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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Sei K [mm] \subset \mathbb{C} [/mm] ein Unterkörper von [mm] \mathbb{C}, [/mm] sei f(x) [mm] \in [/mm] K[x] mit f(x) = [mm] \prod_{i=1}^n(x- \alpha_i) \in \mathbb{C}[x], [/mm] und sei [mm] K(\alpha_1,...,\alpha_n) \subset \mathbb{C} [/mm] der Erweiterungskörper. Zeigen Sie:
[mm] [K(\alpha_1,...,\alpha_n):K] [/mm] teilt n! |
Hallo liebe Algebra-Freaks,
ich hab hier eine Lösungsskizze zu dieser Aufgabe, aber ich versteh sie noch nicht, wäre super, wenn ihr mir damit weiterhelfen könntet!
Zuerst haben wir definiert, dass [L:K] Grad der Körpererweiterung ist.
Ok, die Lösung geht über Vollständige Induktion nach n = deg(f).
IA:
n=0, d.h. deg(f) = 0, also ist f konstant und man adjungiert keine Nullstelle.
Was heißt das nun für den Grad der Körpererweiterung?
Ist es richtig zu sagen, dass es der Grad des Körpers ist, das ja nicht erweitert wird, also 1 teilt n! ok?
IS:
Hier muss man eine Fallunterscheidung machen, ob f(x) in K[x] reduzibel oder irreduzibel ist.
1.Fall f irreduzibel in K[x].
In [mm] \mathbb{C}[x] [/mm] gibt es aber eine Nullstelle [mm] \alpha_n [/mm] von f. Nun könnte man laut Lösungsskizze f in [mm] K[\alpha_n] [/mm] (Was bedeutet das?) betrachten
und f ist jetzt reduzibel. Ich verstehe aber nicht, wie sehen die Faktoren der Zerlegung dann aus und wie kann man dann die IV anwenden?
Man müsste dann weiter benutzen:
[mm] [K(\alpha_1,...,\alpha_n):K] [/mm] = [mm] [K(\alpha_1,...,\alpha_n):K(\alpha_n)] \cdot [K(\alpha_n):K], [/mm] wobei [mm] [K(\alpha_n):K] [/mm] = n.
2.Fall f reduzibel in K[x].
D.h. man kann f(x) schreiben als f(x) = p(x) [mm] \cdot [/mm] q(x), wobei p und q kleineren Grad haben. Sei grad p(x) = r und grad q(x) = s.
Nun kann man sich eine Aufsplittung von [mm] K(\alpha_1,...,\alpha_n) [/mm] in die r Nullstellen von p(x) und die s NS von q(x) überlegen. Ich versteh nur nicht wie, was bedeutet das K(...) genau, wie kann ich das vorstellen???
Auf jeden Fall hätten wir dann [mm] K(\alpha_1,...,\alpha_n) [/mm] ist Erweiterungskörper von [mm] K(\alpha_1,...,\alpha_r) [/mm] und das ist Erweiterungskörper von K. Bleibt nur wieder die Frage, wie kann man hier die IV anwenden??
Weiter zu benutzen wäre [mm] [K(\alpha_1,...,\alpha_n):K]= [K(\alpha_1,...,\alpha_n):K(\alpha_1,...,\alpha_r)]\cdot [K(\alpha_1,...,\alpha_n):K]
[/mm]
Wäre echt sehr dankbar über alle Hilfestellungen!
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Sa 15.11.2008 | | Autor: | PeterB |
Wesentlich ist hier (wie auch in vielen anderen Induktionsbeweisen) dass wir die Aussage für alle $K$ gleichzeitig zeigen. Wir müssen nämlich die Induktionsvoraussetzung nicht nur für unser gewähltes $K$ sondern auch für Erweiterungen davon anwenden. Im Einzelnen:
>
> Ok, die Lösung geht über Vollständige Induktion nach n =
> deg(f).
> IA:
> n=0, d.h. deg(f) = 0, also ist f konstant und man
> adjungiert keine Nullstelle.
> Was heißt das nun für den Grad der Körpererweiterung?
> Ist es richtig zu sagen, dass es der Grad des Körpers ist,
> das ja nicht erweitert wird, also 1 teilt n! ok?
