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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Körper, Matrizen
Körper, Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Körper, Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 So 01.02.2009
Autor: mathenully

Aufgabe
Aufgabe 1.
Sei K ein Körper. Zeigen Sie:



                x 1 1
     det      1 x 1
                1 1 x

= (x − [mm] 1)^2 [/mm]  (x + 2)

fürr alle x Element K.



Hallo,

hab eine Lösung für folgende Aufgabe gebastelt und wolllte gerne eine Rükmeldung ob es so passt.

Danke LG


       x 1 1                x    1    1             0    1- [mm] x^2 [/mm]    1-x
det 1 x 1      = det  1    x    1  = det   1     x             1
      1 1 x                 0 1-x x-1            0      1-x         x-1



                [mm] 1-x^2 [/mm]      1-x
= -1 det   1-x           x-1


=-1 (1-x)  det  1- [mm] x^2 [/mm]   1-x
                         1           -1

= -1 (1-x) (- ( [mm] 1-x^2) [/mm] - (1-x))

=(x-1) ( 1-x) ( - (1+x)-1)

[mm] =(x-1)^2 [/mm] (1+x+1) = [mm] (x-1)^2 [/mm] (x+2)


        
Bezug
Körper, Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:26 So 01.02.2009
Autor: angela.h.b.

Hallo,

bearbeite mal Dein Post.

Eingabehilfen für den Formeleditor findest Du unterhalb des Eingabefensters.

Die Darstellung von Matrizen/Determinanten  ist problemlos möglich:

[mm] \vmat{ 1 & 2& 5 \\ 3 & 4& 6\\7&8&9 } [/mm]  ,   [mm] \pmat{ 1 & 2& 5 \\ 3 & 4& 6\\7&8&9 }. [/mm]

Wenn Du auf "Quelltext" klickst, siehst Du, wie ich es gemacht habe.

Gruß v. Angela



Bezug
        
Bezug
Körper, Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 So 01.02.2009
Autor: schachuzipus

Hallo mathenully,

du hast alles richtig gemacht, auch wenn die Rechnung mehr als mühselig nachzuprüfen war!

Viel einfacher und schneller geht es übrigens mit der Regel von Sarrus!

> Aufgabe 1.
>  Sei K ein Körper. Zeigen Sie:
>  
>
>
>
>       [mm] $det\pmat{x&1&1\\1&x&1\\1&1&x}$ [/mm]      
>                
>  
> = (x − [mm]1)^2[/mm]  (x + 2)
>  
> fürr alle x Element K.
>  
>
>
> Hallo,
>  
> hab eine Lösung für folgende Aufgabe gebastelt und wolllte
> gerne eine Rükmeldung ob es so passt.
>  
> Danke LG

>  

Deine Rechnung: (damit auch andere sie nachvollziehen können)


[mm] $det\pmat{x&1&1\\1&x&1\\1&1&x}=det\pmat{x&1&1\\1&x&1\\0&1-x&x-1}=det\pmat{0&1-x^2&1-x\\1&x&1\\0&1-x&x-1}$ [/mm]  

[mm] $=(-1)\cdot{}det\pmat{1-x^2&1-x\\1-x&x-1}$ [/mm]

[mm] $=(-1)(1-x)\cdot{}det\pmat{1-x^2&1-x\\1&-1}$ [/mm]

[mm] $=(-1)(1-x)\cdot{}\left(-(1-x^2)-(1-x)\right)=(x-1)(1-x)\cdot{}\left(-(1+x)-1\right)=(x-1)^2(1+x+1)=(x-1)^2(x+2)$ [/mm]

LG

schachuzipus    


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