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Kombinationen mit Wiederholung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Mo 14.03.2016
Autor: Vazrael

Aufgabe
Bei einer Auktion in einem Literaturhaus werden vier Werke von A. Schmidt, fünf von B. Brecht und sechs von F. Kafka angeboten. Es sind fünf Literaturliebhaber anwesend und alle Werke werden versteigert. Auf wie viele Arten können die 15 Werke auf die Büchersammler verteilt werden, wenn wir uns nur dafür interessieren, wie viele "Schmidts", "Brechts" und "Kafkas" jeder Sammler ersteigert?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich habe dieses Problem folgendermaßen modelliert und bräuchte eine kurze Rückmeldung, ob das so möglich und korrekt ist:

[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \Omega_S \cup \Omega_B \cup \Omega_K$, [/mm] wobei

[mm] $\Omega_S [/mm] = [mm] \{ (x_1, ..., x_5): x_i \in \{0, 1, 2, 3, 4\}, 1 \leq i \leq 5, x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 = 4\}$. [/mm]

Analog die Mengen für die Werke-Verteilungen von Brecht und Kafka.

In anderer Schreibweise suche ich die Anzahl aller monotonen Funktionen f, also:

[mm] $\{ f: \{1, ..., 5\} \rightarrow \{0, ..., 4\}:$ f monoton $\}$ [/mm]

Nun erhalte ich:

[mm] $|\Omega_S| [/mm] = [mm] \binom{5+4-1}{4} [/mm] = 70$
[mm] $|\Omega_B| [/mm] = [mm] \binom{5+5-1}{5} [/mm] = 126$
[mm] $|\Omega_K| [/mm] = [mm] \binom{5+6-1}{6} [/mm] = 210$.


Soweit sollte es passen.
Nun.. bitte nicht zuschlagen, aber: müssen die drei Ergebnisse nun miteinander addiert oder multipliziert werden?

Liebe Grüße
V.

        
Bezug
Kombinationen mit Wiederholung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:31 Di 15.03.2016
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

> Bei einer Auktion in einem Literaturhaus werden vier Werke
> von A. Schmidt, fünf von B. Brecht und sechs von F. Kafka
> angeboten. Es sind fünf Literaturliebhaber anwesend und
> alle Werke werden versteigert. Auf wie viele Arten können
> die 15 Werke auf die Büchersammler verteilt werden, wenn
> wir uns nur dafür interessieren, wie viele "Schmidts",
> "Brechts" und "Kafkas" jeder Sammler ersteigert?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>

> Ich habe dieses Problem folgendermaßen modelliert und
> bräuchte eine kurze Rückmeldung, ob das so möglich und
> korrekt ist:

>

> [mm]\Omega = \Omega_S \cup \Omega_B \cup \Omega_K[/mm], wobei

>

> [mm]\Omega_S = \{ (x_1, ..., x_5): x_i \in \{0, 1, 2, 3, 4\}, 1 \leq i \leq 5, x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 = 4\}[/mm].

>

> Analog die Mengen für die Werke-Verteilungen von Brecht
> und Kafka.

>

> In anderer Schreibweise suche ich die Anzahl aller
> monotonen Funktionen f, also:

>

> [mm]\{ f: \{1, ..., 5\} \rightarrow \{0, ..., 4\}:[/mm] f monoton
> [mm]\}[/mm]

>

> Nun erhalte ich:

>

> [mm]|\Omega_S| = \binom{5+4-1}{4} = 70[/mm]
> [mm]|\Omega_B| = \binom{5+5-1}{5} = 126[/mm]

>

> [mm]|\Omega_K| = \binom{5+6-1}{6} = 210[/mm].


Das ist ungewöhnlich "kompliziert gedacht". Ich bin mir gerade nicht sicher, ob es korrekt ist, ich kann es nicht ganz nachvollziehen.

>
>

> Soweit sollte es passen.
> Nun.. bitte nicht zuschlagen, aber: müssen die drei
> Ergebnisse nun miteinander addiert oder multipliziert
> werden?

Das wird multipliziert, wenn ich deinen Ansatz richtig interpretiere.

>

> Liebe Grüße
> V.

Ich hätte es wie folgt angesetzt.
Die 15 Bücher kannst du auf 15! verschiedene Arten anordnen. Nun musst du noch die Bücher jeweils untereinader tauschen können, das geschieht auf 4!, 5! bzw 6! Arten.
Also bekommst du meiner Meinung nach [mm] \frac{15!}{4!\cdot5!\cdot6!} [/mm] Möglichkeiten.

Marius

Bezug
                
Bezug
Kombinationen mit Wiederholung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:51 Di 15.03.2016
Autor: tobit09

Hallo Marius!


