Körper zeigen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Do 21.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass [mm] (\IR^2,+, [/mm] ·) mit
+: [mm] \IR^2 [/mm] x [mm] \IR^2 \to \IR^2
[/mm]
( [mm] \vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v} [/mm] ) [mm] \mapsto \vektor{s + u \\ t+v}
[/mm]
und
·: [mm] \IR^2 [/mm] x [mm] \IR^2 \to \IR^2
[/mm]
( [mm] \vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v} [/mm] ) [mm] \mapsto \vektor{su - tv \\ sv + tu}
[/mm]
ein Körper ist. Es sei 1 das Neutralelement der Multiplikation. Zeigen Sie, dass es ein Element i gibt mit [mm] i^2 [/mm] = −1. Man nennt den eben erhaltenen Körper den Körper der komplexen Zahlen und bezeichnet ihn mit [mm] \IC. [/mm] Man schreibt
[mm] \vektor{s \\ t} [/mm] = s + i*t.
b) Es sei F = {0,1, x, y} eine Menge mit genau vier Elementen. Wir nehmen an, es
gäbe Verknüpfungen +, ·:F ×F [mm] \to [/mm] F, so dass (F,+, ·) ein Körper ist.
Stellen Sie unter Verwendung der Körperaxiome zunächst die Verknüpfungstafel für die Multiplikation und dann diejenige für die Addition auf. |
zu a) Zeige ich hier nur Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz, sowie neutrales und inverses Element?
Wie kann ich in diesem Zusammenhang zeigen, dass es i gibt mit [mm] i^2 [/mm] = -1?
zu b)
Meine Verknüpfungstabellen sehen bis jetzt wie folgt aus:
+| 0 1 x y *| 0 1 x y
----------- -----------
0| 0 1 x y 0| 0 0 0 0
1| 1 0 y x 1| 0 1 x y
x| x y 0 1 x| 0 x 1 y
y| y x 1 0 y| 0 y x 1
Da sie sich beide in den Verknüpfungen unterscheiden, kann da aber leider irgendwas nicht stimmen... :(
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Hallo,
habe gerade nur kurz Zeit, daher nur schnell etwas zu a)
> a) Zeigen Sie, dass [mm](\IR^2,+,[/mm] ·) mit
>
> +: [mm]\IR^2[/mm] x [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm]
>
> ( [mm]\vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v}[/mm] ) [mm]\mapsto \vektor{s + u \\ t+v}[/mm]
>
> und
>
> ·: [mm]\IR^2[/mm] x [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm]
>
> ( [mm]\vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v}[/mm] ) [mm]\mapsto \vektor{su - tv \\ sv + tu}[/mm]
>
> ein Körper ist. Es sei 1 das Neutralelement der
> Multiplikation. Zeigen Sie, dass es ein Element i gibt mit
> [mm]i^2[/mm] = −1. Man nennt den eben erhaltenen Körper den
> Körper der komplexen Zahlen und bezeichnet ihn mit [mm]\IC.[/mm]
> Man schreibt
>
> [mm]\vektor{s \\ t}[/mm] = s + i*t.
>
>
> zu a) Zeige ich hier nur Assoziativ-, Kommutativ- und
> Distributivgesetz, sowie neutrales und inverses Element?
Alle Körperaxiome musst du zeigen:
Zeige:
1) [mm](\IR^2,+)[/mm] ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element e=... (was wohl?)
2) [mm](\IR^2\setminus \{e\},\cdot{})[/mm] ist abelsche Gruppe
3) Es gelten die Distributivgesetze
>
>
> Wie kann ich in diesem Zusammenhang zeigen, dass es i gibt
> mit [mm]i^2[/mm] = -1?
Welches Element aus [mm]\IR^2[/mm] drängt sich denn auf, wenn man die Definition der Multiplikation (und insbesondere der Hinweis mit der Identifikation [mm]\vektor{s\\t}=s+i\cdot{}t[/mm]) so anschaut?
Doch offenbar [mm]\vektor{0\\1}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Fr 22.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> Hallo,
>
> habe gerade nur kurz Zeit, daher nur schnell etwas zu a)
>
>
> > a) Zeigen Sie, dass [mm](\IR^2,+,[/mm] ·) mit
> >
> > +: [mm]\IR^2[/mm] x [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm]
> >
> > ( [mm]\vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v}[/mm] ) [mm]\mapsto \vektor{s + u \\ t+v}[/mm]
>
> >
> > und
> >
> > ·: [mm]\IR^2[/mm] x [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm]
> >
> > ( [mm]\vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v}[/mm] ) [mm]\mapsto \vektor{su - tv \\ sv + tu}[/mm]
>
> >
> > ein Körper ist. Es sei 1 das Neutralelement der
> > Multiplikation. Zeigen Sie, dass es ein Element i gibt
> mit
> > [mm]i^2[/mm] = −1. Man nennt den eben erhaltenen Körper den
> > Körper der komplexen Zahlen und bezeichnet ihn mit
> [mm]\IC.[/mm]
> > Man schreibt
> >
> > [mm]\vektor{s \\ t}[/mm] = s + i*t.
> >
> >
>
> > zu a) Zeige ich hier nur Assoziativ-, Kommutativ- und
> > Distributivgesetz, sowie neutrales und inverses
> Element?
>
> Alle Körperaxiome musst du zeigen:
>
> Zeige:
>
> 1) [mm](\IR^2,+)[/mm] ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element
> e=... (was wohl?)
>
> 2) [mm](\IR^2\setminus \{e\},\cdot{})[/mm] ist abelsche Gruppe
>
> 3) Es gelten die Distributivgesetze
Okay, danke.
> > Wie kann ich in diesem Zusammenhang zeigen, dass es i
> gibt
> > mit [mm]i^2[/mm] = -1?
>
> Welches Element aus [mm]\IR^2[/mm] drängt sich denn auf, wenn man
> die Definition der Multiplikation (und insbesondere der
> Hinweis mit der Identifikation [mm]\vektor{s\\t}=s+i\cdot{}t[/mm])
> so anschaut?
>
> Doch offenbar [mm]\vektor{0\\1}[/mm]
Aber wie zeige ich anhand von [mm] \vektor{0\\1}, [/mm] dass es ein i gibt, mit der Eigenschaft [mm] i^2 [/mm] = -1?
Würde ich den Vektor [mm] \vektor{0\\1} [/mm] nehmen und ihn anstelle von [mm] \vektor{s\\t} [/mm] nehmen, erhalte ich: 0 + i*1 = 0 + i.
Da habe ich dann nur i. Wie komme ich zum [mm] i^2=-1? [/mm] Bzw wie kann ich dahin kommen?
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
> > > ·: [mm]\IR^2[/mm] x [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm]
> > >
> > > ( [mm]\vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v}[/mm] ) [mm]\mapsto \vektor{su - tv \\ sv + tu}[/mm]
> Zeigen Sie, dass es ein Element i
> gibt
> > mit
> > > [mm]i^2[/mm] = −1. Man nennt den eben erhaltenen Körper
> den
> > > Körper der komplexen Zahlen und bezeichnet ihn mit
> > [mm]\IC.[/mm]
> > > Man schreibt
> > >
> > > [mm]\vektor{s \\ t}[/mm] = s + i*t.
