Körperaxiome < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Do 25.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Es sollen 3 Aussagen mit den Körperaxiomen bewiesen werden:
a/b = c/d genau dann, wenn ad = bc
Bew.
a*b^-1 = c*d^-1 |*b
a*b^-1 * b = c* d^-1 *b |*d
a*b^-1 * d*b = c*d^-1 *d*b
ad =bc
ist das ok so?
zur zweiten aufgabe:
ad/bd = a/d
durch umschreiben bekommt man dann a*b^-1 *dd^-1 = a*b^-1
dann wär man hier ja schon fertig
die dritte aufgabe ist etwas länger und zwar:
a/b + c/d = (ad+bc)/bd
jetzt beide gleichungen mit b und d multiplizieren und durch ein weinig umordnen kommt man dann auf
ad + cb = ad +bc
kann man das so einfach machen also das am ende des beweises ad + bc = ad + bc steht?
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> Es sollen 3 Aussagen mit den Körperaxiomen bewiesen
> werden:
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> a/b = c/d genau dann, wenn ad = bc
>
> Bew.
>
> a*b^-1 = c*d^-1 |*b
> a*b^-1 * b = c* d^-1 *b |*d
> a*b^-1 * d*b = c*d^-1 *d*b
> ad =bc
>
> ist das ok so?
Hallo,
nein, es ist leider so nicht in Ordnung, es ist zum einen manchmal viel zu schnell, und zum anderen ungenau, außerdem fehlen die Äquivalenzpfeile, was das Ganze sinnlos macht.
Ich meine es nicht so hart, wie es klingt...
Deine Grundgedanken sind völlig richtig, aber Du gewinnst, so, wie es jetzt dasteht, keinen Blumentopf damit.
Ich zeige Dir jetzt, wie man es machen könnte:
Es sei
a/b = c/d
<==> a*b^-1 = c*d^-1 (nach Def. v. Brüchen (oder..., jenachdem, was Ihr so aufgeschrieben habt))
<==> (a*b^-1)*b = (c*d^-1)*b
<==> a*(b^-1*b) = c*(d^-1*b) (Assiziativgesetz)
<==> a*1=a= [mm] c*(b*d^{-1}) [/mm] (vorne: Def. inverses/neutrales Element, hinten: Kommutativgesetz)
<==> a*d= [mm] (c*(b*d^{-1})) [/mm] *d
<==> [mm] a*d=((c*b)*d^{-1})*d=(c*d)*(d*d^{-1}) [/mm] (zweimal Assiziativgesetz)
<==> a*d=(c*d)*1=c*d (inverses/neutrales Element)
Studiere es - nicht bloß abschreiben...
Achte hierbei insbes. auf die von mir gesetzten Klammern und darauf, daß ich nie stillschweigend vertausche.
Wenn Du solche Gleichungen auf beiden Seiten mit einem Element multiplizierst, kannst Du es auf beiden Seiten vorn oder auf beiden Seiten hinten dranmultiplizieren, keinesfalls kreuzweise oder gar in die Mitte.
Versuch die beiden anderen Aufgaben jetzt mal genauso gründlich zu machen. Lieber eine Zeile und Erklärung zuviel als zuwenig.
Dieser Aufgabentyp ist so schwierig, weil Sachverhalte zu beweisen sind, die man seit Jahr und Tag kennt, und weil man daher aufpassen muß, daß man sich nicht aufs Gewohnheitsrecht beruft statt auf die Axiome.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Do 25.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
ok danke schön! mache ich...für mich ist das einfach zu trivial :) und daher nehme ich sachen voraus oder überspringe sie...werde in zukuft lieber mehr schreiben als zu wenig....aber es sollte ad = bc herauskommen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Do 25.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Ok dann fang ich mal an....ich hab mir deine aufgabe nochmal richtig angeschaut und habe das auf die anderen übertragen...
