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| Aufgabe | Sei K ein Körper, n [mm] \in \IN. [/mm] Für s [mm] \in \{0,1 \} [/mm] sei
[mm] U_s [/mm] := [mm] \{A | A \in K^{n x n}, \forall i,j \in n (i,j)A = (-1_K)^s ((j,i) A)\}
[/mm]
Man zeige, dass [mm] U_0 [/mm] und [mm] U_1 [/mm] Teilräume von [mm] K^{n x n} [/mm] sind, und man bestimme ihre Dimensione. Gilt [mm] K^{n x n} [/mm] = [mm] U_0 \oplus U_1? [/mm] |
Also. [mm] U_s [/mm] ist ein Teilraum dessen Elemente Matrizen sind. i bedeutet die Zeile der Matrize und j meint die Spalte der Matrize.
Also ist bei [mm] U_0, [/mm] an der Stelle (j,i) genau der gleich Wert wie an (i,j).
Und bei [mm] U_1, [/mm] an der Stelle (j,i) das negative des Wertes (i,j).
Kann mir nun jemand bei den Beweisen helfen. Also im Beispiel (z.B. n=3) ist das alles logisch und kein Problem, aber wie mache ich das? Es geht hier um mein Mathestudium, also bitte helft mir.
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gepostet!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Tommy.
Betrachten wir erst einmal die Menge [mm] $U_0$. [/mm] Das ist genau die Menge der symmetrischen Matrizen. Um zu zeigen, dass [mm] $U_0$ [/mm] ein Unterraum ist, musst du folgendes zeigen:
1.) Sind [mm] $A,B\in U_0$, [/mm] so auch [mm] $A+B\in U_0$. [/mm] (Abgeschlossenheit bzgl. der Addition)
2.) Ist [mm] $A\in U_0$ [/mm] und [mm] $\lambda\in\IK$, [/mm] so auch [mm] $\lambda A\in U_0$.
[/mm]
Dazu stellst du $A,B$ am besten komponentenweise dar, sprich [mm] $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}, B=(b_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$. [/mm]
Zu (1): Setze $C=A+B$ mit [mm] $C=(c_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ [/mm] und [mm] $c_{ij} [/mm] = [mm] a_{ij}+b_{ij}$. [/mm] Da [mm] $A,B\in U_0$ [/mm] folgt [mm] $c_{ij} [/mm] = [mm] a_{ij} [/mm] + [mm] b_{ij} [/mm] = [mm] a_{ji} [/mm] + [mm] b_{ji} [/mm] = [mm] c_{ji}$. [/mm] Damit ist auch $C=A+B$ symmetrisch, d.h. Element [mm] $U_0$.
[/mm]
Analog zeigst du die Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit Skalaren.
Der Nachweis der Unterraumeigenschaften für [mm] $U_1$ [/mm] verläuft analog.
Nun noch zur zweiten Frage:
Jeder Vektor aus [mm] $\IR^2$ [/mm] lässt sich als Summe eines Vektors der Form $(a,a)$ und einem Vektor der Form $(a,-a)$ schreiben, denn: [mm] $(x,y)=\left(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2}\right)+\left(\frac{x-y}{2},-\frac{x-y}{2}\right)$.
[/mm]
Dies lässt sich auch auf die dir gestellte Frage übertragen. Vielleicht schaffst du es ja.
Liebe Grüße,
Hanno
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Danke für die schnelle Antwort. Leider muss ich sagen, dass ich nicht verstehe, was du da geschrieben hast.
Kannst du das vielleicht noch ein kleines bisschen verdeutlichen? Ich wäre dir sehr dankbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Was genau verstehst du nicht? Versuch' doch hier im Forum mal, die Unterraumeigenschaften nach dem Muster nachzuweisen, welches ich dir vorgegeben habe.
Liebe Grüße,
Hanno
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So dann fange ich mal an.