> > > Wie kann ich in diesem Zusammenhang zeigen, dass es i
> > gibt
> > > mit [mm]i^2[/mm] = -1?
> >
> > Welches Element aus [mm]\IR^2[/mm] drängt sich denn auf, wenn man
> > die Definition der Multiplikation (und insbesondere der
> > Hinweis mit der Identifikation [mm]\vektor{s\\t}=s+i\cdot{}t[/mm])
> > so anschaut?
> >
> > Doch offenbar [mm]\vektor{0\\1}[/mm]
>
> Aber wie zeige ich anhand von [mm]\vektor{0\\1},[/mm] dass es ein i
> gibt, mit der Eigenschaft [mm]i^2[/mm] = -1?
>
> Würde ich den Vektor [mm]\vektor{0\\1}[/mm] nehmen und ihn anstelle
> von [mm]\vektor{s\\t}[/mm] nehmen, erhalte ich: 0 + i*1 = 0 + i.
Moment, es ist [mm]\vektor{0\\1}\cdot{}\vektor{0\\1}[/mm] doch gem. der Definition, die oben noch im Zitat steht: [mm]\vektor{0\cdot{}0-1\cdot{}1\\0\cdot{}1+1\cdot{}0}[/mm]; und das ist [mm]=\vektor{-1\\0}[/mm]
Und das bedeutet doch mit der Identifikation [mm](0+1\cdot{}i)\cdot{}(0+1\cdot{}i)=i\cdot{}i=\red{i^2}=-1+0\cdot{}i=\red{-1}[/mm]
>
> Da habe ich dann nur i. Wie komme ich zum [mm]i^2=-1?[/mm] Bzw wie
> kann ich dahin kommen?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Fr 22.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Ja stimmt, wir sind ja hier im zweidimensionalen Raum.
Ist ja leichter, als ich dachte. 
Dankeschön.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Sa 23.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Ich bin gerade dabei, die Körperaxiome zu beweisen.
+: [mm] \IR^2 [/mm] x [mm] \IR^2 \to \IR^2
[/mm]
( [mm] \vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v}) \mapsto \vektor{s+u \\ t+v}
[/mm]
Wenn ich das Inverse zeigen möchte, würde das so gehen? :
[mm] \vektor{s+u \\ t+v} [/mm] := [mm] \vec{a}
[/mm]
[mm] \vec{a} [/mm] + (- [mm] \vec{a}) [/mm] = [mm] \vektor{s+u \\ t+v} [/mm] + ( - [mm] \vektor{s+u \\ t+v}) [/mm] =
[mm] \vektor{s+u \\ t+v} [/mm] + [mm] \vektor{-s-u \\ -t-v} [/mm] = [mm] \vektor{s+u-s-u \\ t+v-t-v} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] = e
Zur multiplikativen Abbildung
*: [mm] \IR^2 [/mm] x [mm] \IR^2 \to \IR^2
[/mm]
( [mm] \vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v}) \mapsto \vektor{su-tv \\ sv+tu}
[/mm]
soll ich ein Inverses finden.
Jetzt ist meine Frage vllt ein bisschen dumm aber ich soll hier die Körperaxiome beweisen oder? Denn wären es die Vektorraumaxiome, wäre die Abbildung ja ( [mm] \vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v}) \mapsto \vektor{su \\ tv}.
[/mm]
Dementsprechend muss ich also für [mm] \vektor{su-tv \\ sv+tu} [/mm] ein Inverses finden, so dass
[mm] \vektor{su-tv \\ sv+tu}:= [/mm] vec{a}
vec{a} * [mm] \vec{a}^{-1} [/mm] = 1 ist.
Und wenn ich das ausrechne, müssen wohl auch die gleichen Rechenregeln gelten, wie die Abbildungsvorschrift vorgibt?
*: [mm] \IR^2 [/mm] x [mm] \IR^2 \to \IR^2
[/mm]
( [mm] \vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v}) \mapsto \vektor{su-tv \\ sv+tu}
[/mm]
Wenn ich für [mm] \vektor{su-tv \\ sv+tu} [/mm] ein [mm] \vec{a}^{-1} [/mm] gefunden habe, wie würden denn die Abbildungsvorschriften hierauf angewendet werden?
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> Ich bin gerade dabei, die Körperaxiome zu beweisen.
Hallo,
ja, und ich habe den Eindruck, daß Du gar nicht verstanden hast, worum es geht.
Die Zutaten der Stuktur, von welcher Du beweisen sollst, daß es ein Körper ist, sind
die Menge [mm] \IR^2
[/mm]
die unten definierte Verknüpfung +
die unten definierte Verknüpfung [mm] \*
[/mm]
Jetzt machen wir mal eine paar Beispiele:
im [mm] \IR^2 [/mm] sind z.B. [mm] \vektor{2\\3},\vektor{-3\\4},\vektor{-2\\-3}, \vektor{-\bruch{3}{25}\\-\bruch{4}{25}}.
[/mm]
Es ist
[mm] \vektor{2\\3}+\vektor{-3\\4}=\vektor{-1\\7}
[/mm]
[mm] \vektor{2\\3}+\vektor{-2\\-3}=\vektor{0\\0}
[/mm]
[mm] \vektor{2\\3}\*\vektor{-3\\4}=\vektor{-18\\-1}
[/mm]
[mm] \vektor{-3\\4}\*\vektor{-\bruch{3}{25}\\-\bruch{4}{25}}=\vektor{1\\0}
[/mm]
>
> +: [mm]\IR^2[/mm] x [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm]
>
> ( [mm]\vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v}) \mapsto \vektor{s+u \\ t+v}[/mm]
>
> Wenn ich das Inverse zeigen möchte, würde das so gehen?
> :
>
> [mm]\vektor{s+u \\ t+v}[/mm] := [mm]\vec{a}[/mm]
>
> [mm]\vec{a}[/mm] + (- [mm]\vec{a})[/mm] = [mm]\vektor{s+u \\ t+v}[/mm] + ( -
> [mm]\vektor{s+u \\ t+v})[/mm] =
> [mm]\vektor{s+u \\ t+v}[/mm] + [mm]\vektor{-s-u \\ -t-v}[/mm] =
> [mm]\vektor{s+u-s-u \\ t+v-t-v}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm] =
> e
>
>
> Zur multiplikativen Abbildung
>
> *: [mm]\IR^2[/mm] x [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm]
>
> ( [mm]\vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v}) \mapsto \vektor{su-tv \\ sv+tu}[/mm]
>
> soll ich ein Inverses finden.
>
> Jetzt ist meine Frage vllt ein bisschen dumm aber ich soll
> hier die Körperaxiome beweisen oder?
Ja.
