Körperaxiome nachweisen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Stift |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe ein problem mit folgender aufgabe.
(R, +,*) sei ein integritätsbereich. durch
+ : Q(R)*Q(R) [mm] \to [/mm] Q(R)
((x1,y1)(x2,y2)) [mm] \to [/mm] (x1*y2+x2*y1, y1*y2)
*: Q(R)*Q(R) [mm] \to [/mm] Q(R)
((x1,y1)(x2,y2)) [mm] \to [/mm] (x1*x2, y1*y2)
sind verknüpfungen auf Q(R) definiert.
Zeige das (Q(R),+,*) ein Körper ist.
Ich weiß dass ich die körperaxiome nachweisen muss. also neutrales element, kommutativität, assoziat., und inverses.
Jedoch weiß ich nicht genau wie ich da vorgehen muss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Sa 21.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo Stift.
Wie du schon gesagt hast, musst du die Körperaxiome einzelnd durchgehen.
Ist das * bei der Definition der Addition vllt ein Tippfehler?
Also einfach mal mit der Assoziativität bzgl. + anfangen. Dazu musst du dir drei Elemente hernehmen.
Also [mm] (x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2}), (z_{1}, z_{2})
[/mm]
Das sind jetzt unsere drei Elemente. Zu zeigen ist ja nun:
[mm] [(x_{1}, x_{2}) [/mm] + [mm] (y_{1}, y_{2})] [/mm] + [mm] (z_{1}, z_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] + [mm] [(y_{1}, y_{2}) [/mm] + [mm] (z_{1}, z_{2})]
[/mm]
So, jetzt musst du also von der linken Seite starten, also:
[mm] [(x_{1}, x_{2}) [/mm] + [mm] (y_{1}, y_{2})] [/mm] + [mm] (z_{1}, z_{2})
[/mm]
= ...
Natürlich jetzt zuerst die eckige Klammer bearbeiten. Du weißt nach Def., wie man + rechnet. Mach das genau so für die eckige Klammer.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Stift |
Danke erstmal.
Ich versuchs jetzt mal einfach
= (x1,y1+x2,y2)+(z1,z2)=(x1,x2)+[(y1,y2+z1,z2)]
Ist es so richtig. kann ich dann beim neutralen element schreiben
x1+x2+0=x1+x2 sieht so ziemlich trivial aus
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Hallo Stift,
> Danke erstmal.
> Ich versuchs jetzt mal einfach
>
> = (x1,y1+x2,y2)+(z1,z2) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist doch schon falsch ausgerechnet!
Nach der obigen Definition ist [mm](x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1y_2+y_1x_2,x_2y_2)[/mm]
Also [mm]((x_1,x_2)+(y_1,y_2))+(z_2,z_2)=((x_1y_2+y_1x_2)z_2+z_1x_2y_2,x_2y_2z_2)[/mm]
Nun forme das weiter um, bis du [mm](x_1,x_2)+((y_1,y_2)+(z_1,z_2))[/mm] bekommst.
> =(x1,x2)+[(y1,y2+z1,z2)]
> Ist es so richtig. kann ich dann beim neutralen element
> schreiben
> x1+x2+0=x1+x2 sieht so ziemlich trivial aus
Das sieht eher ziemlich falsch aus!
Wenn es ein neutrales Element [mm](n_1,n_2)[/mm] gibt, so muss doch für alle [mm](x_1,x_2)\in Q(R)[/mm] gelten: [mm](x_1,x_2)+(n_1,n_2)=(x_1,x_2)[/mm]
Das musst du schon ausrechnen und damit [mm](n_1,n_2)[/mm] bestimmen (falls es denn überhaupt existiert!)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Stift |
ich hab versucht jetzt dies umzustellen
$ [mm] ((x_1,x_2)+(y_1,y_2))+(z_2,z_2)=((x_1y_2+y_1x_2)z_2+z_1x_2y_2,x_2y_2z_2) [/mm] $
aber es klappt nicht. das einzige was ich hier machen kann ist doch [mm] (x_1y_2+y_1x_2)z_2 [/mm] dies aufzulösen. jedoch steht da ja dann noch nicht der gewünschte ausdruck. ich weiß nicht weiter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Sa 21.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo Stift
> ich weiß nicht weiter
Keine Sorge, ich zeigs dir einfach mal. ;)
Also, du hast jetzt drei beliebige (wichtig! immer hinschreiben!) Elemente, etwa [mm] (x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2}), (z_{1}, z_{2})
[/mm]
Für die Ass. brauchst du natürlich drei Elemente, ist ja klar.
Also:
[mm] [(x_{1}, x_{2}) [/mm] + [mm] (y_{1}, y_{2})] [/mm] + [mm] (z_{1}, z_{2})
[/mm]
Davon gehn wir aus. Nun die Def. für + anwenden
= [mm] (x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}, x_{2}y_{2}) [/mm] + [mm] (z_{1}, z_{2})
[/mm]
Nun wieder die Def. anwenden:
= [mm] (x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2})z_{2}+z_{1}( x_{2}y_{2}), (x_{2}y_{2})z_{2}) [/mm] (*)
Der letzte Schritt war hierbei wirklich nur die Def.. Muss man halt gut aufpassen, auch mit Klammern und sowas. Ist dir das bis hierhin klar?
Wenn ja, dann gehst du jetzt von
[mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] + [mm] [(y_{1}, y_{2}) [/mm] + [mm] (z_{1}, z_{2})]
[/mm]
Also folgt wieder mit Def.:
= [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] + [mm] (y_{1}z_{2}+z_{1}y_{2}, y_{2}z_{2})
[/mm]
= [mm] (x_{1}(y_{2}z_{2})+(y_{1}z_{2}+z_{1}y_{2})x_{2}, x_{2}(y_{2}z_{2}) [/mm] (**)
So, jetzt betrachte (*) und (**)
Dort gilt jetzt das Kommutativgesetz und Ass.gesetz. Von (*) kannst du jetzt schnell auf (**) kommen.
EDIT: Das Distributivgesetz gilt natürlich auch ;)
Gruß SolRakt
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