>
Im Prinzip richtig, aber den "Grad eines Körpers" gibt es nicht, sondern nur den Grad einer Körpererweiterung. In diesem Fall also der trivialen Erweiterung $K/K$. Und der ist 1 (da er ja als Dimension des großen Körpers als Vektorraum über dem kleinen definiert ist.)
> IS:
> Hier muss man eine Fallunterscheidung machen, ob f(x) in
> K[x] reduzibel oder irreduzibel ist.
> 1.Fall f irreduzibel in K[x].
> In [mm]\mathbb{C}[x][/mm] gibt es aber eine Nullstelle [mm]\alpha_n[/mm] von
> f. Nun könnte man laut Lösungsskizze f in [mm]K[\alpha_n][/mm] (Was
> bedeutet das?) betrachten
> und f ist jetzt reduzibel. Ich verstehe aber nicht, wie
> sehen die Faktoren der Zerlegung dann aus und wie kann man
> dann die IV anwenden?
Ok: [mm] $K[\alpha_n]$ [/mm] ist der kleinste Körper, der $K$ und [mm] $\alpha_n$ [/mm] enthält. Man kann ihn auch definieren als den Körper der aus den $K[x]$ Polynomen in ausgewertet an [mm] $\alpha_n$ [/mm] besteht. Da [mm] $\alpha_n$ [/mm] die Nullstelle eines Polynoms über $K$ ist, ist [mm] $K(\alpha_n)=K[\alpha_n]$ [/mm]
Wenn [mm] $\alpha_n$ [/mm] die Nullstelle eines irreduziblen Polynoms von Grad $n$ ist weiß man (und hattet ihr ziemlich sicher an anderer Stelle), dass [mm] $[K[\alpha_n]:K]=n$. [/mm] Dann teilt [mm] $x-\alpha_n$ [/mm] aber $f$ in [mm] $K[\alpha_n][x]$ [/mm] und wir erhalten, dass es ein Polynom [mm] $g\in K[\alpha_n][x]$ [/mm] gibt mit [mm] $g(x-\alpha_n)=f$. [/mm] Da [mm] $\deg g<\deg [/mm] f=n$ können wir auf den Körper [mm] $K[\alpha_n]$ [/mm] und das Polynom $g$ unsere Induktionsvoraussetzung anwenden, und erhalten: [mm] $[K(\alpha_1,...,\alpha_{n}):K(\alpha_n)]=K[\alpha_n](\alpha_1,...,\alpha_{n-1}):K(\alpha_n)]$ [/mm] teilt $(n-1)!$.
> Man müsste dann weiter benutzen:
> [mm][K(\alpha_1,...,\alpha_n):K][/mm] =
> [mm][K(\alpha_1,...,\alpha_n):K(\alpha_n)] \cdot [K(\alpha_n):K],[/mm]
> wobei [mm][K(\alpha_n):K][/mm] = n.
>
Genau damit erhält man dann die Aussage.
> 2.Fall f reduzibel in K[x].
> D.h. man kann f(x) schreiben als f(x) = p(x) [mm]\cdot[/mm] q(x),
> wobei p und q kleineren Grad haben. Sei grad p(x) = r und
> grad q(x) = s.
> Nun kann man sich eine Aufsplittung von
> [mm]K(\alpha_1,...,\alpha_n)[/mm] in die r Nullstellen von p(x) und
> die s NS von q(x) überlegen. Ich versteh nur nicht wie, was
> bedeutet das K(...) genau, wie kann ich das vorstellen???
Wieder teilt man die Erweiterung in zwei Teile ein. Sagen wir mal $p(x)$ hat die Nullstellen [mm] $\alpha_1,...,\alpha_r$, [/mm] dann gilt ja:
[mm] $[K(\alpha_1,...,\alpha_n):K]=[K(\alpha_1,...,\alpha_n):K(\alpha_{r+1},...,\alpha_n)]\cdot[K(\alpha_{r+1},...,\alpha_n):K]$
[/mm]
Wenn wir jetzt zeigen können, [mm] $[K(\alpha_1,...,\alpha_n):K(\alpha_{r+1},...,\alpha_n)]$ [/mm] teilt $s!$ und [mm] $[K(\alpha_{r+1},...,\alpha_n):K]$ [/mm] teilt $r!$ sind wir fertig, da in diesem [mm] Fall:$[K(\alpha_1,...,\alpha_n):K]$ [/mm] teilt $r!s!$ und das wiederum teilt $n!$.