Das sind:
1. [mm] \IR^2 [/mm] ist abelsche Gruppe bzgl. + (mit neutralem Element n)
2. [mm] \IR^2\setminus\{n\} [/mm] ist abelsche Gruppe bzgl. [mm] \*
[/mm]
3. Distributivgesetze.
> Denn wären es die
> Vektorraumaxiome, wäre die Abbildung ja ( [mm]\vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v}) \mapsto \vektor{su \\ tv}.[/mm]
Wenn da steht, daß Du "Körper" zeigen sollst, mußt Du "Körper" zeigen und nicht "Türklinke" oder "Vektorraum".
Aber die von Dir hier präsentierte Multiplikation im VR ist ja sowas von falsch, daß man Schmerzen in allen Körperteilen bekommt - und das ist nicht lustig.
Die Multiplikation im Vektorraum ist doch keine Multiplikation zweier Vektoren...
>
> Dementsprechend muss ich also für [mm]\vektor{su-tv \\ sv+tu}[/mm]
> ein Inverses finden,
Jetzt mach doch nicht alles kreuz und quer.
Erstmal mußt Du zeigen, daß [mm] (\IR^2,+) [/mm] eine abelsche Gruppe ist.
Dazu ist ja auch allerlei zu beweisen.
1a.
Assoziativität: für alle [mm] \vektor{r,s}, \vektor{t,u},\vektor{v,w}\in \IR^2 [/mm] gilt:
[mm] (\vektor{r,s}+ \vektor{t,u})+\vektor{v,w}= \vektor{r,s}+ (\vektor{t,u}+\vektor{v,w})
[/mm]
Das mußt Du vorrechnen.
1b.
Kommutativität: für alle [mm] \vektor{r,s}, \vektor{t,u},\in \IR^2 [/mm] gilt:
[mm] \vektor{r,s}+ \vektor{t,u}=\vektor{t,u}+\vektor{r,s}
[/mm]
Das mußt Du vorrechnen.
1c.
es gibt ein neutrales Element, namlich [mm] n:=\vektor{...\\...}, [/mm] denn
für alle [mm] \vektor{r,s}\in \IR^2 [/mm] gilt:
[mm] \vektor{r,s}+ \vektor{...,..}=\vektor{r,s}
[/mm]
Das mußt Du vorrechnen.
1d.
Zu jedem [mm] \vektor{r,s}\in\IR^2
[/mm]
gibt es ein inverses Element, welches wir [mm] -\vektor{r,s} [/mm] nennen, nämlich [mm] -\vektor{r,s}:=\vektor{...\\...}, [/mm] denn
für alle [mm] \vektor{r,s}\in \IR^2 [/mm] gilt:
[mm] \vektor{r,s}+ \vektor{...,..}=\vektor{...,..}=n
[/mm]
Das mußt Du vorrechnen.
Falls Du nun einen Schreck bekommst, daß so viel zu tun ist: das wurde bereits gezeigt, als Ihr den Vektorraum [mm] \IR^2 [/mm] bewiesen habt, denn [mm] (\IR^2,+) [/mm] ist ja auch eine Zutat des besagten Vektorraumes.
Jetzt aber kommt wirklich Neues.
Du mußt zeigen - vorrechnen - daß [mm] (\IR^2\setminus\{n\},\*) [/mm] eine abelsche Gruppe ist.
Dazu ist zu beweisen:
1a.
Assoziativität: für alle [mm] \vektor{r,s}, \vektor{t,u},\vektor{v,w}\in \IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\} [/mm] gilt:
[mm] (\vektor{r,s}\*\vektor{t,u})\*\vektor{v,w}= \vektor{r,s}\* (\vektor{t,u}\*\vektor{v,w})
[/mm]
Das mußt Du vorrechnen.
1b.
Kommutativität: für alle [mm] \vektor{r,s}, \vektor{t,u},\in \IR^2 \setminus\{\vektor{0\\0}\} [/mm] gilt:
[mm] \vektor{r,s}\* \vektor{t,u}=\vektor{t,u}\*\vektor{r,s}
[/mm]
Das mußt Du vorrechnen.
1c.
es gibt ein neutrales Element, namlich [mm] e:=\vektor{...\\...}, [/mm] denn
für alle [mm] \vektor{r,s}\in \IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\} [/mm] gilt:
[mm] \vektor{r,s}\* \vektor{...,..}=\vektor{r,s}
[/mm]
Das mußt Du vorrechnen.
Du hattest ja schon mit schachuzipus besprochen, daß [mm] e:=\vektor{1\\0} [/mm] das Geünschte tut.
1d.
Zu jedem [mm] \vektor{r,s}\in\IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\}
[/mm]
gibt es ein inverses Element, welches wir [mm] (\vektor{r,s})^{-1} [/mm] nennen, nämlich [mm] (\vektor{r,s})^{-1}:=\vektor{...\\...},
[/mm]
denn
für alle [mm] \vektor{r,s}\in \IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\} [/mm] gilt:
[mm] \vektor{r,s}\*\vektor{...,..}=\vektor{1\\0}=e.
[/mm]
Das mußt Du vorrechnen,
und bevor Du vorrechnest, mußt Du mal auf einem Schmierzettel ausknobeln, wie das inverse Element zu [mm] \vektor{r\\s} [/mm] lautet.
> Und wenn ich das ausrechne, müssen wohl auch die gleichen
> Rechenregeln gelten, wie die Abbildungsvorschrift vorgibt?
Klar! Du darfst keine nehmen, die Dir besser gefallen, sondern genau die:
>
> *: [mm]\IR^2[/mm] x [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm]
>
> ( [mm]\vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v}) \mapsto \vektor{su-tv \\ sv+tu}[/mm]
Und wenn Du das hast, kommen noch die Distributivgesetze.
Du kannst ja schonmal aufschreiben, was dafür zu zeigen ist.
>
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 So 24.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Hallo Angela.
Ich versuche Besserung bei meiner Schreibweise und Ausdrucksweise.
Also "+" ist kein Problem. Das habe ich alles schon fertig. Trotzdem danke für die ausführliche Erklärung.
Mir macht eher die multiplikative Abbildung Kopfzerbrechen.
[mm] \vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v} \mapsto \vektor{su-tv \\ sv+tu}
[/mm]
Seien [mm] \vektor{r,s}, \vektor{t,u},\vektor{v,w}\in \IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\}.
[/mm]
Dann:
[mm] \vektor{r,s} [/mm] * ( [mm] \vektor{t,u}* \vektor{v,w}) [/mm] = [mm] \vektor{r \\ s} [/mm] * ( [mm] \vektor{t \\ u} [/mm] * [mm] \vektor{v \\ w}) [/mm] = [mm] \vektor{r \\ s} [/mm] * [mm] \vektor{tv-uw \\ tw+uv} [/mm] = ??? = [mm] \vektor{rt-su \\ ru+st} [/mm] * [mm] \vektor{v \\ w} [/mm] = [mm] (\vektor{r \\ s} [/mm] * [mm] \vektor{t \\ u}) [/mm] * [mm] \vektor{v \\ w} [/mm] = [mm] (\vektor{r,s} [/mm] * [mm] \vektor{t,u}) [/mm] * [mm] \vektor{v,w}
[/mm]
Wie komme ich auf den "???"-Schritt?
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> Hallo Angela.
