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| Aufgabe | [mm] \vektor{k+2 \\ k-2} [/mm] = ((k-1)k(k+1)(k+2)/1*2*3*4)
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Hallo
Bei dieser Aufgabe soll ich den Binomialkoeffizienten möglichst einfach in Bruchform schreiben. Bei der Lösung verstehe ich allerdings nicht wie ich auf (k-1)k(k+1)(k+2) komme! Über eine Erklärung wäre ich sehr dankbar.
Gruß Alexandra
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> [mm]\vektor{k+2 \\ k-2}[/mm] = ((k-1)k(k+1)(k+2)/1*2*3*4)
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> Hallo
> Bei dieser Aufgabe soll ich den Binomialkoeffizienten
> möglichst einfach in Bruchform schreiben. Bei der Lösung
> verstehe ich allerdings nicht wie ich auf (k-1)k(k+1)(k+2)
> komme! Über eine Erklärung wäre ich sehr dankbar.
Allgemein ist [mm] $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$. [/mm] Also, angewandt auf die linke Seite der zu beweisenden Beziehung:
[mm]\binom{k+2}{k-2}=\frac{(k+2)!}{(k-2)!\cdot \big((k+2)-(k-2)\big)!}=\frac{(k+2)!}{(k-2)!\cdot 4!}=\frac{(k+2)\cdot (k+1)\cdot k\cdot (k-1)\cdot (k-2)!}{(k-2)!\cdot 4!}=\frac{(k+2)\cdot(k+1)\cdot k\cdot (k-1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}[/mm]
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| Aufgabe | | [mm] \vektor{7 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ x} [/mm] |
Hier habe ich jetzt eine Gleichung. Ich weiß nicht was ich mit dem x machen soll. Ich würde die linke Seite ausrechnen, dann habe ich links 35, aber wie gehe ich denn mit der rechten Seite vor?
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> [mm]\vektor{7 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{7 \\ x}[/mm]
> Hier habe ich jetzt eine
> Gleichung. Ich weiß nicht was ich mit dem x machen soll.
> Ich würde die linke Seite ausrechnen, dann habe ich links
> 35, aber wie gehe ich denn mit der rechten Seite vor?
Dies ist schon eine etwas spezielle Aufgabe, die man vielleicht besser nicht mit dem Dampfhammer des schnellen Umformens bearbeiten sollte. Die Binomialkoeffizienten [mm] $\binom{n}{x}$ [/mm] für festes $n$ (hier $n=7)$ nehmen für [mm] $x=0,1,\ldots,n$ [/mm] bis zu einem grössten Wert zu und nehmen dann wieder ab (![[]](/images/popup.gif) Pascal'sches Dreieck). Zudem gilt die Symmetrie [mm] $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.
[/mm]
Eine erste Lösung Deiner Gleichung ist sicherlich $x=4$. Dann steht ja offensichtlich auf beiden Seiten der Gleichung derselbe Binomialkoeffizient. Wegen des erwähnten Wachstumsverhaltens und der Symmetrie kommt nur noch $x=7-4=3$ als weitere Lösung in Frage.
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Die Lösungen sind Richtig ich verstehe aber nicht ganz den Weg dorthin.
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> Die Lösungen sind Richtig
Schwein gehabt 
> ich verstehe aber nicht ganz den Weg dorthin.
Kannst Du dies ein wenig ausführliche formulieren? Welchen Teil meiner Begründung verstehst Du nicht? Die Symmetrie [mm] $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ [/mm] oder das anfängliche Wachsen und dann wieder Fallen der Werte [mm] $\binom{n}{k}$, [/mm] wenn man $k$ die Werte von $0$ bis $n$ durchlaufen lässt? (Für $x>n$ ist [mm] $\binom{n}{k}$ [/mm] ohnehin $=0$, solche $x$ kommen als Lösung Deiner Gleichung also nicht in Frage.)
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Den zweiten Teil. Ich kenne das Thema aber allerdings auch erst seid heut mittag! Vielleicht versteh ich das deshalb nicht so ganz.
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> Den zweiten Teil. Ich kenne das Thema aber allerdings auch
> erst seid heut mittag! Vielleicht versteh ich das deshalb
> nicht so ganz.
