Körper beweisen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Do 21.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Sei [mm] \IQ[\wurzel{3}]{a+b\wurzel{3} \in \IR|a,b, \in \IQ}.Man [/mm] beweise,dass [mm] \IQ[3] [/mm] ein Körper ist. |
Hallo^^
Bevor ich diese Aufgabe löse,habe ich eine Verständnisfrage.
Was beudetet dieses [mm] \IQ[\wurzel{3}] [/mm] und wie spricht man das aus?Was sagt mir dieses [mm] \IQ[\wurzel{3}], [/mm] ich weiß schonmal dass [mm] \IQ [/mm] die rationalen Zahlen sind,aber was hat es mit dieser [mm] \wurzel{3}?
[/mm]
Und soll das + hier wirklich ein + sein, oder ist es nur ein Zeichen für "Verknüpfung"?
lg
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Hallo Mandy,
> Sei [mm]\IQ[\wurzel{3}] \ \red{=} \ \red{\{}a+b\wurzel{3} \in \IR|a,b, \in \IQ\red{\}} [/mm]
> Man beweise,dass [mm]\IQ[\sqrt{3}][/mm] ein Körper ist.
> Hallo^^
>
> Bevor ich diese Aufgabe löse,habe ich eine
> Verständnisfrage.
> Was beudetet dieses [mm]\IQ[\wurzel{3}][/mm]
Nun, zunächst das sind alle rationalen Zahlen, zusätzlich alle rationalen Vielfachen von [mm]\sqrt{3}[/mm] und auch alle "gemischten Vielfachen", wie zum Beispiel [mm] $\frac{4}{5}+\frac{1}{7}\sqrt{3}$.
[/mm]
> und wie spricht man
> das aus?
" [mm]\IQ[/mm] adjungiert Wurzel 3 "
> Was sagt mir dieses [mm]\IQ[\wurzel{3}],[/mm] ich weiß
> schonmal dass [mm]\IQ[/mm] die rationalen Zahlen sind,aber was hat
> es mit dieser [mm]\wurzel{3}?[/mm]
Das ist eine Körpererweiterung, dem Körper [mm]\IQ[/mm] werden das Element [mm]\sqrt{3}\notin\IQ[/mm] und alle (rationalen) Vielfachen desselben hinzugefügt (adjungiert).
Es ist also [mm]\IQ\subset\IQ[\sqrt{3}][/mm]
>
> Und soll das + hier wirklich ein + sein, oder ist es nur
> ein Zeichen für "Verknüpfung"?
Das ist das "normale" +
Alle Körpereigenschaften sind relativ gut nachzuweisen, das rechnet sich so aus ...
Allein das Auffinden des multipikativ Inversen zu etwa [mm]a+b\sqrt{3}[/mm] ist etwas mehr Rechnung.
Versuche mal, die Axiome durchzugehen...
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Do 21.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
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> Alle Körpereigenschaften sind relativ gut nachzuweisen,
> das rechnet sich so aus ...
>
> Allein das Auffinden des multipikativ Inversen zu etwa
> [mm]a+b\sqrt{3}[/mm] ist etwas mehr Rechnung.
>
> Versuche mal, die Axiome durchzugehen...
>
Ich hab es mal versucht.
Also wir hatten uns aufgeschrieben:Sei R eine Menge.
R heißt Schiefkörper,falls [mm] (R\{0},*) [/mm] eine Gruppe ist.
R heißt kommutativ,falls [mm] \forall [/mm] r,s [mm] \in [/mm] R:r*s=s*r
R heißt Körper,wenn R ein komuutativer Schiefkörper ist.
Also muss ich zuerst zeigen,dass [mm] IQ[\wurzel{3}] [/mm] eine Menge ist,muss ich das eigentlich einmal mit der Verknüpfung "mal" und einmal mit "plus" zeigen?
[mm] 1.Assoziativgesetz:((a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}))*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3})=(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*((a_{2}+b_{2}\wurzel{3})*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3}))
[/mm]
[mm] ((a_{1}+b_{1}\wurzel{3})+(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}))+(a_{3}+b_{3}\wurzel{3})=(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*((a_{2}+b_{2}\wurzel{3})+(a_{3}+b_{3}\wurzel{3})).
[/mm]
2.neutrales Element:
Das neutrale Element mit der Verknüprung * (mal) ist die 1.Und das neutrale Element mit der Verknüpfung + ist die 0.
Aber oben steht "R heißt Schiefkörper,falls [mm] (R\{0},*) [/mm] eine Gruppe ist".Also muss die 0 raus oder was?Dann gibt es kein neutrales Element für +?
3.Inverses Element: Beim inversen Element hatte ich Schwierigkeiten.Es muss ja gelten: [mm] a+b\wurzel{3}*Inverses=Neutrales. [/mm] Da ich die 1 als neutrales Element hatte kann ich doch sagen [mm] Inverses=\bruch{1}{a+b\wurzel{3}} [/mm] oder?
[mm] 4.Kommutativität:(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3})=(a_{2}+b_{2}\wurzel{3})*(a_{1}+b_{1}\wurzel{3}).
[/mm]
Ist meine Rechnung so in Ordnung?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Do 21.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei deinen Körperaxiomen fehlt was.
1.in der Menge R muss es 2 Verknüpfungen geben meist + und * genannt.
2. und dann fehlen noch ne Anzahl Axiome für den Schiefkörper.
Dann musst du für DEINE Menge sagen, wie in ihr + und * definiert sind. dann erst kannst du loslegen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> Bei deinen Körperaxiomen fehlt was.
> 1.in der Menge R muss es 2 Verknüpfungen geben meist +
> und * genannt.
Also muss ich mit + und * zeigen,dass es sich um eine Gruppe handelt ?
Ist mit + hier das wirkliche + gemeint oder ist es nur ein Zeichen für eine Verknüpfung?
> 2. und dann fehlen noch ne Anzahl Axiome für den
> Schiefkörper.
Für den Schiefkörper gilt doch R heißt Schiefkörper,falls [mm] (R\{0},*) [/mm] eine Gruppe ist.Ist hier mit dem * das echte "mal" gemeint oder steht es hier wieder für irgendeine verknüpfung?
Heißt das,ich muss für den Schiefkörper zeigen,dass [mm] IQ[\wurzel{3}] [/mm] \ {0} eine Gruppe ist?Und hier wieder mit den zwei Verknüpfungen + und * oder jetzt nur mit *?