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> Ich versuche Besserung bei meiner Schreibweise und
> Ausdrucksweise.
>
> Also "+" ist kein Problem. Das habe ich alles schon
> fertig. Trotzdem danke für die ausführliche Erklärung.
>
>
> Mir macht eher die multiplikative Abbildung Kopfzerbrechen.
>
> [mm]\vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v} \mapsto \vektor{su-tv \\ sv+tu}[/mm]
>
> Seien [mm]\vektor{r,s}, \vektor{t,u},\vektor{v,w}\in \IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\}.[/mm]
>
> Dann:
>
> [mm]\vektor{r,s}[/mm] * ( [mm]%5Cvektor%7Bt%2Cu%7D*%20%5Cvektor%7Bv%2Cw%7D)[/mm] = [mm]\vektor{r \\ s}[/mm]
> * ( [mm]\vektor{t \\ u}[/mm] * [mm]\vektor{v \\ w})[/mm] = [mm]\vektor{r \\ s}[/mm] *
> [mm]\vektor{tv-uw \\ tw+uv}[/mm] = ??? = [mm]\vektor{rt-su \\ ru+st}[/mm] *
> [mm]\vektor{v \\ w}[/mm] = [mm](\vektor{r \\ s}[/mm] * [mm]\vektor{t \\ u})[/mm] *
> [mm]\vektor{v \\ w}[/mm] = [mm](\vektor{r,s}[/mm] * [mm]\vektor{t,u})[/mm] *
> [mm]\vektor{v,w}[/mm]
>
>
> Wie komme ich auf den "???"-Schritt?
Hallo,
indem Du die Multiplikationsvorschrift auf [mm]\vektor{r \\ s}[/mm] und [mm]\vektor{tv-uw \\ tw+uv}[/mm] bz. die beiden anderen anwendest.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 So 24.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Ich weiß aber nicht wie. Diesmal habe ich anstelle von Vektor * Vektor ja Vektor mal (Vektor + Vektor)...
Edit: Ich habe jetzt einfach mal rumprobiert...
[mm] \vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v} \mapsto \vektor{su-tv \\ sv+tu}
[/mm]
Seien [mm] \vektor{r,s}, \vektor{t,u},\vektor{v,w}\in \IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\}.
[/mm]
Dann:
[mm] \vektor{r,s} [/mm] * ( [mm] \vektor{t,u}* \vektor{v,w}) [/mm] = [mm] \vektor{r \\ s} [/mm] * ( [mm] \vektor{t \\ u} [/mm] * [mm] \vektor{v \\ w}) [/mm] = [mm] \vektor{r \\ s} [/mm] * [mm] \vektor{tv-uw \\ tw+uv} [/mm] = ??? = [mm] \vektor{rt-su \\ ru+st} [/mm] * [mm] \vektor{v \\ w} [/mm] = [mm] (\vektor{r \\ s} [/mm] * [mm] \vektor{t \\ u}) [/mm] * [mm] \vektor{v \\ w} [/mm] = [mm] (\vektor{r,s} [/mm] * [mm] \vektor{t,u}) [/mm] * [mm] \vektor{v,w}
[/mm]
Wie komme ich auf den "???"-Schritt?
... = [mm] \vektor{(rtv - ruw) - (stw + suv) \\ (rtw+ruv) + (stv - suw)} [/mm] = [mm] \vektor{(vrt - vsu) - (wru + wst) \\ (vru + vst) + (wrt - wsu)} [/mm] = ...
Also alle Elemente sind definitiv enthalten, doch wie bekomme ich die beiden Vektoren nun identisch?
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> Ich weiß aber nicht wie. Diesmal habe ich anstelle von
> Vektor * Vektor ja Vektor mal (Vektor + Vektor)...
>
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> Edit: Ich habe jetzt einfach mal rumprobiert...
>
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> [mm]\vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v} \mapsto \vektor{su-tv \\ sv+tu}[/mm]
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> Seien [mm]\vektor{r,s}, \vektor{t,u},\vektor{v,w}\in \IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\}.[/mm]
>
> Dann:
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> [mm]\vektor{r,s}[/mm] * ( [mm]%5Cvektor%7Bt%2Cu%7D*%20%5Cvektor%7Bv%2Cw%7D)[/mm] = [mm]\vektor{r \\ s}[/mm]
> * ( [mm]\vektor{t \\ u}[/mm] * [mm]\vektor{v \\ w})[/mm] = [mm]\vektor{r \\ s}[/mm] *
> [mm]\vektor{tv-uw \\ tw+uv}[/mm] = ??? = [mm]\vektor{rt-su \\ ru+st}[/mm] *
> [mm]\vektor{v \\ w}[/mm] = [mm](\vektor{r \\ s}[/mm] * [mm]\vektor{t \\ u})[/mm] *
> [mm]\vektor{v \\ w}[/mm] = [mm](\vektor{r,s}[/mm] * [mm]\vektor{t,u})[/mm] *
> [mm]\vektor{v,w}[/mm]
>
>
> Wie komme ich auf den "???"-Schritt?
>
> ... = [mm]\vektor{(rtv - ruw) - (stw + suv) \\ (rtw+ruv) + (stv - suw)}[/mm]
> [mm] \red{=}[/mm] [mm]\vektor{(vrt - vsu) - (wru + wst) \\ (vru + vst) + (wrt - wsu)}[/mm]
> = ...
>
>
>
> Also alle Elemente sind definitiv enthalten, doch wie
> bekomme ich die beiden Vektoren nun identisch?
Hallo,
Du hast nun richtig multipliziert.
Ich verstehe nun Dein Problem gar nicht. Das rote Gleichheitszeichen bekommt man doch sofort, indem man "oben und unten" im Vektor ganz normal, also unter der Beachtung der Tatsache, daß [mm] \IR [/mm] ein Körper ist, rechnet.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 So 24.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Ja.
Jetzt habe ich gerade falsch gedacht.
Jetzt ist es klar, wie es weitergeht. :)
Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 So 24.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> 1a.
> Assoziativität: für alle [mm]\vektor{r,s}, \vektor{t,u},\vektor{v,w}\in \IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\}[/mm]
> gilt:
>
> [mm](\vektor{r,s}\*\vektor{t,u})\*\vektor{v,w}= \vektor{r,s}\* (\vektor{t,u}\*\vektor{v,w})[/mm]
>
> Das mußt Du vorrechnen.
>
> 1b.
> Kommutativität: für alle [mm]\vektor{r,s}, \vektor{t,u},\in \IR^2 \setminus\{\vektor{0\\0}\}[/mm]
> gilt:
>
> [mm]\vektor{r,s}\* \vektor{t,u}=\vektor{t,u}\*\vektor{r,s}[/mm]
>
> Das mußt Du vorrechnen.
>
> 1c.
> es gibt ein neutrales Element, namlich
> [mm]e:=\vektor{...\\...},[/mm] denn
> für alle [mm]\vektor{r,s}\in \IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\}[/mm]
> gilt:
>
> [mm]\vektor{r,s}\* \vektor{...,..}=\vektor{r,s}[/mm]
>
> Das mußt Du vorrechnen.