> Ich hätte es wie folgt angesetzt.
>  Die 15 Bücher kannst du auf 15! verschiedene Arten
> anordnen. Nun musst du noch die Bücher jeweils
> untereinader tauschen können, das geschieht auf 4!, 5! bzw
> 6! Arten.
>  Also bekommst du meiner Meinung nach
> [mm]\frac{15!}{4!\cdot5!\cdot6!}[/mm] Möglichkeiten.

Ich sehe nicht, wieso diese Zahl die Aufgabe lösen soll. Insbesondere geht in diesen Term anscheinend nirgendwo die Zahl 5 der an der Auktion teilnehmenden Literaturliebhaber ein.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Kombinationen mit Wiederholung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Di 15.03.2016
Autor: tobit09

Hallo Vazrael und auch von mir ein herzliches [willkommenmr]!


> Bei einer Auktion in einem Literaturhaus werden vier Werke
> von A. Schmidt, fünf von B. Brecht und sechs von F. Kafka
> angeboten. Es sind fünf Literaturliebhaber anwesend und
> alle Werke werden versteigert. Auf wie viele Arten können
> die 15 Werke auf die Büchersammler verteilt werden, wenn
> wir uns nur dafür interessieren, wie viele "Schmidts",
> "Brechts" und "Kafkas" jeder Sammler ersteigert?


> Ich habe dieses Problem folgendermaßen modelliert und
> bräuchte eine kurze Rückmeldung, ob das so möglich und
> korrekt ist:

Ich weiß nicht, welche Vorgaben ihr habt, aber für meinen Geschmack wäre etwas mehr erläuternder Text nicht schlecht.


> [mm]\Omega = \Omega_S \cup \Omega_B \cup \Omega_K[/mm],

Darauf gehe ich weiter unten ein.


> wobei
>  
> [mm]\Omega_S = \{ (x_1, ..., x_5): x_i \in \{0, 1, 2, 3, 4\}, 1 \leq i \leq 5, x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 = 4\}[/mm].7

[ok]

Mit erläuterndem Text meine ich hier z.B.:
Ein Element der Form [mm] $(x_1,\ldots,x_5)\in\Omega_S$ [/mm] steht jeweils dafür, dass der erste Literaturliebhaber [mm] x_1 [/mm] viele Werke von Schmidt ersteigert, der zweite Literaturliebhaber [mm] x_2 [/mm] viele Werke von Schmidt, usw.
[mm] $\Omega_S$ [/mm] entspricht auf diese Weise den möglichen Verteilungsarten der 4 Werke von Schmidt auf die fünf Literaturliebhaber, wenn wir uns nur für die jeweiligen Anzahlen der ersteigerten Werke von Schmidt interessieren.

> Analog die Mengen für die Werke-Verteilungen von Brecht
> und Kafka.

OK.


> In anderer Schreibweise suche ich die Anzahl aller
> monotonen Funktionen f, also:
>  
> [mm]\{ f: \{1, ..., 5\} \rightarrow \{0, ..., 4\}:[/mm] f monoton
> [mm]\}[/mm]

Wie kommst du darauf?
Diese Menge hat mehr Elemente als dein [mm] $\Omega_S$. [/mm]

Denkbar wäre etwa die Wahl

      [mm] $\Omega_S':=\{f\colon\{1,\ldots,5\}\to\{0,\ldots,4\}\;|\;f\text{ monoton steigend mit }f(5)=4\}, [/mm]

wobei für [mm] $f\in\Omega_S'$ [/mm] und [mm] $i\in\{1,\ldots,5\}$ [/mm] der Funktionswert $f(i)$ angebe, wie viele Werke von Schmidt die ersten i Literaturliebhaber zusammen ersteigert haben.

Da sowieso für alle [mm] $f\in\Omega_S'$ [/mm] jeweils $f(5)=4$ gilt, kann man sich quasi "den Wert $f(5)$ sparen" und stattdessen wählen

       [mm] $\Omega_S'':=\{f\colon\{1,\ldots,\blue{4}\}\to\{0,\ldots,4\}\;|\;f\text{ monoton steigend}\}$. [/mm]


> Nun erhalte ich:
>  
> [mm]|\Omega_S| = \binom{5+4-1}{4} = 70[/mm]
>  [mm]|\Omega_B| = \binom{5+5-1}{5} = 126[/mm]
>  
> [mm]|\Omega_K| = \binom{5+6-1}{6} = 210[/mm].

Die Binomialkoeffizienten-Terme stimmen. [ok]
(Die Ergebnisse habe ich nicht nachgerechnet, da vertraue ich dir mal... ;-) )


> Soweit sollte es passen.
>  Nun.. bitte nicht zuschlagen, aber: müssen die drei
> Ergebnisse nun miteinander addiert oder multipliziert
> werden?