> Dann musst du für DEINE Menge sagen, wie in ihr + und *
> definiert sind. dann erst kannst du loslegen.
woher weiß ich denn wie + und * definiert sind?In der Aufgabe steht nicht mehr dazu.
lg
> Gruss leduart
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Fr 22.10.2010 | | Autor: | fred97 |
+ und * sind die ganz gewöhnliche Addition und Multiplikation
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> + und * sind die ganz gewöhnliche Addition und
> Multiplikation
ok,kann ich das also so machen,wie ich es beschrieben habe?
>
> FRED
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Hallo nochmal,
> > + und * sind die ganz gewöhnliche Addition und
> > Multiplikation
>
> ok,kann ich das also so machen,wie ich es beschrieben
> habe?
Ja, du hast aber nur (einige) Punkte hingeschrieben, die du zeigen musst.
Gezeigt hast du gar nix.
Es fehlen zum einen Punkte, zum anderen fehlt jegliche Rechnung.
Du musst etwa Assoziativität, (evtl.) Kommutativität und v.a. Abgeschlossenheit bzgl. der Operationen vorrechnen.
Was soll außerdem dein multiplikativ Inverses zu [mm]a+b\sqrt{3}[/mm] [mm]\neq 0[/mm] sein?
Du schreibst [mm]\frac{1}{a+b\sqrt{3}}[/mm], das liegt zwar in [mm]\IR[/mm], aber liegt es auch in [mm]\IQ[\sqrt{3}][/mm] ?
Du musst doch das Inverse in die Form [mm]x+y\sqrt{3}[/mm] bringen mit [mm]x,y\in\IQ[/mm]
Da ist also noch so ziemlich alles zu tun ...
Nochmal:
Zeige (rechne konkret durch):
1) [mm](\IQ[\sqrt{3}],+)[/mm] ist eine abelsche Gruppe
2) [mm](\IQ[\sqrt{3}]\setminus\{0=0+0\cdot{}\sqrt{3}\},\cdot{})[/mm] ist eine (abelsche?) Gruppe
3) Es gelten die Distributivgesetze
Im Prinzip führst du das in den konkreten Rechnungen auf die Rechenregeln in [mm]\IQ[/mm] zurück ...
Also rechne es mal alles schön durch, bis auf das multiplikativ Inverse ist das reines Hinschreiben.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo nochmal,
>
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> > > + und * sind die ganz gewöhnliche Addition und
> > > Multiplikation
> >
> > ok,kann ich das also so machen,wie ich es beschrieben
> > habe?
>
> Ja, du hast aber nur (einige) Punkte hingeschrieben, die du
> zeigen musst.
>
> Gezeigt hast du gar nix.
>
> Es fehlen zum einen Punkte, zum anderen fehlt jegliche
> Rechnung.
>
> Du musst etwa Assoziativität, (evtl.) Kommutativität und
> v.a. Abgeschlossenheit bzgl. der Operationen vorrechnen.
>
> Was soll außerdem dein multiplikativ Inverses zu
> [mm]a+b\sqrt{3}[/mm] [mm]\neq 0[/mm] sein?
>
> Du schreibst [mm]\frac{1}{a+b\sqrt{3}}[/mm], das liegt zwar in [mm]\IR[/mm],
> aber liegt es auch in [mm]\IQ[\sqrt{3}][/mm] ?
>
> Du musst doch das Inverse in die Form [mm]x+y\sqrt{3}[/mm] bringen
> mit [mm]x,y\in\IQ[/mm]
>
> Da ist also noch so ziemlich alles zu tun ...
>
> Nochmal:
>
> Zeige (rechne konkret durch):
>
> 1) [mm](\IQ[\sqrt{3}],+)[/mm] ist eine abelsche Gruppe
>
> 2) [mm](\IQ[\sqrt{3}]\setminus\{0=0+0\cdot{}\sqrt{3}\},\cdot{})[/mm]
> ist eine (abelsche?) Gruppe
>
> 3) Es gelten die Distributivgesetze
>
> Im Prinzip führst du das in den konkreten Rechnungen auf
> die Rechenregeln in [mm]\IQ[/mm] zurück ...
>
> Also rechne es mal alles schön durch, bis auf das
> multiplikativ Inverse ist das reines Hinschreiben.
Ok,ich hab jetzt mal alles durchgerechnet.Also
1) [mm](\IQ[\sqrt{3}],+)[/mm] ist eine abelsche Gruppe
1.1 Assoziativgesetz
[mm] (a_{1}+b_{1}\wurzel{3}+a_{2}+b_{2}\wurzel{3})+a_{3}+b_{3}\wurzel{3}=a_{1}+b_{1}\wurzel{3}+a_{2}+b_{2}\wurzel{3}+a_{3}+b_{3}\wurzel{3}=a_{1}+b_{1}\wurzel{3}+(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}+a_{3}+b_{3}\wurzel{3})
[/mm]
1.2 neutrales Element
[mm] a_{1}+b_{1}\wurzel{3}+0+0*\wurzel{3}=a_{1}+b_{1}\wurzel{3}.
[/mm]
Also sind die neutralen Element a=b=0
1.3 inverses Element
[mm] a_{1}+b_{1}\wurzel{3}* [/mm] inverses=0
Da hab ich keine Ahnung,wie ich ein Inverses finden soll.
1.4 Kommutativität
[mm] a_{1}+b_{1}\wurzel{3}+a_{2}+b_{2}\wurzel{3}=a_{1}+a_{2}+b_{1}\wurzel{3}+b_{2}\wurzel{3}=a_{2}+b_{2}\wurzel{3}+a_{1}+b_{1}\wurzel{3}
[/mm]
Ist damit gezeigt,dass es sich um eine ablesche Gruppe handelt?
[mm] 2.(\IQ[\sqrt{3}]\setminus\{0=0+0\cdot{}\sqrt{3}\},\cdot{}) [/mm] ist eine (abelsche?) Gruppe
2.1 Assoziativgesetz
[mm] ((a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}))*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3})=(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})((a_{2}+b_{2}\wurzel{3})*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3}))
[/mm]
Ich hab jetzt die ganzen Zwischenschritte weggelassen
2.2 neutrales Element
Da bin ich mir nicht ganz sicher,also ich hatte mir überlegt,dass es vielleicht [mm] 1+1\wurzel{3} [/mm] sein könnte,aber irgendwie ist das nicht neutral.Und die 0 ist ja ausgeschlossen.
2.3 inverses Element
Dafür brauch ich zuerst das neutrale Element
2.4 Kommutativität
[mm] (a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*((a_{2}+b_{2}\wurzel{3})=a_{2}+b_{2}\wurzel{3}*(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})
[/mm]
Hier hab ich die Zwischenschritte auch weggelassen.