> Du hattest ja schon mit schachuzipus besprochen, daß
> [mm]e:=\vektor{1\\0}[/mm] das Geünschte tut.
>
> 1d.
> Zu jedem [mm]\vektor{r,s}\in\IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\}[/mm]
>
> gibt es ein inverses Element, welches wir
> [mm](\vektor{r,s})^{-1}[/mm] nennen, nämlich
> [mm](\vektor{r,s})^{-1}:=\vektor{...\\...},[/mm]
> denn
> für alle [mm]\vektor{r,s}\in \IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\}[/mm]
> gilt:
>
> [mm]\vektor{r,s}\*\vektor{...,..}=\vektor{1\\0}=e.[/mm]
>
> Das mußt Du vorrechnen,
> und bevor Du vorrechnest, mußt Du mal auf einem
> Schmierzettel ausknobeln, wie das inverse Element zu
> [mm]\vektor{r\\s}[/mm] lautet.
Also ich habe für [mm] (\vektor{r,s})^{-1}:=\vektor{\bruch{1}{2r}\\\bruch{-1}{2s}}.
[/mm]
[mm] \vektor{r \\ s} [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0} \Rightarrow
[/mm]
I r*x - s*y = 1
II r*y + s*x = 0
Dann halt rumrechnen und als Ergebnis folgt: x = [mm] \bruch{1}{2r}, [/mm] y = - [mm] \bruch{1}{2s}
[/mm]
Einsetzen in I ergibt dann: .... = [mm] \bruch{r}{2r} [/mm] - ( - [mm] \bruch{s}{2s} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = 1
Einsetzen in II ergibt: ... = - [mm] \bruch{r}{2s} [/mm] + [mm] \bruch{s}{2r} [/mm] = 0
- [mm] \bruch{r}{2s} [/mm] + [mm] \bruch{s}{2r} [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] - [mm] \bruch{r}{2s} [/mm] = - [mm] \bruch{s}{2r} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] - [mm] \bruch{s}{2r} [/mm] + [mm] \bruch{s}{2r} [/mm] = 0
Das stimmt doch oder?
>
> > Und wenn ich das ausrechne, müssen wohl auch die gleichen
> > Rechenregeln gelten, wie die Abbildungsvorschrift
> vorgibt?
>
> Klar! Du darfst keine nehmen, die Dir besser gefallen,
> sondern genau die:
> >
> > *: [mm]\IR^2[/mm] x [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm]
> >
> > ( [mm]\vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v}) \mapsto \vektor{su-tv \\ sv+tu}[/mm]
>
>
> Und wenn Du das hast, kommen noch die Distributivgesetze.
> Du kannst ja schonmal aufschreiben, was dafür zu zeigen
> ist.
> >
>
> LG Angela
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> > 1a.
> > Assoziativität: für alle [mm]\vektor{r,s}, \vektor{t,u},\vektor{v,w}\in \IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\}[/mm]
> > gilt:
> >
> > [mm](\vektor{r,s}\*\vektor{t,u})\*\vektor{v,w}= \vektor{r,s}\* (\vektor{t,u}\*\vektor{v,w})[/mm]
>
> >
> > Das mußt Du vorrechnen.
> >
> > 1b.
> > Kommutativität: für alle [mm]\vektor{r,s}, \vektor{t,u},\in \IR^2 \setminus\{\vektor{0\\0}\}[/mm]
> > gilt:
> >
> > [mm]\vektor{r,s}\* \vektor{t,u}=\vektor{t,u}\*\vektor{r,s}[/mm]
> >
>
> > Das mußt Du vorrechnen.
> >
> > 1c.
> > es gibt ein neutrales Element, namlich
> > [mm]e:=\vektor{...\\...},[/mm] denn
> > für alle [mm]\vektor{r,s}\in \IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\}[/mm]
> > gilt:
> >
> > [mm]\vektor{r,s}\* \vektor{...,..}=\vektor{r,s}[/mm]
> >
> > Das mußt Du vorrechnen.
> > Du hattest ja schon mit schachuzipus besprochen, daß
> > [mm]e:=\vektor{1\\0}[/mm] das Geünschte tut.
> >
> > 1d.
> > Zu jedem [mm]\vektor{r,s}\in\IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\}[/mm]
>
> >
> > gibt es ein inverses Element, welches wir
> > [mm](\vektor{r,s})^{-1}[/mm] nennen, nämlich
> > [mm](\vektor{r,s})^{-1}:=\vektor{...\\...},[/mm]
> > denn
> > für alle [mm]\vektor{r,s}\in \IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\}[/mm]
> > gilt:
> >
> > [mm]\vektor{r,s}\*\vektor{...,..}=\vektor{1\\0}=e.[/mm]
> >
> > Das mußt Du vorrechnen,
> > und bevor Du vorrechnest, mußt Du mal auf einem
> > Schmierzettel ausknobeln, wie das inverse Element zu
> > [mm]\vektor{r\\s}[/mm] lautet.
>
>
> Also ich habe für
> [mm](\vektor{r,s})^{-1}:=\vektor{\bruch{1}{2r}\\\bruch{-1}{2s}}.[/mm]
Hallo,
Deine "Schmierzettelrechnug" schaue ich nicht an.
Ich prüfe das Ergebnis.
(Irgendwie hast Du meinen Fehler, der aus Spaltenvektoren Paare macht, was grauenhaft ist, übernommen. Ich hoffe, Dir ist klar, daß das alles Spalten sein müssen.)
Du sagst
[mm] \red{\vektor{1\\0}}=\vektor{r\\s}*\vektor{\bruch{1}{2r}\\-\bruch{1}{2s}}=\vektor{r*\bruch{1}{2r}-s*(-\bruch{1}{2s})\\r*(-\bruch{1}{2s})+s*\bruch{1}{2r}}\red{=\vektor{1\\-\bruch{r}{2s}+\bruch{s}{2r}}}
[/mm]
Die rotmarkierte Gleichheit stimmt ja nicht.
Da hast Du Dich auf Deinem Schmierzettel verrechnet.
LG Angela
>
> [mm]\vektor{r \\ s}[/mm] * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0} \Rightarrow[/mm]
>
> I r*x - s*y = 1
> II r*y + s*x = 0
>
> Dann halt rumrechnen und als Ergebnis folgt: x =
> [mm]\bruch{1}{2r},[/mm] y = - [mm]\bruch{1}{2s}[/mm]
>
> Einsetzen in I ergibt dann: .... = [mm]\bruch{r}{2r}[/mm] - ( -
> [mm]\bruch{s}{2s}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = 1
>
> Einsetzen in II ergibt: ... = - [mm]\bruch{r}{2s}[/mm] +
> [mm]\bruch{s}{2r}[/mm] = 0
>
> - [mm]\bruch{r}{2s}[/mm] + [mm]\bruch{s}{2r}[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] - [mm]\bruch{r}{2s}[/mm] =
> - [mm]\bruch{s}{2r}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] - [mm]\bruch{s}{2r}[/mm] + [mm]\bruch{s}{2r}[/mm] = 0
>
>
> Das stimmt doch oder?