(ad/bd) = a/b
[mm] \gdw [/mm] (ad)*(bd)^-1 = a*b^-1 nach def. von brüchen
[mm] \gdw [/mm] (ad)*(b^-1 * d^-1) = a *b^-1 Folgerung aus Vorlesung
[mm] \gdw [/mm] (a*b^-1)*(d*d^-1) = a*b^-1 Kommuntativgesetz der Mult.
[mm] \gdw [/mm] (a*b^-1) *1 = a*b^-1 multiplikatives Inverses
[mm] \gdw [/mm] ab^-1 = ab^-1
Zur letzten Aufgabe:
a/b + c/d = (ad+bc)/bd
[mm] \gdw [/mm] (a*b^-1)+(c*d^-1) = (ad+bc)*(bd)^-1
[mm] \gdw [/mm] (a*b^-1) + (c*d^-1) = (ad+bc)*(b^-1 * d^-1) |*b
[mm] \gdw [/mm] ((a*b^-1)+(c*d^-1))*b = ((ad+bc)*(b^-1*d^-1))*b
[mm] \gdw [/mm] (a*b^-1*b)+(c*d^-1*b) =((ad+bc)*b*(b^-1*d^-1))
[mm] \gdw [/mm] (a*(b^-1*b)+(c*d^-1*b) = (abd+b²c)*(b^-1*d^-1)
[mm] \gdw [/mm] (a*1 +(c*d^-1 *b)) = (abd+b²c)*(b^-1*d^-1) |*d
[mm] \gdw [/mm] (a+(c*d^-1*b))*d = ((abd + b²c)*(b^-1*d^-1))*d
[mm] \gdw [/mm] ((ad)+(c*d^-1*b*d)) = ((abd²+b²dc)*(b^-1*d^-1))
[mm] \gdw [/mm] ((ad)+(cd) *(d^-1*d) = (abd²)*(b^-1*d^-1)+(b²dc)*(b^-1*d^-1)
[mm] \gdw [/mm] ad+(bc *1) = (abdd)(b^-1*d^-1)+(bbcd)(b^-1*d^-1)
[mm] \gdw [/mm] ad+bc = (ad)(dd^-1)(bb^-1)+(bc)(bb^-1)(dd^-1)
[mm] \gdw [/mm] ad+bc = ad+bc
ich hoffe das ist jetzt ausführlich genug! Ich habe hier nicht mehr erwähnt welche gesetze ich angewendet habe...ist ja hier glaube ich nicht nötig...Ist es ok so?
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Do 25.10.2007 | | Autor: | Gilga |
Normalerweise werden solche Aufgaben wirklich schrittweise mit Nennung des Axioms umgeformt (sinnvoll ist dann natürlich diese Abzulürzen)
Folgerung aus Vorlesung: Kommt auf Aufgabenstellung an.
(bd)^-1 = (d^-1 * b^-1)
da (bd)^-1 * bd = 1
also d^-1 * b^-1 b d = d^-1 *1*d=d^-1 *d*1=1*1=1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Do 25.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hi danke für die antwort!
Ich meinte eigentlich dass ich die Axiome hier im Forum nicht nochmal erwähnt hatte aufm blatt hab ich die natürlich schon...sonst sind die aufgaben ok so?
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> (ad/bd) = a/b
>
> [mm]\gdw[/mm] (ad)*(bd)^-1 = a*b^-1 nach def. von brüchen
> [mm]\gdw[/mm] (ad)*(b^-1 * d^-1) = a *b^-1 Folgerung aus
> Vorlesung
Der Schritt der folgt, geht mir zu schnell. Du hast da viel mehr gemacht als zu vertauschen - es sei denn, Ihr habt Euch in der Vorlesung geeinigt, daß Ihr die Klammern ganz weglaßt, weil das sowieso assoziativ ist. (Ich kann's mir aber kaum vorstellen)
> [mm]\gdw[/mm] (a*b^-1)*(d*d^-1) = a*b^-1 Kommuntativgesetz der
> Mult.