3) Distributivgesetz
[mm] (a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}+a_{3}+b_{3}\wurzel{3})=(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3})+(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3}).
[/mm]
Auch hier hab ich die Zwischenschritte nicht eingetippt.
Ist damit bewiesen,dass IQ[3] ein Körper ist?
lg
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Hallo nochmal,
>
> Ok,ich hab jetzt mal alles durchgerechnet.Also
> 1) [mm](\IQ[\sqrt{3}],+)[/mm] ist eine abelsche Gruppe
>
> 1.1 Assoziativgesetz
>
> [mm](a_{1}+b_{1}\wurzel{3}+a_{2}+b_{2}\wurzel{3})+a_{3}+b_{3}\wurzel{3}=a_{1}+b_{1}\wurzel{3}+a_{2}+b_{2}\wurzel{3}+a_{3}+b_{3}\wurzel{3}=a_{1}+b_{1}\wurzel{3}+(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}+a_{3}+b_{3}\wurzel{3})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") auf dem Übungsblatt solltest du einen oder zwei Zwischenschritte machen ...
> 1.2 neutrales Element
>
> [mm]a_{1}+b_{1}\wurzel{3}+0+0*\wurzel{3}=a_{1}+b_{1}\wurzel{3}.[/mm]
> Also sind die neutralen Element a=b=0
Es gibt nur ein einziges und eindeutiges neutrales Element, nämlich [mm] $e=0+0\sqrt{3}=0$
[/mm]
>
> 1.3 inverses Element
> [mm]a_{1}+b_{1}\wurzel{3}*[/mm] inverses=0
Wieso jetzt [mm] $\cdot{}$
[/mm]
Du bist doch bei der addit. Verkn. +
Da muss gelten [mm] $(a+b\sqrt{3})+(c+d\sqrt{3})=0$
[/mm]
[mm] $c+d\sqrt{3}$ [/mm] ist invers zu [mm] $a+b\sqrt{3}$
[/mm]
Was ergibt sich konkret für $c,d$?
> Da hab ich keine Ahnung,wie ich ein Inverses finden soll.
>
> 1.4 Kommutativität
>
> [mm]a_{1}+b_{1}\wurzel{3}+a_{2}+b_{2}\wurzel{3}=a_{1}+a_{2}+b_{1}\wurzel{3}+b_{2}\wurzel{3}=a_{2}+b_{2}\wurzel{3}+a_{1}+b_{1}\wurzel{3}[/mm]
>
> Ist damit gezeigt,dass es sich um eine ablesche Gruppe
> handelt?
Wenn du es vervollständigst, ja!
>
> [mm]2.(\IQ[\sqrt{3}]\setminus\{0=0+0\cdot{}\sqrt{3}\},\cdot{})[/mm]
> ist eine (abelsche?) Gruppe
>
> 2.1 Assoziativgesetz
>
> [mm]((a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}))*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3})=(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})((a_{2}+b_{2}\wurzel{3})*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3}))[/mm]
>
> Ich hab jetzt die ganzen Zwischenschritte weggelassen
Mache das auf dem Abgabezettel aber nicht 
>
> 2.2 neutrales Element
> Da bin ich mir nicht ganz sicher,also ich hatte mir
> überlegt,dass es vielleicht [mm]1+1\wurzel{3}[/mm] sein
> könnte,
Dann müsste [mm] $(a+b\sqrt{3})\cdot{}(1+1\sqrt{3})=a+b\sqrt{3}$ [/mm] sein, ist es aber nicht
Das neutrale Element bzl. der Mult. ist doch naheliegend [mm] $1=1+0\cdot{}\sqrt{3}\in\IQ[\sqrt{3}]$
[/mm]
> aber irgendwie ist das nicht neutral.Und die 0 ist
> ja ausgeschlossen.
>
> 2.3 inverses Element
> Dafür brauch ich zuerst das neutrale Element
Das hast du oben nun
>
> 2.4 Kommutativität
>
> [mm](a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*((a_{2}+b_{2}\wurzel{3})=a_{2}+b_{2}\wurzel{3}*(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})[/mm]
>
> Hier hab ich die Zwischenschritte auch weggelassen.
Na, ok
>
> 3) Distributivgesetz
>
> [mm](a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}+a_{3}+b_{3}\wurzel{3})=(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3})+(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3}).[/mm]
>
> Auch hier hab ich die Zwischenschritte nicht eingetippt.
Hmmm ...
>
> Ist damit bewiesen,dass IQ[3] ein Körper ist?
Wenn du die Lücken füllst, dann ja!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> >
> > Ist damit bewiesen,dass IQ[3] ein Körper ist?
>
> Wenn du die Lücken füllst, dann ja!
puuuuh...endlich!Das war echt anstrengend.
Ich hab die ganzen Zwischenschritte einfach nicht abgetippt,weil mir das zu viel zum Abtippen,auf dem Blatt werde ich sie natürlich aufschreiben =)
Und vielen Dank nochmal
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo nochmal,
>
>
> >
> > Ok,ich hab jetzt mal alles durchgerechnet.Also
> > 1) [mm](\IQ[\sqrt{3}],+)[/mm] ist eine abelsche Gruppe
> >
> > 1.1 Assoziativgesetz
> >
> >
> [mm](a_{1}+b_{1}\wurzel{3}+a_{2}+b_{2}\wurzel{3})+a_{3}+b_{3}\wurzel{3}=a_{1}+b_{1}\wurzel{3}+a_{2}+b_{2}\wurzel{3}+a_{3}+b_{3}\wurzel{3}=a_{1}+b_{1}\wurzel{3}+(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}+a_{3}+b_{3}\wurzel{3})[/mm]
>
> auf dem Übungsblatt solltest du einen oder zwei
> Zwischenschritte machen ...
>
> > 1.2 neutrales Element
> >
> >
> [mm]a_{1}+b_{1}\wurzel{3}+0+0*\wurzel{3}=a_{1}+b_{1}\wurzel{3}.[/mm]
> > Also sind die neutralen Element a=b=0
>
> Es gibt nur ein einziges und eindeutiges neutrales Element,
> nämlich [mm]e=0+0\sqrt{3}=0[/mm]
>
> >
> > 1.3 inverses Element
> > [mm]a_{1}+b_{1}\wurzel{3}*[/mm] inverses=0
>
> Wieso jetzt [mm]\cdot{}[/mm]
>
> Du bist doch bei der addit. Verkn. +
>
> Da muss gelten [mm](a+b\sqrt{3})+(c+d\sqrt{3})=0[/mm]
>
> [mm]c+d\sqrt{3}[/mm] ist invers zu [mm]a+b\sqrt{3}[/mm]
>
> Was ergibt sich konkret für [mm]c,d[/mm]?
