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Kombinatorik Schachfiguren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Mo 22.10.2018
Autor: Near

Aufgabe
Im Schach gibt es je 16 schwarze und weiße Figuren, die auf einem Schachbrett mit 8×8 Feldern stehen. Zu Beginn des Spieles stellen beide Spieler ihre Figuren (jeweils 8 Bauern, 2 Türme, 2 Springer, 2 Läufer, eine Dame und einen König) auf den 16 Feldern der äußeren Reihen auf.
1. Wie viele Möglichkeiten haben die Spieler, ihre 16 Figuren auf die 16 Felder zu verteilen?
2. Wie viele mögliche Aufstellungen gibt es, wenn das gesamte Spielfeld betrachtet wird wobei jede Figur an jeder Position stehen kann und beide Spieler ihre Figuren aufstellen?
Hinweis: Mehrere Bauern, Türme, Läufer und Springer sind jeweils nicht zu unterscheiden.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Schönen guten Tag,

die obige Aufgabe bereitet mir noch relative Kopfschmerzen und es wäre schön, wenn ihr mir etwas auf die Sprünge helfen könntet, da wir noch frisch in dem Thema sind :)

Ansatz zu 1) Die Anzahl der Möglichkeiten 16 Figuren auf 16 Felder zu verteilen beträgt 16! . Da hier aber zwischen Bauern, Türmen etc. zu unterscheiden ist, welche sich wiederum innerhalb ihrer Rolle nicht unterscheiden, müsste man (bspw. anfangend mit den Bauern) [mm] \vektor{16 \\ 8} [/mm] also die Möglichkeiten 8 Bauern auf 16 Felder zu verteilen ausrechnen. Davon ausgehend bleiben für die Türme dann [mm] \vektor{8 \\ 2}, [/mm] für die Springer [mm] \vektor{6 \\ 2}, [/mm] für die Läufer [mm] \vektor{4 \\ 2}, [/mm] für die Dame [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] und den König [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] Möglichkeiten. Soweit komme ich, weitergehend weiß ich jedoch nicht, was zu tun ist.

Zu 2) Wir haben nun 64 Felder und insgesamt 32 Figuren. Sucht man nur die Anzahl der Möglichkeiten 32 Figuren auf 64 Felder zu verteilen müsste man [mm] \vektor{64 \\ 32} [/mm] ausrechnen. Wie krieg ich am Schlauesten die Unterscheidung der Rollen hier mit rein und muss ich zwischen schwarzen und weißen Bauern unterscheiden oder darf ich von 16 Bauern insgesamt ausgehen und es dann quasi wie in 1) fortsetzen?

Danke schon einmal im Voraus für eure Hilfe :)

        
Bezug
Kombinatorik Schachfiguren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Mo 22.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> die obige Aufgabe bereitet mir noch relative Kopfschmerzen

wieso, du hast doch 90% der Aufgabe schon selbst gelöst…

> Ansatz zu 1) Die Anzahl der Möglichkeiten 16 Figuren auf
> 16 Felder zu verteilen beträgt 16!

[ok]

> Da hier aber zwischen
> Bauern, Türmen etc. zu unterscheiden ist, welche sich
> wiederum innerhalb ihrer Rolle nicht unterscheiden, müsste
> man (bspw. anfangend mit den Bauern) [mm]\vektor{16 \\ 8}[/mm] also
> die Möglichkeiten 8 Bauern auf 16 Felder zu verteilen
> ausrechnen.

[notok]
Deine Idee ist richtig. Du musst die Kombinationen, die letztendlich nicht zu unterscheiden sind, wieder herausrechnen.

Wählen wir nun mal eine Stellung aus. Wie viele gleiche Stellungen in den 16! gibt es, die sich von dieser nicht unterscheiden?
Beantworte dafür die Fragen:
1.) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Bauern zu mixen in dieser Stellung?
2.) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Läufer zu mixen in dieser Stellung?


Durch diese Anzahl müssen wir die 16! dann teilen.

> Zu 2) Wir haben nun 64 Felder und insgesamt 32 Figuren.
> Sucht man nur die Anzahl der Möglichkeiten 32 Figuren auf
> 64 Felder zu verteilen müsste man [mm]\vektor{64 \\ 32}[/mm]
> ausrechnen.

[ok]
Wobei du nun noch aufpassen musst!  [mm]\vektor{64 \\ 32}[/mm]  bestimmt natürlich nur die Anzahl an belegten Feldern. Nehmen wir mal an D1 ist belegt, dann sagt obige Zahl noch nichts darüber aus, ob nun die weiße Dame auf D1 steht oder ein schwarzer Bauer. Das musst du noch berücksichtigen.

> Wie krieg ich am Schlauesten die Unterscheidung
> der Rollen hier mit rein und muss ich zwischen schwarzen
> und weißen Bauern unterscheiden oder darf ich von 16
> Bauern insgesamt ausgehen und es dann quasi wie in 1)
> fortsetzen?