>
>
> >
> > > Und wenn ich das ausrechne, müssen wohl auch die gleichen
> > > Rechenregeln gelten, wie die Abbildungsvorschrift
> > vorgibt?
> >
> > Klar! Du darfst keine nehmen, die Dir besser gefallen,
> > sondern genau die:
> > >
> > > *: [mm]\IR^2[/mm] x [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm]
> > >
> > > ( [mm]\vektor{s \\ t}, \vektor{u \\ v}) \mapsto \vektor{su-tv \\ sv+tu}[/mm]
>
> >
> >
> > Und wenn Du das hast, kommen noch die Distributivgesetze.
> > Du kannst ja schonmal aufschreiben, was dafür zu
> zeigen
> > ist.
> > >
> >
> > LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 So 24.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
[mm] {\vektor{1\\0}}=\vektor{r\\s}\cdot{}\vektor{\bruch{1}{2r}\\-\bruch{1}{2s}}=\vektor{r\cdot{}\bruch{1}{2r}-s\cdot{}(-\bruch{1}{2s})\\r\cdot{}(-\bruch{1}{2s})+s\cdot{}\bruch{1}{2r}}\red{=\vektor{1\\-\bruch{r}{2s}+\bruch{s}{2r}}}
[/mm]
Für den roten Vektor habe ich doch aber gezeigt, dass
[mm] -\bruch{r}{2s} [/mm] = [mm] -\bruch{s}{2r} \gdw [/mm] = [mm] -\bruch{s}{2r} [/mm] + [mm] \bruch{s}{2r} [/mm] = 0
Dementsprechend müsste doch eigentlich das Inverse gezeigt sein und die Aufgabe damit fertig sein.
Da zwischen den beiden Brüchen Gleichheit herrscht, sind sie zusammen 0.
Was habe ich falsch gemacht?????
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> [mm]{\vektor{1\\0}}=\vektor{r\\s}\cdot{}\vektor{\bruch{1}{2r}\\-\bruch{1}{2s}}=\vektor{r\cdot{}\bruch{1}{2r}-s\cdot{}(-\bruch{1}{2s})\\r\cdot{}(-\bruch{1}{2s})+s\cdot{}\bruch{1}{2r}}\red{=\vektor{1\\-\bruch{r}{2s}+\bruch{s}{2r}}}[/mm]
>
>
> Für den roten Vektor habe ich doch aber gezeigt, dass
>
> [mm]-\bruch{r}{2s}[/mm] = [mm]-%5Cbruch%7Bs%7D%7B2r%7D%20%5Cgdw[/mm] = [mm]-\bruch{s}{2r}[/mm] +
> [mm]\bruch{s}{2r}[/mm] = 0
Hallo,
falls (!!!) [mm] -\bruch{r}{2s}=-\bruch{2}{2r}, [/mm] dann stimmt es, daß die Differenz 0 ergibt.
Nur ist i.a. nicht [mm] -\bruch{r}{2s}=-\bruch{2}{2r}, [/mm] denn [mm] \vektor{r\\s} [/mm] ist ein völlig beliebiger Vektor aus [mm] \IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\}.
[/mm]
Aus 4711=5 kann ich auch folgern, daß 32=17 gilt.
Bloß ist halt nicht 4711=5, und deshalb nützt es mir nichts, daß ich daraus 32=17 folgern kann. 32=17 wird dadurch nicht wahr.
>
> Dementsprechend müsste doch eigentlich das Inverse gezeigt
> sein und die Aufgabe damit fertig sein.
Daß es zu jedem Element ein Inverses gibt, ist nicht gezeigt, und die Aufgabe ist nicht fertig.
LG Angela
>
> Da zwischen den beiden Brüchen Gleichheit herrscht, sind
> sie zusammen 0.
>
>
> Was habe ich falsch gemacht?????
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 So 24.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Könntest du mir vllt einen Tipp geben, wie ich auf die Inverse Abbildung kommen kann?
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> Könntest du mir vllt einen Tipp geben, wie ich auf die
> Inverse Abbildung kommen kann?
Hallo,
eine inverse Abbildung sucht hier kein Mensch.
Gesucht wird das inverse Element zu [mm] \vektor{r\\s},
[/mm]
und Du kannst es so finden, wie Du es versucht hast, nämlich durch Lösen des LGS
I r*x - s*y = 1
II r*y + s*x = 0 .
Mußt halt richtig rechnen.
Dein Ergebnis kannst Du durch Einsetzen dann ja selbst testen.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 So 24.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> > Könntest du mir vllt einen Tipp geben, wie ich auf die
> > Inverse Abbildung kommen kann?
>
> Hallo,
>
> eine inverse Abbildung sucht hier kein Mensch.
>
> Gesucht wird das inverse Element zu [mm]\vektor{r\\s},[/mm]
>
> und Du kannst es so finden, wie Du es versucht hast,
> nämlich durch Lösen des LGS
> I r*x - s*y = 1
> II r*y + s*x = 0 .
Das LGS habe ich mir auch aufgestellt
Daraus habe ich mir eine Matrix gemacht und wie folgt gerechnet:
[mm] \pmat{ r & -s|1 \\ r & s|0 } [/mm] II-I [mm] \pmat{ r &-s|1 \\ 0 & 2s|-1 } [/mm] I+ 1/2 II [mm] \pmat{ r & 0|0,5 \\ 0 & 2s|-1 } [/mm] I/r und II/2s ergibt dann
x = 1/2 / r und y = -1 / 2s
wobei x = 1/2 / r/1 = 1 / 2r
So kam ich ja auf mein x und mein y....
> Mußt halt richtig rechnen.
>
> Dein Ergebnis kannst Du durch Einsetzen dann ja selbst
> testen.
>
> LG Angela
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> > > Könntest du mir vllt einen Tipp geben, wie ich auf die
> > > Inverse Abbildung kommen kann?
> >
> > Hallo,
> >
> > eine inverse Abbildung sucht hier kein Mensch.
> >
> > Gesucht wird das inverse Element zu [mm]\vektor{r\\s},[/mm]
> >
> > und Du kannst es so finden, wie Du es versucht hast,
> > nämlich durch Lösen des LGS
> > I r*x - s*y = 1
> > II r*y + s*x = 0 .
>
> Das LGS habe ich mir auch aufgestellt
>
> Daraus habe ich mir eine Matrix gemacht und wie folgt
> gerechnet:
>
> [mm]\pmat{ r & -s|1 \\ r & s|0 }[/mm]
Hallo,
das ist die erweiterte Koeffizientenmatrix zu
rx-sy=1
rx+sy=0.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 24.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Und welche benötige ich?
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> Und welche benötige ich?
Meine Güte...
Wie ich bereits sagte, zu lösen ist
I r*x - s*y = 1
II r*y + s*x = 0 .
Vielleicht guckst Du mal nach, welches die Koeffizienten vom x sind und welche vom y...
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 So 24.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Sorry...
Jetzt seh ich es auch...