> [mm]\gdw[/mm] (a*b^-1) *1 = a*b^-1 multiplikatives Inverses
> [mm]\gdw[/mm] ab^-1 = ab^-1
Generell kannst Du es so machen, daß Du eine zu beweisende Aussage durch äquivalente Umformungen umformst zu einer, die zweifelsohne wahr ist. Das ist schon in Ordnung.
Ich selbst finde es oft recht unhübsch, und außerdem hast Du viel unnötige Schreiberei.
Du kannst es auch so machen
Es ist
(ad/bd) =(ad)*(bd)^-1 (wegen...)
=(ad)*(b^-1 * d^-1) (wegen...)
=a*(d*(b^-1 * d^-1) ) (wegen...)
=...
= ab^-1
>
>
> Zur letzten Aufgabe:
>
> a/b + c/d = (ad+bc)/bd
> [mm]\gdw[/mm] (a*b^-1)+(c*d^-1) = (ad+bc)*(bd)^-1
> [mm]\gdw[/mm] (a*b^-1) + (c*d^-1) = (ad+bc)*(b^-1 * d^-1)
> |*b
> [mm]\gdw[/mm] ((a*b^-1)+(c*d^-1))*b = ((ad+bc)*(b^-1*d^-1))*b
> [mm]\gdw[/mm] (a*b^-1*b)+(c*d^-1*b) =((ad+bc)*b*(b^-1*d^-1))
> [mm]\gdw[/mm] (a*(b^-1*b)+(c*d^-1*b) = (abd+b²c)*(b^-1*d^-1)
> [mm]\gdw[/mm] (a*1 +(c*d^-1 *b)) = (abd+b²c)*(b^-1*d^-1)
> |*d
> [mm]\gdw[/mm] (a+(c*d^-1*b))*d = ((abd + b²c)*(b^-1*d^-1))*d
> [mm]\gdw[/mm] ((ad)+(c*d^-1*b*d)) = ((abd²+b²dc)*(b^-1*d^-1))
> [mm]\gdw[/mm] ((ad)+(cd) *(d^-1*d) =
> (abd²)*(b^-1*d^-1)+(b²dc)*(b^-1*d^-1)
> [mm]\gdw[/mm] ad+(bc *1) = (abdd)(b^-1*d^-1)+(bbcd)(b^-1*d^-1)
> [mm]\gdw[/mm] ad+bc = (ad)(dd^-1)(bb^-1)+(bc)(bb^-1)(dd^-1)
> [mm]\gdw[/mm] ad+bc = ad+bc
>
> ich hoffe das ist jetzt ausführlich genug! Ich habe hier
> nicht mehr erwähnt welche gesetze ich angewendet habe...ist
> ja hier glaube ich nicht nötig...Ist es ok so?
Da die verwendeten Gesetze nicht dabeistehen, ist es müßig (und mir zu mühsam!) , das durchzuschauen.
Ich würde es hier aber auch unbedingt so machen wie oben beschrieben, mit (ad+bc)/bd starten und umformen, bis man am Ziel ist.
Das dürfte hier behaglicher sein:
[mm] (ad+bc)/bd=(ad+bc)(bd)^{-1}
[/mm]
[mm] =(ad+bc)*(d^{-1}b^{-1}) [/mm] (wegen...)
[mm] =(ad)(d^{-1}b^{-1}) [/mm] +(bc) [mm] d^{-1}b^{-1}) [/mm] (assoziativ)
= ...
=a/b + c/d
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Do 25.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Ok danke jetzt verstehe ich! Das ist natürlich viel einfacher und vorallem VIEL weniger schreibarbeit!!!! Die letzte audgabe war schon eine qual von der menge her zumal sie ja auch nur einen punkt gibt ;)!!!
Gruß
David
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