Ich hole etwas aus mit einem einfacheren Beispiel, an dem hoffentlich deutlich wird, in welchen typischen Situationen man zur Bestimmung der Mächtigkeiten von Mengen die Mächtigkeit von anderen Mengen addiert und wann man multipliziert.

Fritz hat in seiner linken Hand drei Murmeln, die mit 1, 2 und 3 beschriftet sind.
In seiner rechten Hand hat er zwei Murmeln, die mit a und b beschriftet sind.
Dann entsprechen die Elemente der Mengen

      [mm] $\Omega_l:=\{1,2,3\}$ [/mm]

und

     [mm] $\Omega_r:=\{a,b\}$ [/mm]

den Murmeln, die Fritz in der linken bzw. rechten Hand hat.
Offenbar gilt [mm] $|\Omega_l|=3$ [/mm] und [mm] $|\Omega_r|=2$. [/mm]

Was wären jetzt Situationen, in denen es sinnvoll wäre 3 und 2 zu addieren, bzw. zu multiplizieren?


Situation 1:

Fritz gibt eine seiner Kugeln in den beiden Händen an seine Schwester Anna ab.
Wie viele verschiedene Kugeln könnte Anna erhalten?

Die Kugeln, die Anna erhalten könnte, entsprechen den Elementen der Menge

      [mm] $\Omega_1:=\Omega_l\cup\Omega_r=\{1,2,3,a,b\}$. [/mm]

Hier gilt [mm] $|\Omega_1|=|\Omega_l|+|\Omega_r|=3+2=5$. [/mm]
Also könnte Anna fünf Kugeln erhalten.

(Wichtig ist dabei, dass [mm] $\Omega_l$ [/mm] und [mm] $\Omega_r$ [/mm] keine gemeinsamen Elemente enthalten.
Wären etwa die Kugeln in der rechten Hand von Fritz mit $1$ und $2$ nummeriert und hätten wir [mm] $\Omega_r:=\{1,2\}$ [/mm] gewählt, wo wäre

      [mm] $|\Omega_l\cup\Omega_r|=|\{1,2,3\}|=3\not=5=3+2=|\Omega_l|+|\Omega_r|$). [/mm]

Merke:

Sind A und B endliche Mengen, die keine gemeinsamen Elemente enthalten, so entsprechen die Elemente der Menge

       [mm] $C:=A\cup [/mm] B$

den Elementen, die entweder in A oder in B liegen.
Es gilt dann

       $|C|=|A|+|B|$.

Entsprechendes gilt für mehr als zwei Mengen A und B.


Situation 2:

Fritz gibt Anna eine Kugel aus der linken und eine aus der rechten Hand ab.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, welche beiden Kugeln Anna bekommt?

Hier entspricht jede solche Möglichkeit einem Paar $(x,y)$ mit [mm] $x\in\Omega_l$ [/mm] und [mm] $y\in\Omega_r$, [/mm] bei dem $x$ für die Beschriftung der abgegebenen Kugel aus der linken Hand und $y$ für die Beschriftung der abgegebenen Kugel aus der rechten Hand steht.

Die Möglichkeiten können wir also als die Elemente der Menge

       [mm] $\Omega_2:=\Omega_l\times\Omega_r=\{(x,y)\;|\;x\in\Omega_l,y\in\Omega_r\}=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}$ [/mm]

auffassen.

Es gilt [mm] $|\Omega_2|=|\Omega_l|*|\Omega_r|=3*2=6$. [/mm]
Es gibt also 6 Möglichkeiten, welche beiden Kugeln Anna bekommt.

Merke:

Sind A und B endliche Mengen, so sind die Elemente der Menge

       [mm] $C:=A\times [/mm] B$

gerade die Paare $(x,y)$ mit [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $y\in [/mm] B$ und es gilt

      $|C|=|A|*|B|$.

Entsprechendes gilt für mehr als zwei Mengen A und B.


Zurück zur Auktions-Aufgabe:

Wählst du nun

      [mm] $\Omega:=\Omega_S\cup\Omega_B\cup\Omega_K$ [/mm]

oder

      [mm] $\Omega:=\Omega_S\times\Omega_B\times\Omega_K$? [/mm]

Bestimmst du demzufolge [mm] $|\Omega|$ [/mm] durch Addition oder Multiplikation?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Kombinationen mit Wiederholung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:48 Mi 16.03.2016
Autor: Vazrael

Lieber tobit09 -

wow! Vielen Dank für diese ausführliche Erläuterung, die mir, wie ich doch hoffe, sehr weiter geholfen hat!

Die richtige Verknüpfung ist nun die über das kartesische Produkt:

$ [mm] \Omega:=\Omega_S\times\Omega_B\times\Omega_K [/mm] $ !

:)



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