagen.
M besitzt Infimum
=> M nach unten beschränkt
=> N nach unten beschränkt (mit ähnlicher Argumentation wie oben)
=> N besitzt Infimum
Alles klar?
Viele Grüße,
Marc
PS.: Was ist mit der anderen Frage, die du versucht hast, zu stellen (die mit dem homogenen GLS)?
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