Konkret ergibt sich für c=-a und [mm] d=-b\wurzel{3} [/mm] ?
>
> > Da hab ich keine Ahnung,wie ich ein Inverses finden soll.
> >
> > 1.4 Kommutativität
> >
> >
> [mm]a_{1}+b_{1}\wurzel{3}+a_{2}+b_{2}\wurzel{3}=a_{1}+a_{2}+b_{1}\wurzel{3}+b_{2}\wurzel{3}=a_{2}+b_{2}\wurzel{3}+a_{1}+b_{1}\wurzel{3}[/mm]
> >
> > Ist damit gezeigt,dass es sich um eine ablesche Gruppe
> > handelt?
>
> Wenn du es vervollständigst, ja!
>
> >
> > [mm]2.(\IQ[\sqrt{3}]\setminus\{0=0+0\cdot{}\sqrt{3}\},\cdot{})[/mm]
> > ist eine (abelsche?) Gruppe
> >
> > 2.1 Assoziativgesetz
> >
> >
> [mm]((a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}))*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3})=(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})((a_{2}+b_{2}\wurzel{3})*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3}))[/mm]
> >
> > Ich hab jetzt die ganzen Zwischenschritte weggelassen
>
> Mache das auf dem Abgabezettel aber nicht
>
> >
> > 2.2 neutrales Element
> > Da bin ich mir nicht ganz sicher,also ich hatte mir
> > überlegt,dass es vielleicht [mm]1+1\wurzel{3}[/mm] sein
> > könnte,
>
> Dann müsste [mm](a+b\sqrt{3})\cdot{}(1+1\sqrt{3})=a+b\sqrt{3}[/mm]
> sein, ist es aber nicht
>
> Das neutrale Element bzl. der Mult. ist doch naheliegend
> [mm]1=1+0\cdot{}\sqrt{3}\in\IQ[\sqrt{3}][/mm]
>
>
> > aber irgendwie ist das nicht neutral.Und die 0 ist
> > ja ausgeschlossen.
> >
> > 2.3 inverses Element
> > Dafür brauch ich zuerst das neutrale Element
>
> Das hast du oben nun
Also muss gelten: [mm] (a+b\wurzel{3})*(c+d\wurzel{3})=1+0*\wurzel{3}=1
[/mm]
[mm] ac+a*d\wurzel{3}+b*c*\wurzel{3}+b^{2}*3=1
[/mm]
Das kann ich aber nicht auflösen.Vielleicht ist das Inverse [mm] (a-b*\wurzel{3}),dann [/mm] hab ich [mm] (a+b\wurzel{3})*(a-b\wurzel{3})=1?
[/mm]
wenn ich das auflöse,hab ich [mm] a^{2}+3*b^{2},aber [/mm] das ist nicht gleich 1.
Wie soll ich denn sonst das Inverse rauskriegen, ich hab es auch schon mit [mm] -a-b\wurzel{3} [/mm] ausprobiert,aber da kommt auch nicht =1 raus.
>
> >
> > 2.4 Kommutativität
> >
> >
> [mm](a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*((a_{2}+b_{2}\wurzel{3})=a_{2}+b_{2}\wurzel{3}*(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})[/mm]
> >
> > Hier hab ich die Zwischenschritte auch weggelassen.
>
> Na, ok
>
> >
> > 3) Distributivgesetz
> >
> >
> [mm](a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}+a_{3}+b_{3}\wurzel{3})=(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3})+(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3}).[/mm]
> >
> > Auch hier hab ich die Zwischenschritte nicht eingetippt.
>
> Hmmm ...
>
> >
> > Ist damit bewiesen,dass IQ[3] ein Körper ist?
>
> Wenn du die Lücken füllst, dann ja!
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Guten Morgen, Mandy,
> >
> > Du bist doch bei der addit. Verkn. +
> >
> > Da muss gelten [mm](a+b\sqrt{3})+(c+d\sqrt{3})=0[/mm]
> >
> > [mm]c+d\sqrt{3}[/mm] ist invers zu [mm]a+b\sqrt{3}[/mm]
> >
> > Was ergibt sich konkret für [mm]c,d[/mm]?
>
> Konkret ergibt sich für c=-a und [mm]d=-b\wurzel{3}[/mm] ?
Du musst genauer sein, es sind doch in der Darstellung [mm]c+d\sqrt{3}[/mm]
[mm]c[/mm] und [mm]d[/mm] rationale Zahlen [mm](c,d\in\IQ)[/mm]
Also [mm]c=-a[/mm], [mm]d=-b[/mm]
>
> Also muss gelten:
> [mm](a+b\wurzel{3})*(c+d\wurzel{3})=1+0*\wurzel{3}=1[/mm]
> [mm]ac+a*d\wurzel{3}+b*c*\wurzel{3}+\red{b^{2}}*3=1[/mm]
Da muss doch [mm]\red{b\cdot{}d}[/mm] stehen!
> Das kann ich aber nicht auflösen.Vielleicht ist das
> Inverse [mm](a-b*\wurzel{3}),dann[/mm] hab ich
> [mm](a+b\wurzel{3})*(a-b\wurzel{3})=1?[/mm]
> wenn ich das auflöse,hab ich [mm]a^{2}+3*b^{2},aber[/mm] das ist
> nicht gleich 1.
> Wie soll ich denn sonst das Inverse rauskriegen, ich hab
> es auch schon mit [mm]-a-b\wurzel{3}[/mm] ausprobiert,aber da kommt
> auch nicht =1 raus.
Koeffizientenvergleich ist das Stichwort!
Sortiere das Produkt mal um: [mm]\ldots=\red{(ac+3bd)}+\blue{(ad+bc)\sqrt{3}[/mm]
Und das muss [mm]=1=\red{1}+\blue{0\cdot{}\sqrt{3}}[/mm] sein
Also [mm]\red{ac+3bd=1}[/mm] und [mm]\blue{ad+bc=0[/mm]
Das löse nun (natürlich in Abh. von [mm]a,b[/mm]) nach [mm]c[/mm] und [mm]d[/mm] auf, also [mm]c=\ldots, d=\ldots[/mm]
Dann hast du mit [mm]c+d\sqrt{3}[/mm] formal das Inverse zu [mm]a+b\sqrt{3}\neq 0[/mm] gefunden.