I r*x - s*y = 1
II r*y + s*x = 0
Kann ich hier einfach r und s rausdividieren und x und y in II vertauschen?
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> Sorry...
>
> Jetzt seh ich es auch...
>
> I r*x - s*y = 1
> II r*y + s*x = 0
>
>
> Kann ich hier einfach r und s rausdividieren und x und y in
> II vertauschen?
Weiß der Geier, was Du damit meinst...
Auf jeden Fall ist das LGS doch nun zweifelsohne gleichbedeutend mit
I r*x - s*y = 1
II s*x + r*y = 0,
und das zu lösen ist kein Hexenwerk, bei dem man jedes Schrittchen nachfragen muß.
Lös es, und kontrolliere dann, ob Du wirklich das Inverse ausgerechnet hast oder Schrott.
Im ersten Fall: freuen,
Im zweiten Fall: einfach nochmal rechnen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 So 24.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> > Sorry...
> >
> > Jetzt seh ich es auch...
> >
> > I r*x - s*y = 1
> > II r*y + s*x = 0
> >
> >
> > Kann ich hier einfach r und s rausdividieren und x und y
> in
> > II vertauschen?
>
> Weiß der Geier, was Du damit meinst...
>
> Auf jeden Fall ist das LGS doch nun zweifelsohne
> gleichbedeutend mit
>
> I r*x - s*y = 1
> II s*x + r*y = 0,
>
> und das zu lösen ist kein Hexenwerk, bei dem man jedes
> Schrittchen nachfragen muß.
Für mich ist es gerade ein Hexenwerk. Ich komme einfach auf keine Lösung, die passt.... Egal wie rum ich es drehe...
>
> Lös es, und kontrolliere dann, ob Du wirklich das Inverse
> ausgerechnet hast oder Schrott.
>
> Im ersten Fall: freuen,
> Im zweiten Fall: einfach nochmal rechnen.
>
> LG Angela
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> > I r*x - s*y = 1
> > II s*x + r*y = 0,
> >
> > und das zu lösen ist kein Hexenwerk, bei dem man jedes
> > Schrittchen nachfragen muß.
>
> Für mich ist es gerade ein Hexenwerk. Ich komme einfach
> auf keine Lösung, die passt.... Egal wie rum ich es
> drehe...
Dann rechne vor.
Inkl. Probe.
Hast Du Schwierigkeiten mit dem Bruchrechnen, oder woran hängt es?
LG Angela
>
>
> >
> > Lös es, und kontrolliere dann, ob Du wirklich das Inverse
> > ausgerechnet hast oder Schrott.
> >
> > Im ersten Fall: freuen,
> > Im zweiten Fall: einfach nochmal rechnen.
> >
> > LG Angela
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 So 24.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
r*x - s*y = 1
s*x + r*y = 0
[mm] \pmat{ r & -s|1 \\ s & r|0 } [/mm] in Zeile I *s und /r
[mm] =\pmat{ s & -\bruch{s^2}{r}|\bruch{s}{r} \\ s & r|0 } [/mm] Zeile II - Zeile I
[mm] =\pmat{ s & \bruch{-s^2}{r}|\bruch{s}{r} \\ 0 & r + \bruch{s^2}{r} |-\bruch{s}{r} } [/mm] Zeile II -r
[mm] =\pmat{ s & \bruch{-s^2}{r}|\bruch{s}{r} \\ 0 & \bruch{s^2}{r} |-\bruch{s}{r} - r } [/mm] Zeile I + Zeile 2
[mm] =\pmat{ s & 0|\bruch{s}{r} -\bruch{s}{r} - r \\ 0 & \bruch{s^2}{r} |-\bruch{s}{r} - r } [/mm] Zeile I / s und Zeile 2 / [mm] \bruch{s^2}{r}
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1 & 0| -\bruch{r}{s} \\ 0 & 1 |-\bruch{-\bruch{s}{r} - r}{\bruch{s^2}{r}}}
[/mm]
x = [mm] -\bruch{r}{s}
[/mm]
y = [mm] -\bruch{-\bruch{s}{r} - r}{\bruch{s^2}{r}} [/mm] = [mm] -(-\bruch{s}{r} [/mm] * [mm] \bruch{r}{s^2} [/mm] - [mm] \bruch{r}{1} [/mm] * [mm] \bruch{r}{s^2}) [/mm] = - ( [mm] -\bruch{1}{s} [/mm] - [mm] \bruch{r^2}{s^2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{s} [/mm] + [mm] \bruch{r^2}{s^2}
[/mm]
Probe:
r * [mm] (-\bruch{r}{s}) [/mm] - s * [mm] (\bruch{1}{s} [/mm] + [mm] \bruch{r^2}{s^2}) [/mm] = [mm] (-\bruch{r^2}{s}) [/mm] - [mm] \bruch{s}{s} [/mm] - [mm] \bruch{s*r^2}{s^2} [/mm] = [mm] -\bruch{s*r^2}{s^2} [/mm] - 1 - [mm] \bruch{s*r^2}{s^2} [/mm] ..... [mm] \not= [/mm] 1
Die zweite Gleichung spar ich mir, da kommt auch nicht die gewünschte 0 raus...
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> r*x - s*y = 1
> s*x + r*y = 0
>
> [mm]\pmat{ r & -s|1 \\ s & r|0 }[/mm] in Zeile I *s und /r
>
> [mm]=\pmat{ s & -\bruch{s^2}{r}|\bruch{s}{r} \\ s & r|0 }[/mm] Zeile
> II - Zeile I
>
> [mm]=\pmat{ s & \bruch{-s^2}{r}|\bruch{s}{r} \\ 0 & r + \bruch{s^2}{r} |-\bruch{s}{r} }[/mm]
> [mm] \red{Zeile II -r}
[/mm]
Oh Gott!
Das ist keine erlaubte Zeilenumformung.
Du erzählst damit gerade, daß
[mm] (r+\bruch{s^2}{r})*y=-\bruch{s}{r}
[/mm]
äquivalent ist zu
[mm] (r+\bruch{s^2}{r}-r)*y=-\bruch{s}{r}-r
[/mm]
Ich denke, Du siehst ein, daß das Humbug ist.
