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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Acronis |
| Aufgabe | Im Erdgeschoss eines 4-stöckigen Hauses betreten 12 Personen den Fahrstuhl.
(a) In jedem Stockwerk wird lediglich gezählt, wie viele Personen aussteigen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, wenn wir annehmen, dass spätestens im obersten Stockwerk alle Personen aussteigen?
(b) Wie verändert sich die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, wenn auch die Namen der Personen berücksichtigt werden? |
Hallo,
ich hab es jetzt mal so versucht: (a) Wenn ich annehme, dass mind. eine Person in jedem Stockwerk aussteigt, dann komme ich auf das folgende Ergebnis: 12*11*10*9= 11880
Aber wie kann ich jetzt berücksichtigen, wenn keiner im 1 Stock usw. aussteigt?
zu (b) ???
Kann mir bitte jemand helfen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Mi 20.01.2010 | | Autor: | glie |
> Im Erdgeschoss eines 4-stöckigen Hauses betreten 12
> Personen den Fahrstuhl.
>
> (a) In jedem Stockwerk wird lediglich gezählt, wie viele
> Personen aussteigen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten
> gibt es, wenn wir annehmen, dass spätestens im obersten
> Stockwerk alle Personen aussteigen?
>
> (b) Wie verändert sich die Anzahl der verschiedenen
> Möglichkeiten, wenn auch die Namen der Personen
> berücksichtigt werden?
> Hallo,
Hallo,
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> ich hab es jetzt mal so versucht: (a) Wenn ich annehme,
> dass mind. eine Person in jedem Stockwerk aussteigt, dann
> komme ich auf das folgende Ergebnis: 12*11*10*9= 11880
>
> Aber wie kann ich jetzt berücksichtigen, wenn keiner im 1
> Stock usw. aussteigt?
Das ist alles eine Frage der Darstellung:
Um 4 Stockwerke und 12 voneinander nicht weiter unterscheidbare Personen darzustellen, brauchst du
DREI (!) Trennstriche | und zwölf Symbole #
So bedeutet etwa:
##|###|#|######
dass im ersten Stock 2 Personen, im zweiten Stock 3 Personen, im dritten Stock eine Person, im vierten Stock 6 Personen aussteigen.
Noch ein weiteres Beispiel:
|#######||#####
bedeutet, dass im ersten Stock niemand, im zweiten Stock 7 Personen, im dritten Stock niemand, im vierten Stock 5 Personen aussteigen.
Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ist also genau die Anzahl der Möglichkeiten, die es gibt, die 3 Trennstriche und 12 # auf 15 Positionen zu verteilen.
Das geht auf [mm] $\vektor{15 \\ 3}*\vektor{12 \\ 12}$ [/mm] Möglichkeiten.
>
> zu (b) ???
Hier stellen wir uns die 12 # in 12 verschiedenen Farben vor. Bei jeder einzelnen Möglichkeit aus Aufgabe a) können wir jetzt die 12 # untereinander vertauschen (an den Ausstiegszahlen in den einzelnen Stockwerken ändert das nichts).
Und auf wieviele Arten können 12 Personen untereinander ihre Plätze tauschen?
Wie viel mal mehr Möglichkeiten als in a) gibt es also, wenn du die Personen unterscheidest?
Gruß Glie
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> Kann mir bitte jemand helfen?
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Acronis |
danke für die ausführliche Antwort.
Die a) habe ich jetzt verstanden, obwohl ich selbst nie auf die Lösung gekommen wäre.
Zu b) würde ich jetzt einfach mal annehmen, dass ich die Leute 12 mal verschieden anordnen könnte.
Ich habe jetzt gerechnet: 455*12= 5460 Das sind 5005 mehr Möglichkeiten. Ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Mi 20.01.2010 | | Autor: | glie |
> danke für die ausführliche Antwort.
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> Die a) habe ich jetzt verstanden, obwohl ich selbst nie auf
> die Lösung gekommen wäre.
Das ist bei der a) aber ein Klassiker, den es in den verschiedensten Formen gibt, zum Beispiel 5 Bälle auf 3 Schubladen verteilen, oder 12 Gummibärchen auf 4 Kinder verteilen.
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> Zu b) würde ich jetzt einfach mal annehmen, dass ich die
> Leute 12 mal verschieden anordnen könnte.
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> Ich habe jetzt gerechnet: 455*12= 5460 Das sind 5005 mehr
> Möglichkeiten. Ist das richtig?
Leider nein, das ist viel zu wenig. Betrachte mal 12 freie Plätze für 12 Personen. Für den ersten Platz gibt es 12 Möglichkeiten, für den zweiten 11 usw.
Macht also insgesamt 12! Möglichkeiten.
Somit ergeben sich dann [mm] $455*12!\approx 2,18*10^{11}$ [/mm] Möglichkeiten.
Gruß Glie
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