Überzeuge dich aber unbedingt davon, dass das gefundene [mm]c+d\sqrt{3}\in\IQ[\sqrt{3}][/mm] ist, dass also c,d rational sind!
Und noch eine Bitte: Zitiere bitte mit mehr Bedacht, lösche das, was du nicht brauchst, weg. Sonst ist es sehr unübersichtlich ...
Man muss deine Frage(n) regelrecht suchen ... und das ist blöd.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Koeffizientenvergleich ist das Stichwort!
>
> Sortiere das Produkt mal um:
> [mm]\ldots=\red{(ac+3bd)}+\blue{(ad+bc)\sqrt{3}[/mm]
>
> Und das muss [mm]=1=\red{1}+\blue{0\cdot{}\sqrt{3}}[/mm] sein
>
> Also [mm]\red{ac+3bd=1}[/mm] und [mm]\blue{ad+bc=0[/mm]
>
> Das löse nun (natürlich in Abh. von [mm]a,b[/mm]) nach [mm]c[/mm] und [mm]d[/mm]
> auf, also [mm]c=\ldots, d=\ldots[/mm]
ok,also hab ich zwei Gleichungen
1.ac+3bd=1
2.ad+bc=0
Ich löse 2.nach d auf: [mm] d=-\bruch{bc}{a} [/mm] und setze das in 1. ein,dann hab ich [mm] c=\bruch{a}{a^{2}-3b^{2}}=\bruch{1}{a}-\bruch{1}{3}*\bruch{a}{b^{2}}.
[/mm]
Ich sehe,dass c und d Brüche sind,kann ich dann davon ausgehen,dass c und d rationale Zahlen sind
>
> Dann hast du mit [mm]c+d\sqrt{3}[/mm] formal das Inverse zu
> [mm]a+b\sqrt{3}\neq 0[/mm] gefunden.
Das versteh ich nicht ganz.Ich hatte jetzt [mm] c=\bruch{a}{a^{2}-3b^{2}} [/mm] und [mm] d=-\bruch{bc}{a} [/mm] raus, wie komme ich dann auf das Inverse [mm] c+d\wurzel{3} [/mm] ?
>
> Überzeuge dich aber unbedingt davon, dass das gefundene
> [mm]c+d\sqrt{3}\in\IQ[\sqrt{3}][/mm] ist, dass also c,d rational
> sind!
>
>
>
> Und noch eine Bitte: Zitiere bitte mit mehr Bedacht,
> lösche das, was du nicht brauchst, weg. Sonst ist es sehr
> unübersichtlich ...
>
> Man muss deine Frage(n) regelrecht suchen ... und das ist
> blöd.
>
ok,mach ich^^
lg
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Hallo nochmal,
> > Koeffizientenvergleich ist das Stichwort!
> >
> > Sortiere das Produkt mal um:
> > [mm]\ldots=\red{(ac+3bd)}+\blue{(ad+bc)\sqrt{3}[/mm]
> >
> > Und das muss [mm]=1=\red{1}+\blue{0\cdot{}\sqrt{3}}[/mm] sein
> >
> > Also [mm]\red{ac+3bd=1}[/mm] und [mm]\blue{ad+bc=0[/mm]
> >
> > Das löse nun (natürlich in Abh. von [mm]a,b[/mm]) nach [mm]c[/mm] und [mm]d[/mm]
> > auf, also [mm]c=\ldots, d=\ldots[/mm]
>
> ok,also hab ich zwei Gleichungen
> 1.ac+3bd=1
> 2.ad+bc=0
>
> Ich löse 2.nach d auf: [mm]d=-\bruch{bc}{a}[/mm] und setze das in
> 1. ein,dann hab ich
> [mm]c=\bruch{a}{a^{2}-3b^{2}} [/mm]
[mm]=\bruch{1}{a}-\bruch{1}{3}*\bruch{a}{b^{2}}[/mm] ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Nach welchen Regeln hast du das umgeformt?
Überzeuge dich besser davon, dass [mm]a^2-3b^2\neq 0[/mm] ist ...
Dann ergibt sich der Rest aus der Abgeschlossenheit des Körpers [mm]\IQ[/mm] unter [mm]+[/mm] und [mm]\cdot{}[/mm]
> Ich sehe,dass c und d Brüche sind,kann ich dann davon
> ausgehen,dass c und d rationale Zahlen sind
Das wird sich ergeben, aber nicht so ...
>
>
> >
> > Dann hast du mit [mm]c+d\sqrt{3}[/mm] formal das Inverse zu
> > [mm]a+b\sqrt{3}\neq 0[/mm] gefunden.
>
> Das versteh ich nicht ganz.Ich hatte jetzt
> [mm]c=\bruch{a}{a^{2}-3b^{2}}[/mm] und [mm]d=-\bruch{bc}{a}[/mm] raus, wie
Das d solltest du noch ausrechnen, es darf nur in Abh. von a und b sein.
Setze das berechnete c da im Zähler ein.
> komme ich dann auf das Inverse [mm]c+d\wurzel{3}[/mm] ?
Na, d fehlt noch und c schreibe einfach hin.
Das Inverse zu [mm]a+b\sqrt{3}[/mm] ist [mm]\frac{a}{a^2-3b^2}+\text{fehlt noch}\cdot{}\sqrt{3}\in\IQ[\sqrt{3}][/mm]
> >
> > Überzeuge dich aber unbedingt davon, dass das gefundene
> > [mm]c+d\sqrt{3}\in\IQ[\sqrt{3}][/mm] ist, dass also c,d rational
> > sind!
> >
> >
> >
> > Und noch eine Bitte: Zitiere bitte mit mehr Bedacht,
> > lösche das, was du nicht brauchst, weg. Sonst ist es sehr
> > unübersichtlich ...
> >
> > Man muss deine Frage(n) regelrecht suchen ... und das ist
> > blöd.
> >
> ok,mach ich^^
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > ok,also hab ich zwei Gleichungen
> > 1.ac+3bd=1
> > 2.ad+bc=0
> >
> > Ich löse 2.nach d auf: [mm]d=-\bruch{bc}{a}[/mm] und setze das in
> > 1. ein,dann hab ich
> > [mm]c=\bruch{a}{a^{2}-3b^{2}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{a}-\bruch{1}{3}*\bruch{a}{b^{2}}[/mm]
>
> Nach welchen Regeln hast du das umgeformt?
ehhmmm,vergiss es einfach...
