Kombinatorik - mit Z.,o.B.d.R. < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:16 Mo 30.05.2011 | | Autor: | PeterXX |
| Aufgabe | | Es sollen 15 gleiche Bücher auf fünf Schüler verteilt werden. |
Die Lösung lt. eines Lehrbuches : 11 628 Möglichkeiten.
Ich halte dies für falsch. Ich habe zwecks besserer Überschaubarkeit den Fall 4 Bücher und drei Schüler betrachtet. Die Anzahl der Möglichkeiten, die ich durch Aufschreiben der verschiedenen Anordnungen erhalten habe, beträgt 15. Dies stimmt überein mit der Vorstellung, dass die Anordnung der vier Bücher Vierer-Tupel bilden, die aus den Zahlen 1, 2 und 3 (Schüler, dem das Buch zugeordnet ist) bestehen. D.h. die 4 Bücher werden den 3 Schülern (drei Räume mit zwei Trennstrichen) zugeordnet.
(4+2)!/4!/2! = 15 .
Analog ergibt sich für 15 Bücher und 5 Schülern:
(15+4)!/15!/4! = 3876, und nicht wie im Lehrbuch 11 628.
Hat das Lehrbuch recht, und wenn ja, warum?
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Hallo,
könntest du mal noch den Originaltext der Aufgabe angeben, da besteht sonst immer schnell die Gefehr, dass man aneinander vorbeiredet bzw. unterschiedliche Aufgaben rechnet.
Ist das hier so zu verstehen, dass die Anzahl der Möglichkeiten gesucht ist, welcher Schüler wie viele Bücher bekommt? Ist der Fall kein Buch dabei erlaubt oder nicht? Solche Fragen gilt es vorher zu klären, und das kann gewöhnlich der Originaltext der Aufgabe leisten, so sie denn ordentlich gestellt ist.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 So 05.06.2011 | | Autor: | PeterXX |
Hallo Diophant, die Aufgabenstellung wurde von mir richtig abgeschrieben, siehe Level Mathematik, 10 , Lehrbuch der Klasse 10 Gymansien Sachsen, Duden Paetec, Seite 231, 13.
Zur Aufgabenstellung: Es sind 15 gleiche Bücher. Eine Anordnung "15 über 5" wäre sinnlos, da es diese Anordnung für alle Bücher nur einmal gibt, da die Bücher gleich sind. Damit kann es, da keine weitere Einschränkung, nur die Anordnung "n+k-1 über k " sein, d.h. der Fall, dass ein Schüler kein Buch bekommt, ist erlaubt.
Gespannt auf deine Antwort.
PeterXX
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Hallo Peter,
Deine Lösung ist richtig. Die Lösung des Lehrbuchs ist um den Faktor 3 zu groß.
Allerdings ist mir nicht ersichtlich, wie Du Deine Lösung hergeleitet hast. Da das Ergebnis stimmt, ist wahrscheinlich nur die Erklärung noch unscharf, jedenfalls helfen die 4-Tupel noch nicht hinreichend weiter, um zu erkennen, wie Du die überzähligen gleichen Fälle identifizierst. So scheint Deine korrekte Formel irgendwie "vom Himmel zu fallen".
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 So 05.06.2011 | | Autor: | PeterXX |
Hallo reverend,
danke für deine Unterstützung meiner Lösung.
Zur Klarstellung, ich habe die Formel "n+k-1 über k" verwendet.
Zur Information die Zusammenstellung der Anordnungen bei meinem Mini-Beispiel 4 Bücher und 3 Schüler.
Schüler 1 Schüler 2 Schüler 3
1. 4 0 0 Bücher
2. 0 4 0 Bücher
3. 0 0 4 Bücher
4. 3 1 0 Bücher
5. 3 0 1 Bücher
6. 2 2 0 Bücher
7. 2 0 2 Bücher
8. 0 1 3 Bücher
9. 0 2 2 Bücher
10. 1 1 2 Bücher
11. 2 1 1 Bücher
12. 1 2 1 Bücher
13. 1 3 0 Bücher
14. 0 3 1 Bücher
15. 1 0 3 Bücher
Anzahl der Anordnungen entspricht der Formel "4+3-1 über 4" =15.
Ich korrigiere meine Ausdrucksweise, ich meine keine 4-Tupel, denn die Tupel beinhalten eine Reihenfolge, es sind Anordnungen. Ich hoffe, ich konnte mich jetzt klar ausdrücken.
Bin gespannt auf deine Antwort.
PeterXX
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Du hast völlig recht. Ich benutze auch immer die Idee mit den Trennstäben, genau damit kann man nämlich die Formel am einfachsten beweisen. Also: Deine Idee und deine Lösung sind völlig korrekt.
Als Mathelehrer habe ich mir nur im ersten Jahr Musterlösungen zu Mathebüchern gekauft. Sie wimmelten von Fehlern, und nach Auskunft von Kollegen hat sich das bis heute noch nicht geändert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Mo 06.06.2011 | | Autor: | PeterXX |
Besten Dank für die Antwort.
Meine Zusammenfassung: n= Schüler k= Bücher
1. Verwendung der Formel (n+k-1 über k), im Beispiel : (15+5-1 über 15)= 3876 Möglichkeiten.
2. Verwendung von Trennstrichen zwischen den Schülern, (bei fünf Schülern gibt es vier Trennstriche):
(n-1 +k)!/(n-1)!/k! , im Beispiel: 19!/4!/15! = 3876 Möglichkeiten
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