Es ist eben für [mm] $k=0,\ldots, [/mm] n$
[mm]\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}=\frac{\frac{n!}{(k+1)!\cdot (n-(k+1))!}}{\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}}=\frac{n-k}{k+1}=\frac{n+1}{k+1}-1[/mm]
Bei diesem Ausdruck [mm] $\frac{n+1}{k+1}-1$ [/mm] ist $n$ fest, wir lassen nur $k$ von $0$ bis $n$ laufen. Dann siehst, Du, dass [mm] $\frac{n+1}{k+1}-1$ [/mm] für kleines $k$ grösser als $1$ ist (dann ist [mm] $\binom{n}{k+1}$ [/mm] grösser als [mm] $\binom{n}{k}$) [/mm] und schliesslich aber kleiner als $1$ wird (dann ist [mm] $\binom{n}{k+1}$ [/mm] kleiner als [mm] $\binom{n}{k}$).
[/mm]
Dieses anfängliche Wachsen und dann wieder Fallen der [mm] $\binom{n}{k}$ [/mm] ergibt, wenn man es aufzeichnet, eine Art "glockenförmigen" Verlauf der Werte [mm] $\binom{n}{k}$. [/mm] Hier ein Bild dieses Verlaufes für $n=33$:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Punkte mit erster Koordinate $k$ und zweiter Koordinate [mm] $\binom{n}{k}$.
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Aufgabe | | [mm] \vektor{7 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ 7-x} [/mm] |
Ok soweit. Jetzt habe ich meine Gleichung wegen der Symmmetrie geändert. Wie bekomme ich denn jetzt x isoliert? Oder soll ich das erst als Bruch umformen?
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> [mm]\vektor{7 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{7 \\ 7-x}[/mm]
> Ok soweit. Jetzt habe
> ich meine Gleichung wegen der Symmmetrie geändert. Wie
> bekomme ich denn jetzt x isoliert?
Eben, dies hatte ich zu sagen versucht, aber offenbar nicht klar genug formuliert: Du kannst nicht im für das Auflösen typischer Gleichungen üblichen Stil $x$ auf einer Seite des Gleichheitszeichens isolieren. Und zwar (unter anderem) wir keine simple Umkehrfunktion der Fakultät haben.
> Oder soll ich das erst als Bruch umformen?
Fasse [mm] $\binom{7}{4}=35$ [/mm] einfach als eine gegebene Zahl auf. Nun lasse in Gedanken $x$ in [mm] $\binom{7}{x}$ [/mm] von $0$ bis $7$ laufen. Was geschieht! Antwort: die Werte [mm] $\binom{7}{x}$ [/mm] wachsen zunächst bei $1$ beginnend an. Ab einem gewissen Wert von $x$ hört dieses Wachstum auf und wechselt zu einem Kleinerwerden der Werte [mm] $\binom{7}{x}$.
[/mm]
Wir wissen, dass für $x=4$ die Gleichung erfüllt ist. Und es kann für beliebiges [mm] $x_{1,2}$ [/mm] nur genau dann [mm] $\binom{7}{x_1}=\binom{7}{x_2}$ [/mm] gelten, wenn [mm] $x_1=x_2$ [/mm] oder [mm] $x_2=7-x_1$.
[/mm]
Diese Überlegung ersetzt also ein Isolieren von $x$ mittels Äquivalenzumformungen, das hier nicht direkt anwendbar ist, weil $x$ in der gegebenen Gleichung als Argument zweier Fakultäten auftritt.
Ich weiss: ein solches Vorgehen erscheint unbefriedigend. Aber mir fällt zur Zeit nichts Besseres ein. - Stärker: Ich bin zuversichtlich, dass auch keine wesentlich überzeugendere Argumentation zu haben ist.
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| Aufgabe | | [mm] \vektor{7 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ 2} [/mm] |
Ok das funktioniert. Aber wie mache ich das wenn ich die Variable x im Zähler habe, wie bei der Aufgabe oben? Genau so?
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> [mm]\vektor{7 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{x \\ 2}[/mm]
> Ok das funktioniert.
> Aber wie mache ich das wenn ich die Variable x im Zähler
> habe, wie bei der Aufgabe oben? Genau so?
Nein, hier haben wir nicht das selbe Problem, wie wenn die Unbekannte im Binomialkoeffizienten tiefgestellt ist, denn [mm] $\binom{x}{k}$ [/mm] ist für gegebenes $k$ ein Polynom in $x$ vom $k$-ten Grad. In Deinem Beispiel kann man zwar auch, ohne jede Rechnung, sagen dass $x=7$ jedenfalls eine Lösung ist (wenn die linke Seite bloss als Zahl gegeben wäre, könnten wir eine solche "triviale Lösung" natürlich nicht einfach ablesen).