>
> Überzeuge dich besser davon, dass [mm]a^2-3b^2\neq 0[/mm] ist ...
Kann ich mich mit dem Argument davon überzeugen,dass [mm] a^2-3b^2\neq [/mm] 0 sein muss,weil wir uns bei den rationalen Zahlen befinden und da steht es in der Definition,dass q [mm] \not= [/mm] 0, falls [mm] \bruch{p}{q} \in \IQ [/mm] ?.In unserem Fall ist [mm] q=a^2-3b^2.
[/mm]
>
> Dann ergibt sich der Rest aus der Abgeschlossenheit des
> Körpers [mm]\IQ[/mm] unter [mm]+[/mm] und [mm]\cdot{}[/mm]
Wie schreibe ich denn die Abgeschlossenheit formal hin ?
>
>
> > Ich sehe,dass c und d Brüche sind,kann ich dann davon
> > ausgehen,dass c und d rationale Zahlen sind
>
> Das wird sich ergeben, aber nicht so ...
>
>
> >
> >
> > >
> > > Dann hast du mit [mm]c+d\sqrt{3}[/mm] formal das Inverse zu
> > > [mm]a+b\sqrt{3}\neq 0[/mm] gefunden.
> >
> > Das versteh ich nicht ganz.Ich hatte jetzt
> > [mm]c=\bruch{a}{a^{2}-3b^{2}}[/mm] und [mm]d=-\bruch{bc}{a}[/mm] raus, wie
>
> Das d solltest du noch ausrechnen, es darf nur in Abh. von
> a und b sein.
Ich hab d ausgerechnet, [mm] d=-\bruch{b}{a^{2}-3*b^{2}}
[/mm]
>
> Setze das berechnete c da im Zähler ein.
>
>
> > komme ich dann auf das Inverse [mm]c+d\wurzel{3}[/mm] ?
>
> Na, d fehlt noch und c schreibe einfach hin.
>
> Das Inverse zu [mm]a+b\sqrt{3}[/mm] ist
> [mm]\frac{a}{a^2-3b^2}+\text{fehlt noch}\cdot{}\sqrt{3}\in\IQ[\sqrt{3}][/mm]
>
Also ist das Inverse [mm] \bruch{a}{a^{2}-3*b^{2}}-\bruch{b}{a^{2}-3*b^{2}}*\wurzel{3} \in \IQ[\wurzel{3}] [/mm] ?
> > >
> > > Überzeuge dich aber unbedingt davon, dass das gefundene
> > > [mm]c+d\sqrt{3}\in\IQ[\sqrt{3}][/mm] ist, dass also c,d rational
> > > sind!
> > >
lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
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> > > Überzeuge dich besser davon, dass [mm]a^2-3b^2\neq 0[/mm] ist ...
> >
> > Kann ich mich mit dem Argument davon überzeugen,dass
> > [mm]a^2-3b^2\neq[/mm] 0 sein muss,weil wir uns bei den rationalen
> > Zahlen befinden und da steht es in der Definition,dass q
> [mm]\not=[/mm] 0,
> > falls [mm]\bruch{p}{q} \in \IQ[/mm] ?.In unserem Fall ist
> [mm]q=a^2-3b^2.[/mm]
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Stelle z.B. mal nach [mm]a \ = \ ...[/mm] um. Gibt es [mm]a,b \ \in \ \IQ[/mm]
> , welche diese Gleichung lösen?
wenn ich nach a umstelle,hab ich [mm] a=\wurzel{q+3b^{2}}
[/mm]
Ich denke schon,dass es a,b [mm] \in \IQ [/mm] gibt,die diese Gleichung lösen,aber ich weiß nicht wie ich das begründen soll, oder wenn es keine gibt,sehe ich grad auch nicht,wieso es keine geben sollte.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Es ging um die Frage, dass [mm] $a^2-3*b^2 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ .
Oder andersrum: kann gelten: [mm] $a^2-3*b^2 [/mm] \ = \ 0$ ?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Halo Mandy!
>
>
> Es ging um die Frage, dass [mm]a^2-3*b^2 \ \not= \ 0[/mm] .
>
> Oder andersrum: kann gelten: [mm]a^2-3*b^2 \ = \ 0[/mm] ?
Nach a aufgelöst ergibt das [mm] a=\wurzel{3}*b.
[/mm]
Offensichtilich kann das ja nicht sein,sonst würde obige Ungleichung nicht gelten.Die Frage ist,warum das nicht sein kann.Ich denke diese Gleichung kann nicht gelten,weil a und b beide rational sind,und wenn man eine rationale Zahl mit [mm] \wurzel{3} [/mm] multipliziert,kann keine rationale Zahl rauskommen.
So in Ordnung?
lg
>
>
> Gruß
> Loddar
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> Ich denke diese Gleichung kann nicht gelten,weil a und b
> beide rational sind,und wenn man eine rationale Zahl mit
> [mm] \wurzel{3} [/mm] multipliziert,kann keine rationale Zahl rauskommen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > 2.1 Assoziativgesetz
> >
> >
> [mm]((a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}))*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3})=(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})((a_{2}+b_{2}\wurzel{3})*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3}))[/mm]
> >
> > Ich hab jetzt die ganzen Zwischenschritte weggelassen
Irgendwie bin ich mir bei den Zwischenschritten hier unsicher,also:
[mm] ((a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}))*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3})
[/mm]
[mm] =a_{1}*a_{2}*a_{3}+a_{1}*a_{2}*b_{3}*\wurzel{3}+a_{1}*b_{2}*a_{3}*\wurzel{3}+a_{1}*b_{2}*b_{2}*\wurzel{3}*\wurzel{3}+b_{1}*a_{2}*a_{3}*\wurzel{3}+b_{1}*a_{2}*b_{3}*\wurzel{3}*\wurzel{3}+3*b_{1}*b_{2}*a_{3}+b_{1}*b_{2}*b_{3}*3*\wurzel{3}.