(1 a) Abgeschlossenheit bzgl. der Addition in [mm] U_0
[/mm]
Seien A, [mm] B\in U_0. [/mm] Setze C:= A + B mit C= [mm] \{c_{ij} \}_{1\le i,j\le n} [/mm] und [mm] c_{ij} [/mm] = [mm] a_{ij} [/mm] + [mm] b_{ij}, [/mm] denn A := [mm] \{a_{ij} \}_{1\le i,j\le n} [/mm] und B := [mm] \{b_{ij} \}_{1\le i,j\le n}. [/mm] Da nun gilt A,B [mm] \in U_0 [/mm] folgt daraus [mm] c_{ij} [/mm] = [mm] a_{ij} [/mm] + [mm] b_{ij} [/mm] = [mm] b_{ji} [/mm] + [mm] a_{ji} [/mm] = [mm] c_{ji}. [/mm] Damit ist auch C = A+B symmetrich, d.h. Element von [mm] U_0.
[/mm]
(1 b) Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation in [mm] U_0
[/mm]
Seien A, [mm] B\in U_0. [/mm] Setze C:= A * B mit C= [mm] \{c_{ij} \}_{1\le i,j\le n} [/mm] und [mm] c_{ij} [/mm] = [mm] a_{ij} [/mm] * [mm] b_{ij}, [/mm] denn A := [mm] \{a_{ij} \}_{1\le i,j\le n} [/mm] und B := [mm] \{b_{ij} \}_{1\le i,j\le n}. [/mm] Da nun gilt A,B [mm] \in U_0 [/mm] folgt daraus [mm] c_{ij} [/mm] = [mm] a_{ij} [/mm] * [mm] b_{ij} [/mm] = [mm] b_{ji} [/mm] * [mm] a_{ji} [/mm] = [mm] c_{ji}. [/mm] Damit ist auch C = A*B symmetrich, d.h. Element von [mm] U_0.
[/mm]
(1 a) Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation in [mm] U_1
[/mm]
Seien A, [mm] B\in U_1. [/mm] Setze C:= A + B mit C= [mm] \{c_{ij} \}_{1\le i,j\le n} [/mm] und [mm] c_{ij} [/mm] = [mm] a_{ij} [/mm] + [mm] b_{ij}, [/mm] denn A := [mm] \{a_{ij} \}_{1\le i,j\le n} [/mm] und B := [mm] \{b_{ij} \}_{1\le i,j\le n}. [/mm] Da nun gilt A,B [mm] \in U_1 [/mm] folgt daraus [mm] c_{ij} [/mm] = [mm] a_{ij} [/mm] + [mm] b_{ij} [/mm] = [mm] -b_{ji} [/mm] - [mm] a_{ji} [/mm] = [mm] c_{ji}. [/mm] Damit ist auch C = A+B
symmetrich, d.h. Element von [mm] U_1.
[/mm]
(1 b)
Seien A, [mm] B\in U_1. [/mm] Setze C:= A * B mit C= [mm] \{c_{ij} \}_{1\le i,j\le n} [/mm] und [mm] c_{ij} [/mm] = [mm] a_{ij} [/mm] * [mm] b_{ij}, [/mm] denn A := [mm] \{a_{ij} \}_{1\le i,j\le n} [/mm] und B := [mm] \{b_{ij} \}_{1\le i,j\le n}. [/mm] Da nun gilt A,B [mm] \in U_1 [/mm] folgt daraus [mm] c_{ij} [/mm] = [mm] a_{ij} [/mm] + [mm] b_{ij} [/mm] = [mm] -b_{ji} [/mm] * (- [mm] a_{ji}) [/mm] = [mm] c_{ji}. [/mm] Damit ist auch C = A*B symmetrich, d.h. Element von [mm] U_1.
[/mm]
Kann mir mal jemand sagen, ob das nun soweit richtig ist? Und falls was falsch sein sollte auch gleiche eine Verbesserung oder Tipps posten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Di 17.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Tommy!