Aber die beiden fehlenden Aussagen sind gerade unsere Induktionsvoraussetzung angewendet auf $q(x)$ und $ [mm] K(\alpha_{r+1},...,\alpha_n)$ [/mm] bzw. $p(x)$ und $K$.
Also fertig.
Gruß
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Peter,
vielen Dank für deine Erklärungen, die haben mir auf jeden Fall schon mal viel weitergeholfen!!
Noch zwei Rückfragen:
Warum teilt r!s! gerade n! ?
> Aber die beiden fehlenden Aussagen sind gerade unsere
> Induktionsvoraussetzung angewendet auf [mm]q(x)[/mm] und
> [mm]K(\alpha_{r+1},...,\alpha_n)[/mm] bzw. [mm]p(x)[/mm] und [mm]K[/mm].
... und das seh ich noch nicht so ganz, warum sind diese fehlenden Aussagen gerade die Induktionsvoraussetzung?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Di 18.11.2008 | | Autor: | PeterB |
> Warum teilt r!s! gerade n! ?
Es gilt $r+s=n$ und damit: [mm] $n!=\vektor{n\\r} [/mm] r!s!$ und [mm] $\vektor{n\\r}$ [/mm] ist eine ganze Zahl!
>
> > Aber die beiden fehlenden Aussagen sind gerade unsere
> > Induktionsvoraussetzung angewendet auf [mm]q(x)[/mm] und
> > [mm]K(\alpha_{r+1},...,\alpha_n)[/mm] bzw. [mm]p(x)[/mm] und [mm]K[/mm].
>
[mm] $K(\alpha_{r+1},...,\alpha_n)$ [/mm] ist die Erweiterung von $K$, die man erhält, wenn man die Nullstellen von $q(x)$ dazu nimmt. Daher gilt nach Voraussetzung: [mm] $[K(\alpha_{r+1},...,\alpha_n):K]$ [/mm] teilt $(deg q)!=s!$.
Genauso: [mm] $K(\alpha_1,...,\alpha_n)$ [/mm] ist die Erweiterung von [mm] $K(\alpha_{r+1},...,\alpha_n)$, [/mm] die man erhält, wenn man alle Nullstellen von $p(x)$ dazunimmt, also teilt [mm] $[K(\alpha_1,...,\alpha_n):K(\alpha_{r+1},...,\alpha_n)]$ [/mm] die Zahl $(deg p)!=r!$.
Ich muss also die Induktionsvoraussetzung für $n=s$ und $n=r$ anwenden.
Gruß
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Di 18.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Peter,
achso ja, vielen besten Dank nochmal für die Erklärungen!
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:21 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
wie kann man den Grad von Erweiterungen von Körpern raten oder irgendwie schätzen? Es geht um folgene Beispiele:
1.) [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3} [/mm] + [mm] \sqrt{5} [/mm] ) [mm] \supset \mathbb{Q} [/mm]
Hier kann man vielleicht verwenden, dass [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) [/mm] = [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3}) [/mm] = [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3}) [/mm] und den Grad 4 hat, heißt das, dass [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3} [/mm] + [mm] \sqrt{5} [/mm] ) dann den Grad 6 hat?
2.) [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{3 + \sqrt{2}}) \supset \mathbb{Q} [/mm]
3.) [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{3 + \sqrt{2}} [/mm] + [mm] \sqrt{3 - \sqrt{2}}) \supset \mathbb{Q}.
[/mm]
Irgendwie hilft ja bestimmt auch die Aussage aus obiger Aufgabe dass [mm] [K(\alpha_1,...,\alpha_n):K] [/mm] teilt n! (deshalb hab ich das auch hier dazu gepostet).
Außerdem:
4.) [mm] \mathbb{Q}(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \supset \mathbb{Q} [/mm] bei [mm] \prod_{i=1}^3(x-\alpha_i) [/mm] = [mm] x^3 [/mm] - 2x + 2
5.) [mm] \mathbb{Q}(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4) \supset \mathbb{Q} [/mm] bei [mm] \prod_{i=1}^3 [/mm] (x - [mm] \alpha_i) [/mm] = [mm] x^4 [/mm] - x + 1.
Wie kann man da herangehen um zwar zu raten, aber dennoch sinnvoll zu raten...?? Vielleicht hilft ja auch das Minimalpolynom irgendwie weiter, aber ich weiß nicht wie...??
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Do 20.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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