Wie oben: Du musst dir nun überlegen, welche Stellungen zu einer gewählten Stellung "identisch" sind und durch diese Anzahl musst du dann teilen.
Ich würde weiß und schwarz aber unterscheiden. D.h. du hast zwei Bauerngruppen zu je 8 Bauern… aber letztlich ist es nun dasselbe wie oben.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Kombinatorik Schachfiguren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:50 Mo 22.10.2018
Autor: Near

Vielen Dank für die schnelle Antwort !

"Deine Idee ist richtig. Du musst die Kombinationen, die letztendlich nicht zu unterscheiden sind, wieder herausrechnen.

Wählen wir nun mal eine Stellung aus. Wie viele gleiche Stellungen in den 16! gibt es, die sich von dieser nicht unterscheiden?
Beantworte dafür die Fragen:
1.) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Bauern zu mixen in dieser Stellung?
2.) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Läufer zu mixen in dieser Stellung? "

Es sind 8 Bauern also können sie ihre Felder mit 8! verschiedenen Möglichkeiten besetzen. Die Türme, Läufer und Springer jeweils mit 2! und das alles muss man rausteilen, also :

-> [mm] \bruch{16!}{8!*2!*2!+2!} [/mm]

Was 64.864.800 verschiedene Möglichkeiten gibt die 16 Figuren anzuordnen. Das war tatsächlich auch die Zahl die ich heraus bekam, als ich die [mm] \vektor{16 \\ 8} \vektor{8 \\ 2} \vektor{6 \\ 2} \vektor{4 \\ 2} \vektor{2 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] miteinander multipliziert hab, aber durch den Ansatz hab ich es definitiv besser nachvollziehen können !

Zu 2) Falls ich das richtig verstehe muss man also hier [mm] \vektor{64 \\ 32} [/mm] als Anzahl der Möglichkeiten 32 Figuren auf 64 Felder zu verteilen nehmen und 2x 8! (schwarze und weiße Bauern) und 6x 2! (schwarze und weiße Türme, Springer, Läufer) rausteilen, da diese Stellungen wieder mehrfach belegt sind:

[mm] \bruch{\vektor{64 \\ 32}}{8!*8!*2!*2!*2!*2!*2!*2!} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Kombinatorik Schachfiguren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Di 23.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,
> Es sind 8 Bauern also können sie ihre Felder mit 8!
> verschiedenen Möglichkeiten besetzen. Die Türme, Läufer
> und Springer jeweils mit 2! und das alles muss man
> rausteilen, also :
>  
> -> [mm]\bruch{16!}{8!*2!*2!+2!}[/mm]

[ok]

> Was 64.864.800 verschiedene Möglichkeiten gibt die 16
> Figuren anzuordnen. Das war tatsächlich auch die Zahl die
> ich heraus bekam, als ich die [mm]\vektor{16 \\ 8} \vektor{8 \\ 2} \vektor{6 \\ 2} \vektor{4 \\ 2} \vektor{2 \\ 1}[/mm]
> und [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] miteinander multipliziert hab, aber
> durch den Ansatz hab ich es definitiv besser nachvollziehen
> können !

Dass da dasselbe rauskommt, ist nun nicht verwunderlich ^^
Nur dass die Herangehensweisen halt unterschiedlich sind… bei der ersten tust du erst so, als wären alle Figuren unterscheidbar und rechnest dann die ununterscheidbaren Stellungen raus… bei deinem Ansatz hast du gleich nach Figurengruppen auf die 16 Felder verteilt..... also erst die Möglichkeiten für die 8 Felder für die Bauern ausgesucht, dann die Läufer und Springer auf die restlichen Felder verteilt, etc…

  

> Zu 2) Falls ich das richtig verstehe muss man also hier
> [mm]\vektor{64 \\ 32}[/mm] als Anzahl der Möglichkeiten 32 Figuren
> auf 64 Felder zu verteilen nehmen und 2x 8! (schwarze und
> weiße Bauern) und 6x 2! (schwarze und weiße Türme,
> Springer, Läufer) rausteilen, da diese Stellungen wieder
> mehrfach belegt sind:
>  
> [mm]\bruch{\vektor{64 \\ 32}}{8!*8!*2!*2!*2!*2!*2!*2!}[/mm]  

Das ist nur die halbe [mm] Wahrheit:$\vektor{64 \\ 32}$ [/mm] gibt dir nur die Möglichkeiten von 64 Feldern 32 auszuwählen.
Aber zu jeder Wahl von 32 Feldern gibt es ja mehre (unterscheidbare) Stellungen der Figuren. Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt die 32 Figuren auf die 32 Felder aufzuteilen? Richtig: 32!
Und dann müssen wir noch die "gleichen" Stellungen wieder rausrechnen… d.h. insgesamt kämen wir wohl auf sowas wie: [mm]\bruch{32!\cdot\vektor{64 \\ 32}}{8!*8!*2!*2!*2!*2!*2!*2!}[/mm]  

Das müsste dann übrigens dasselbe sein wie (analog zum zweiten Ansatz oben)

[mm] $\vektor{64 \\ 8}\vektor{56 \\ 8}\vektor{48 \\ 2}\vektor{46 \\ 2}\vektor{44 \\ 2}\vektor{42 \\ 2}\vektor{40 \\ 2}\vektor{38 \\ 2}$ [/mm]

Gruß,
Gono



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