> (1 a) Abgeschlossenheit bzgl. der Addition in [mm]U_0[/mm]
>
> Seien A, [mm]B\in U_0.[/mm] Setze C:= A + B mit C= [mm]\{c_{ij} \}_{1\le i,j\le n}[/mm]
> und [mm]c_{ij}[/mm] = [mm]a_{ij}[/mm] + [mm]b_{ij},[/mm] denn A := [mm]\{a_{ij} \}_{1\le i,j\le n}[/mm]
> und B := [mm]\{b_{ij} \}_{1\le i,j\le n}.[/mm] Da nun gilt A,B [mm]\in U_0[/mm]
> folgt daraus [mm]c_{ij}[/mm] = [mm]a_{ij}[/mm] + [mm]b_{ij}[/mm] = [mm]b_{ji}[/mm] + [mm]a_{ji}[/mm] =
> [mm]c_{ji}.[/mm] Damit ist auch C = A+B symmetrich, d.h. Element von
> [mm]U_0.[/mm]
Das sieht sehr gut aus! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> (1 b) Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation in [mm]U_0[/mm]
>
> Seien A, [mm]B\in U_0.[/mm] Setze C:= A * B mit C= [mm]\{c_{ij} \}_{1\le i,j\le n}[/mm]
> und [mm]c_{ij}[/mm] = [mm]a_{ij}[/mm] * [mm]b_{ij},[/mm] denn A := [mm]\{a_{ij} \}_{1\le i,j\le n}[/mm]
> und B := [mm]\{b_{ij} \}_{1\le i,j\le n}.[/mm] Da nun gilt A,B [mm]\in U_0[/mm]
> folgt daraus [mm]c_{ij}[/mm] = [mm]a_{ij}[/mm] * [mm]b_{ij}[/mm] = [mm]b_{ji}[/mm] * [mm]a_{ji}[/mm] =
> [mm]c_{ji}.[/mm] Damit ist auch C = A*B symmetrich, d.h. Element von
> [mm]U_0.[/mm]
Vorsicht: Es geht hier nicht um die Matrizenmultiplikation! Dann wäre ja auch [mm] $c_{ij}$ [/mm] nicht gleich [mm] $a_{ij} \cdot b_{ij}$, [/mm] sondern gleich [mm] $\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$. [/mm] Nein, es geht um die skalare Multiplikation:
[mm] $\lambda \cdot [/mm] A = [mm] (\lambda \cdot a_{ij})_{i,j=1,\ldots,n}$.
[/mm]
> (1 a) Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation in [mm]U_1[/mm]
Du meinst Addition.
> Seien A, [mm]B\in U_1.[/mm] Setze C:= A + B mit C= [mm]\{c_{ij} \}_{1\le i,j\le n}[/mm]
> und [mm]c_{ij}[/mm] = [mm]a_{ij}[/mm] + [mm]b_{ij},[/mm] denn A := [mm]\{a_{ij} \}_{1\le i,j\le n}[/mm]
> und B := [mm]\{b_{ij} \}_{1\le i,j\le n}.[/mm] Da nun gilt A,B [mm]\in U_1[/mm]
> folgt daraus [mm]c_{ij}[/mm] = [mm]a_{ij}[/mm] + [mm]b_{ij}[/mm] = [mm]-b_{ji}[/mm] - [mm]a_{ji}[/mm] =
> [mm]c_{ji}.[/mm] Damit ist auch C = A+B
> symmetrich, d.h. Element von [mm]U_1.[/mm]
Hier muss es am Schluss natürlich [mm] $-c_{ji}$ [/mm] heißen und nicht symmetrisch, sondern schiefsymmetrisch. Ich tippe auf einen typischen Copy&Paste-Fehler... 
> (1 b)
>
> Seien A, [mm]B\in U_1.[/mm] Setze C:= A * B mit C= [mm]\{c_{ij} \}_{1\le i,j\le n}[/mm]
> und [mm]c_{ij}[/mm] = [mm]a_{ij}[/mm] * [mm]b_{ij},[/mm] denn A := [mm]\{a_{ij} \}_{1\le i,j\le n}[/mm]
> und B := [mm]\{b_{ij} \}_{1\le i,j\le n}.[/mm] Da nun gilt A,B [mm]\in U_1[/mm]
> folgt daraus [mm]c_{ij}[/mm] = [mm]a_{ij}[/mm] + [mm]b_{ij}[/mm] = [mm]-b_{ji}[/mm] * (-
> [mm]a_{ji})[/mm] = [mm]c_{ji}.[/mm] Damit ist auch C = A*B symmetrich, d.h.
> Element von [mm]U_1.[/mm]
Hier gilt das Gleiche wie oben bei der Multiplikation...
Liebe Grüße
Julius
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