[/mm]
Kann ich jetzt aus diesem Zwischenschritt unmittelbar folgern,dass das
[mm] =(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*((a_{2}+b_{2}\wurzel{3})*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3})) [/mm] ist?
lg
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Hallo,
>
> > > 2.1 Assoziativgesetz
> > >
> > >
> >
> [mm]((a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}))*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3})=(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})((a_{2}+b_{2}\wurzel{3})*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3}))[/mm]
> > >
> > > Ich hab jetzt die ganzen Zwischenschritte weggelassen
>
> Irgendwie bin ich mir bei den Zwischenschritten hier
> unsicher,also:
>
> [mm]((a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}))*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3})[/mm]
>
> [mm]=a_{1}*a_{2}*a_{3}+a_{1}*a_{2}*b_{3}*\wurzel{3}+a_{1}*b_{2}*a_{3}*\wurzel{3}+a_{1}*b_{2}*b_{2}*\wurzel{3}*\wurzel{3}+b_{1}*a_{2}*a_{3}*\wurzel{3}+b_{1}*a_{2}*b_{3}*\wurzel{3}*\wurzel{3}+3*b_{1}*b_{2}*a_{3}+b_{1}*b_{2}*b_{3}*3*\wurzel{3}.[/mm]
Da sind Unstimmigkeiten drin.
Schreibe mal sauberer auf und sortiere nach Termen mit [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] un solchen, ohne $sqrt{3}$
> Kann ich jetzt aus diesem Zwischenschritt unmittelbar
> folgern,dass das
>
> [mm]=(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*((a_{2}+b_{2}\wurzel{3})*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3}))[/mm]
> ist?
Ich sehe das nicht, dein Korrektor wird das auch nicht sehen und dir Punkte abziehen.
Wie gesagt, schreibe es genauer und sortiert auf.
Dann lasse 3 Zeilen frei und schreibe ganz unten hin, was herauskommen soll.
Das rechne dann von unten nach oben bis zu der "sortierten" Zeile.
Dann sollte der geneigte Leser/Korrektor, ohne viel selber herumrechnen zu müssen, sehen, dass es "passt"
>
> lg
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 So 24.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> [mm]((a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}))*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3})[/mm]
> >
> >>
>
> Da sind Unstimmigkeiten drin.
>
> Schreibe mal sauberer auf und sortiere nach Termen mit
> [mm]\sqrt{3}[/mm] un solchen, ohne [mm]sqrt{3}[/mm]
Ich hab es nochmal gemacht und hab jetzt
[mm]((a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}))*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3})[/mm]
[mm]=a_{1}*a_{2}*a_{3}+a_{1}*a_{2}*b_{3}*\wurzel{3}+a_{1}*b_{2}*a_{3}*\wurzel{3}+a_{1}*b_{2}*b_{3}*\wurzel{3}*\wurzel{3}+b_{1}*a_{2}*a_{3}*\wurzel{3}+b_{1}*a_{2}*b_{3}*\wurzel{3}*\wurzel{3}+b_{1}*b_{2}*a_{3}*\wurzel{3}*\wurzel{3}+b_{1}*b_{2}*b_{3}*\wurzel{3}*\wurzel{3}*\wurzel{3}.[/mm]
Meinst du mit "nach [mm] \wurzel{3} [/mm] umsortieren,dass [mm] \wurzel{3} [/mm] ausklammern soll?
Das hab ich gemacht
[mm] =a_{1}*a_{2}*a_{3}+\wurzel{3}*(a_{1}*a_{2}*b_{3}+a_{1}*b_{2}*a_{3}+a_{1}*b_{2}*b_{3}*\wurzel{3}+a_{2}*b_{1}*b_{3}*\wurzel{3}+b_{1}*b_{2}*a_{3}*\wurzel{3}+b_{1}*b_{2}*b_{3}*\wurzel{3}*\wurzel{3}.
[/mm]
> Wie gesagt, schreibe es genauer und sortiert auf.
>
> Dann lasse 3 Zeilen frei und schreibe ganz unten hin, was
> herauskommen soll.
>
> Das rechne dann von unten nach oben bis zu der "sortierten"
> Zeile.
Ich hab 3 Zeilen frei gelassen und ganz unten hingeschrieben
[mm] =(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})((a_{2}+b_{2}\wurzel{3})\cdot{}(a_{3}+b_{3}\wurzel{3}))
[/mm]
[mm] =(a_{1}+b_{1}*\wurzel{3})*(a_{2}*a_{3}+a_{2}+b_{3}*\wurzel{3}+b_{2}*a_{3}*\wurzel{3}+b_{2}*b_{3}*\wurzel{3}*\wurzel{3})
[/mm]
[mm]=a_{1}*a_{2}*a_{3}+a_{1}*a_{2}*b_{3}*\wurzel{3}+a_{1}*b_{2}*a_{3}*\wurzel{3}+a_{1}*b_{2}*b_{3}*\wurzel{3}*\wurzel{3}+b_{1}*a_{2}*a_{3}*\wurzel{3}+b_{1}*a_{2}*b_{3}*\wurzel{3}*\wurzel{3}+b_{1}*b_{2}*a_{3}*\wurzel{3}*\wurzel{3}+b_{1}*b_{2}*b_{3}*\wurzel{3}*\wurzel{3}*\wurzel{3}.[/mm]
Das ist das selbe wie oben.Den Schritt mit dem "nach Wurzel 3 sortieren" verstehe ich nicht ganz,was bringt der mir?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 So 24.10.2010 | | Autor: | statler |
Hallo,
ich habe nicht die ganze Diskussion verfolgt, aber die Aufgabe sagt doch, daß du [mm] \IQ[\wurzel{3}] [/mm] als Unterring von [mm] \IR [/mm] betrachtest. Dann ist doch die Assoziativität klar, weil die Multiplikation in [mm] \IR [/mm] assoziativ ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> 2.4 Kommutativität
>
> [mm](a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*((a_{2}+b_{2}\wurzel{3})=a_{2}+b_{2}\wurzel{3}*(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})[/mm]
>
> Hier hab ich die Zwischenschritte auch weggelassen.
Irgendwie bin ich mir jetzt doch unsicher bei den Zwischenschritten,ob das so stimmt:
[mm] (a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*((a_{2}+b_{2}\wurzel{3})
[/mm]
[mm] =a_{1}*a_{2}+a_{1}*b_{2}*\wurzel{3}+a_{2}*b_{1}*\wurzel{3}+b_{1}*b_{2}*3
[/mm]
Kann ich durch diesen Zwischenschritt unmittelbar sagen dass das
[mm] =a_{2}+b_{2}\wurzel{3}*(a_{1}+b_{1}\wurzel{3}) [/mm] ist?
>
> 3) Distributivgesetz
>
> [mm](a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}+a_{3}+b_{3}\wurzel{3})=(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3})+(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3}).[/mm]
>
> Auch hier hab ich die Zwischenschritte nicht eingetippt.
>
Ich hab hier zwei Zwischenschritte gemacht,reichen die?