Also ist die obige Gleichung nichts anderes als
[mm]21=\frac{x\cdot (x-1)}{1\cdot 2}[/mm]
Diese zu [mm] $x^2-x-42=0$ [/mm] äquivalente quadratische Gleichung hat die Lösungen [mm] $x_1=7$ [/mm] und [mm] $x_2=-6$.
[/mm]
Korrektur (2. Revision): Ich wollte eigentlich die Lösung $x=-6$ ausschliessen, weil ich davon ausging, dass ein solcher Wert aus Deiner Sicht im Binomialkoeffizienten ohnehin nicht zulässig ist. Dabei habe ich gleich einen dummen Fehler nach dem anderen verbrochen. Man kann sich nämlich auf den Standpunkt stellen, dass [mm] $\binom{-6}{2}=\frac{(-6)\cdot (-7)}{1\cdot 2}=21$ [/mm] gilt und daher auch [mm] $x_2=-6$ [/mm] eine Lösung Deiner Gleichung ist.
Sofern man also $x<0$ im Binomialkoeffizienten [mm] $\binom{x}{2}$ [/mm] überhaupt zulassen will, kann man sagen, dass es zwei Lösungen [mm] $x_1=7$ [/mm] und [mm] $x_2=-6$ [/mm] gibt.
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| Aufgabe | | [mm] \vektor{7 \\ x} [/mm] + [mm] \vektor{7 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ x} [/mm] |
Hier ist jetzt wieder die Variable x im Nenner allerdings kann ich ja jetzt nicht mehr die zahlen von 0-7 und von 0-8 Einsetzen und Testen das würde doch viel zu lange dauern. Oder geht das doch so? Die rechte Seite kann ich ja wieder wie eben umschreiben oder?
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> [mm]\vektor{7 \\ x}[/mm] + [mm]\vektor{7 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{8 \\ x}[/mm]
> Hier
> ist jetzt wieder die Variable x im Nenner allerdings kann
> ich ja jetzt nicht mehr die zahlen von 0-7 und von 0-8
> Einsetzen und Testen das würde doch viel zu lange dauern.
> Oder geht das doch so? Die rechte Seite kann ich ja wieder
> wie eben umschreiben oder?
Bemerkung: ich habe übrigens in meiner letzten Antwort einen Fehler verbrochen, den ich nachträglich korrigieren musste. Schau diese Antwort bitte nochmals nach.
Nun aber zu dieser neuen Aufgabe (und somit einer neuen Möglichkeit, dümmliche Fehler zu verbrechen )
Es ist sicher so, dass bei solchen Gleichungen mit Binomialkoeffizienten oft Trickspiel angesagt ist. Bei dieser Gleichung komme ich auf den Gedanken, die Beziehung [mm] $\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}$ [/mm] zu verwenden.
[mm]\begin{array}{lcll}
\displaystyle \binom{7}{x} + \binom{7}{2} &=& \displaystyle \binom{8}{x} \\[.3cm]
\displaystyle \binom{7}{x} + \binom{7}{2} &=& \displaystyle \binom{7+1}{(x-1)+1}\\[.3cm]
\displaystyle \binom{7}{x} + \binom{7}{2} &=& \displaystyle \binom{7}{x-1}+\binom{7}{x}\\[.3cm]
\displaystyle \binom{7}{2} &=& \displaystyle \binom{7}{x-1}
\end{array}[/mm]
also müsste $x-1=2$ (triviale Lösung) oder $x-1=7-2$ (zu trivialer Lösung symmetrische Lösung), d.h. $x=3$ oder $x=6$ sein.
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Wie komme ich denn in der dritten Reihe auf der rechten Seite auf (7/x) ?
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> Wie komme ich denn in der dritten Reihe auf der rechten
> Seite auf (7/x) ?
Dies war ein Teil des Ergebnisses der Anwendung von [mm] $\binom{n+1}{k+1}\red{=}\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}$ [/mm] auf [mm] $\binom{8}{x}$ [/mm] mit $n=7$ und $k=x-1$. Hier nochmals nur die Umformungen der rechten Seite der gegebenen Gleichung bis zur fraglichen Gleichung:
[mm]\binom{8}{x}=\binom{7+1}{(x-1)+1}\red{=}\binom{7}{x-1}+\binom{7}{(x-1)+1}=\binom{7}{x-1}+\binom{7}{x}[/mm]
Diese Beziehung [mm] $\binom{n+1}{k+1}\red{=}\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}$ [/mm] wird ja in der Regel verwendet, um das Pascal'sche Dreieck der Binomialkoeffizienten von oben nach unten zu konstruieren.
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Danke! Vielleicht kommen demnächst noch mehr solche Fragen!
Gruß Alexandra
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