LG Angela
>
> [mm]=\pmat{ s & \bruch{-s^2}{r}|\bruch{s}{r} \\ 0 & \bruch{s^2}{r} |-\bruch{s}{r} - r }[/mm]
> Zeile I + Zeile 2
>
> [mm]=\pmat{ s & 0|\bruch{s}{r} -\bruch{s}{r} - r \\ 0 & \bruch{s^2}{r} |-\bruch{s}{r} - r }[/mm]
> Zeile I / s und Zeile 2 / [mm]\bruch{s^2}{r}[/mm]
>
> [mm]%3D%5Cpmat%7B%201%20%26%200%7C%20-%5Cbruch%7Br%7D%7Bs%7D%20%5C%5C%200%20%26%201%20%7C-%5Cbruch%7B-%5Cbruch%7Bs%7D%7Br%7D%20-%20r%7D%7B%5Cbruch%7Bs%5E2%7D%7Br%7D%7D%7D[/mm]
>
>
> x = [mm]-\bruch{r}{s}[/mm]
>
> y = [mm]-\bruch{-\bruch{s}{r} - r}{\bruch{s^2}{r}}[/mm] =
> [mm]-(-\bruch{s}{r}[/mm] * [mm]\bruch{r}{s^2}[/mm] - [mm]\bruch{r}{1}[/mm] *
> [mm]\bruch{r}{s^2})[/mm] = - ( [mm]-\bruch{1}{s}[/mm] - [mm]\bruch{r^2}{s^2})[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{s}[/mm] + [mm]\bruch{r^2}{s^2}[/mm]
>
>
>
> Probe:
>
> r * [mm](-\bruch{r}{s})[/mm] - s * [mm](\bruch{1}{s}[/mm] +
> [mm]\bruch{r^2}{s^2})[/mm] = [mm](-\bruch{r^2}{s})[/mm] - [mm]\bruch{s}{s}[/mm] -
> [mm]\bruch{s*r^2}{s^2}[/mm] = [mm]-\bruch{s*r^2}{s^2}[/mm] - 1 -
> [mm]\bruch{s*r^2}{s^2}[/mm] ..... [mm]\not=[/mm] 1
>
> Die zweite Gleichung spar ich mir, da kommt auch nicht die
> gewünschte 0 raus...
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 So 24.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Vllt liegt es auch daran, dass ich seit um 8 heut morgen an meinen Aufgaben sitze. Ich sehe die Lösung einfach nicht!
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> Vllt liegt es auch daran, dass ich seit um 8 heut morgen an
> meinen Aufgaben sitze. Ich sehe die Lösung einfach nicht!
Dann mach halt Pause und mach morgen weiter.
Die Lösung "sehen" tut man normalerweise nicht, man muß sie schon berechnen.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:01 So 24.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Morgen muss ich es abgeben... Da hab ich nur noch heute, um die Aufgabe zu bearbeiten und das Inverse ist das letzte, was mir fehlt..
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> Morgen muss ich es abgeben... Da hab ich nur noch heute, um
> die Aufgabe zu bearbeiten und das Inverse ist das letzte,
> was mir fehlt..
Das ist dann nicht so schlimm, und außerdem kannst Du es nach einem Päuschen noch berechnen.
Es ist Dir ziemlich viel geholfen worden, und ich denke, die Eigenleistung "Lösen eines LGS", welches eine eindeutige Lösung hat, kann man erwarten.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:00 So 24.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Das sollte eigentlich eine Frage sein...
Bitte sag mir, wo ich was machen muss. Ich sehe es echt nicht.
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> Das sollte eigentlich eine Frage sein...
>
> Bitte sag mir, wo ich was machen muss. Ich sehe es echt
> nicht.
Du sollst den Gaußalgorithmus machen.
Du kannst das doch.
Hör jetzt auf, im Minutentakt zu posten.
Mach 'ne Pause, und danach rechne nochmal.
Wir sind doch nicht im Kindergarten.
LG Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:08 So 24.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Kannst du mir einen Tipp geben, was ich anstelle von [mm] \red{Zeile II -r} [/mm]
zu tun habe?
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> r*x - s*y = 1
> s*x + r*y = 0
>
Hallo,
> [mm]\pmat{ r & -s|1 \\ s & r|0 }[/mm] in Zeile I *s und /r
>
> [mm]=\pmat{ s & -\bruch{s^2}{r}|\bruch{s}{r} \\ s & r|0 }[/mm] Zeile
> II - Zeile I
>
> [mm]=\pmat{ s & \bruch{-s^2}{r}|\bruch{s}{r} \\ 0 & r + \bruch{s^2}{r} |-\bruch{s}{r} }[/mm]
= [mm]=\pmat{ s & \bruch{-s^2}{r}|\bruch{s}{r} \\ 0 & \bruch{r^2+s^2}{r} |-\bruch{s}{r} }[/mm],
jetzt dividiere die 2.Zeile durch [mm] \bruch{r^2+s^2}{r},
[/mm]
und dann mach weiter.
LG Angela
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Hallo nochmal,
> b) Es sei F = {0,1, x, y} eine Menge mit genau vier
> Elementen. Wir nehmen an, es
> gäbe Verknüpfungen +, ·:F ×F [mm]\to[/mm] F, so dass (F,+, ·)
> ein Körper ist.
> Stellen Sie unter Verwendung der Körperaxiome zunächst
> die Verknüpfungstafel für die Multiplikation und dann
> diejenige für die Addition auf.
>
> zu b)
>
> Meine Verknüpfungstabellen sehen bis jetzt wie folgt aus:
>
> +| 0 1 x y *| 0 1 x y
> ----------- -----------
> 0| 0 1 x y 0| 0 0 0 0
> 1| 1 0 y x 1| 0 1 x y
> x| x y 0 1 x| 0 x 1 y
> y| y x 1 0 y| 0 y x 1
Kann das denn da in rot stimmen?
>
> Da sie sich beide in den Verknüpfungen unterscheiden, kann
> da aber leider irgendwas nicht stimmen... :(
Was meinst du damit?
Die Tafeln für + und * sind nunmal verschieden ...
Die roten Einträge passen nicht - warum?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Fr 22.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> Hallo nochmal,
>
> > b) Es sei F = {0,1, x, y} eine Menge mit genau vier
> > Elementen. Wir nehmen an, es
> > gäbe Verknüpfungen +, ·:F ×F [mm]\to[/mm] F, so dass (F,+,
> ·)
> > ein Körper ist.
> > Stellen Sie unter Verwendung der Körperaxiome
> zunächst
> > die Verknüpfungstafel für die Multiplikation und dann
> > diejenige für die Addition auf.
>
>
> >
> > zu b)
> >
> > Meine Verknüpfungstabellen sehen bis jetzt wie folgt
> aus:
> >
> > +| 0 1 x y *| 0 1 x y
> > ----------- -----------
> > 0| 0 1 x y 0| 0 0 0 0
> > 1| 1 0 y x 1| 0 1 x y
> > x| x y 0 1 x| 0 x 1 y
> > y| y x 1 0 y| 0 y x 1
>
> Kann das denn da in rot stimmen?
>
> >
> > Da sie sich beide in den Verknüpfungen unterscheiden,
> kann
> > da aber leider irgendwas nicht stimmen... :(
>
> Was meinst du damit?
>
> Die Tafeln für + und * sind nunmal verschieden ...
>
> Die roten Einträge passen nicht - warum?
Weil x*y = y [mm] \not= [/mm] y*x = x. Aber es muss ja gleich sein, sonst gehen die Verknüpfungen nicht auf.
Demzufolge muss die Verknüpfungstabelle dann so aussehen:
*| 0 1 x y
-----------
0| 0 0 0 0
1| 0 1 x y
x| 0 x y 1
y| 0 y 1 x
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
> Demzufolge muss die Verknüpfungstabelle dann so aussehen:
>
> *| 0 1 x y
> -----------
> 0| 0 0 0 0
> 1| 0 1 x y
> x| 0 x y 1
> y| 0 y 1 x
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
schachuzipus
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