[mm] (a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}+a_{3}+b_{3}\wurzel{3})
[/mm]
[mm] =a_{1}*a_{2}+a_{1}*b_{2}\wurzel{3}+a_{1}*a_{3}+a_{1}*b_{3}\wurzel{3}+b_{1}*a_{2}\wurzel{3}+b_{1}*b_{2}*3+b_{1}*a_{3}\wurzel{3}+b_{1}*b_{3}*3
[/mm]
[mm] =a_{1}*a_{2}+a_{1}*b_{2}\wurzel{3}+b_{1}*a_{2}\wurzel{3}+b_{1}*b_{2}*3+a_{1}*a_{3}+a_{1}*b_{3}\wurzel{3}+b_{1}*a_{3}\wurzel{3}+b_{1}*b_{3}*3
[/mm]
[mm] =(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3})+(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3})
[/mm]
Ist das richtig so?
lg
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> > 2.4 Kommutativität
> >
> >
> [mm](a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*((a_{2}+b_{2}\wurzel{3})=a_{2}+b_{2}\wurzel{3}*(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})[/mm]
> >
> > Hier hab ich die Zwischenschritte auch weggelassen.
>
> Irgendwie bin ich mir jetzt doch unsicher bei den
> Zwischenschritten,ob das so stimmt:
> [mm](a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*((a_{2}+b_{2}\wurzel{3})[/mm]
>
> [mm]=a_{1}*a_{2}+a_{1}*b_{2}*\wurzel{3}+a_{2}*b_{1}*\wurzel{3}+b_{1}*b_{2}*3[/mm]
>
> Kann ich durch diesen Zwischenschritt unmittelbar sagen
> dass das
> [mm] $=\red{(}a_{2}+b_{2}\wurzel{3}\red{)}*(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})$ [/mm] ist?
Hallo,
ich hab' mir den Thread nicht komplett durchgelesen.
Die hier verwendeten verknüpfungen Addition und Multiplikation sind doch die ganz normalen aus dem [mm] \IR.(?)
[/mm]
Wenn bereits bekannt ist, daß [mm] (\IR, [/mm] +, [mm] \*) [/mm] ein Körper ist, wovon ich ausgehe, ist gar nichts zu tun, keinerlei Zwischenschritt, denn die Multiplikation in [mm] \IR [/mm] ist kommutativ.
Ansonsten: wenn Du mit Zwischenschritten irgendwas zeigen willst, dann muß es so deutlich sein, daß sich die Nachfrage, ob es gezeigt ist, erübrigt. Kleinschrittige Umformungen machen und jeweils das verwendete Gesetz angeben.
>
> >
> > 3) Distributivgesetz
> >
> >
> [mm](a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}+a_{3}+b_{3}\wurzel{3})=(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3})+(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3}).[/mm]
> >
> > Auch hier hab ich die Zwischenschritte nicht eingetippt.
Auch hier benötigst Du keine Zwischenschritte, denn die Distributivität vererbt sich von [mm] \IR.
[/mm]
Gruß v. Angela
> >
>
> Ich hab hier zwei Zwischenschritte gemacht,reichen die?
>
> [mm](a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3}+a_{3}+b_{3}\wurzel{3})[/mm]
>
> [mm]=a_{1}*a_{2}+a_{1}*b_{2}\wurzel{3}+a_{1}*a_{3}+a_{1}*b_{3}\wurzel{3}+b_{1}*a_{2}\wurzel{3}+b_{1}*b_{2}*3+b_{1}*a_{3}\wurzel{3}+b_{1}*b_{3}*3[/mm]
>
> [mm]=a_{1}*a_{2}+a_{1}*b_{2}\wurzel{3}+b_{1}*a_{2}\wurzel{3}+b_{1}*b_{2}*3+a_{1}*a_{3}+a_{1}*b_{3}\wurzel{3}+b_{1}*a_{3}\wurzel{3}+b_{1}*b_{3}*3[/mm]
>
> [mm]=(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{2}+b_{2}\wurzel{3})+(a_{1}+b_{1}\wurzel{3})*(a_{3}+b_{3}\wurzel{3})[/mm]
>
> Ist das richtig so?
>
> lg
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 So 24.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Es geht darum zu zeigen,dass [mm] \IQ[\wurzel{3}] [/mm] ein Körper ist.Sind die Zwischenschritte trotdem in Ordnung?
lg
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> Es geht darum zu zeigen,dass [mm]\IQ[\wurzel{3}][/mm] ein Körper
> ist.
Hallo,
das ist mir schon klar...
Wenn bereits gezeigt ist, daß [mm] (\IR,+,\*) [/mm] ein Körper ist, kannst Du dessen Eigenschaften verwenden, und zu seinen Eigenschaften gehören die kommutativität und die Gültigkeit des Distributivgesetzes.
>Sind die Zwischenschritte trotdem in Ordnung?
Falsch waren sie nicht, aber nicht aussagekräftig.
Ich hab# doch gesagt: wenn Du mit solchen Zwischenschritten arbeiten möchtest, dann mußt Du es ganz kleinteilig machen und für jede Umformung das verwendete Gesetz angeben - aber das sind auch alles Gesetze von [mm] (\IR,+,\*), [/mm] so daß Du Dir die Umformerei getrost sparen kannst.
[mm] \IQ[\wurzel{3}] [/mm] ist eine Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] die Verknüpfungen sind gleich, also "vererben" sich viele der Eigenschaften.
Gruß v. Angela
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> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Mir ist grad noch eine Frage in den Sinn gekommen.Kann man diese Aufgabe eigentlich auch mit einem Widerspruchsbeweis lösen?
lg
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Hallo Mandy,
ein Widerspruchsbeweis ist hier ein bisschen schwierig.
Dieser würde ja so ablaufen, dass du annimmst [mm] $\IQ[\sqrt{3}]$ [/mm] wäre kein Körper. Wenn du diese Annahme mit sich selbst zum Widerspruch führen könntest, dann hättest du gezeigt, dass dieses Objekt kein Nicht-Körper sein kann und demnach ein Körper ist.
Die Eigenschaft "Nicht-Körper-Sein" ist aber ziemlich schwammig. Du hast keine Chance, deine Annahme vernünftig zu formulieren. Daher scheidet ein Widerspruchsbeweis aus.
Die einzige Beweismöglichkeit ist hier: alle Eigenschaften, die einen Körper definieren, am konkreten Fall (d.h. hier [mm] $\IQ[\sqrt{3}]$) [/mm] ausdrücklich nachrechen.
Liebe Grüße
Hugo
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