Kombinatorik & Stirling Zahlen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Di 10.05.2005 | | Autor: | squeezer |
Hallo, ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten:
Auf wieviele verschiedene Arten kann man 20 gleiche Pcs auf drei verschiedene Schulen aufteilen:
(a) so, dass jede Schule mindestens einen PC bekommt.
(b) ohne weitere Einschränkungen.
Zu (a) handelt es sich meiner Meinung nach um eine surjektive Abbildung Sur(n,k), weil das Urbild der Schule also die Anzahl der PCs nicht leer, also in unserem Fall 0 sein darf.
Nun habe ich mir überlegt, dass es sich um eine Stirling Zahl [mm] S_{3,20} [/mm] = 580 606 446 handeln könnte.
Ist das richtig, die Zahl kommt mir etwas zu "gross" vor....
Ein anderer Ansatz wäre geswesen dass ja 3 Schulen einen PC kriegen müssen, also
1*1*1 und dann *3^17 für die restlichen PCs...
Ich weiss nur nicht was richtig, falsch oder ob beides falsch ist...
Zu (b) müsste es sich ja um eine beliebige Abbildung von der Menge der PCs in die Menge der Schulen handeln. Wie kann ich das angehen, da ich hier nicht weiss wie ich die Anzahl dieser Abbildungen berechnen kann.
vielen Dank für ihre Hilfe
Marc
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Sa 14.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marc!
> Auf wieviele verschiedene Arten kann man 20 gleiche Pcs auf
> drei verschiedene Schulen aufteilen:
> (a) so, dass jede Schule mindestens einen PC bekommt.
> (b) ohne weitere Einschränkungen.
>
> Zu (a) handelt es sich meiner Meinung nach um eine
> surjektive Abbildung Sur(n,k), weil das Urbild der Schule
> also die Anzahl der PCs nicht leer, also in unserem Fall 0
> sein darf.
> Nun habe ich mir überlegt, dass es sich um eine Stirling
> Zahl [mm]S_{3,20}[/mm] = 580 606 446 handeln könnte.
> Ist das richtig, die Zahl kommt mir etwas zu "gross"
> vor....
Ist sie auch... 
Beachte bitte auch, dass die PCs ununterscheidbar sind. Daher gibt es
${{20-1} [mm] \choos [/mm] {3-1}} = {19 [mm] \choose [/mm] 2}$
Aufteilungen.
> Zu (b) müsste es sich ja um eine beliebige Abbildung von
> der Menge der PCs in die Menge der Schulen handeln. Wie
> kann ich das angehen, da ich hier nicht weiss wie ich die
> Anzahl dieser Abbildungen berechnen kann.
Dies ist (relativ) einfach!
Es gibt [mm] $3^{20}$ [/mm] solcher Abbildungen. Ist dir das klar? Allerdings muss man hier beachten, dass die PCs nicht unterscheidbar sind. Daher gibt es
[mm] $\frac{3^{20}}{20!}$
[/mm]
relevante Aufteilungen.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Sa 14.05.2005 | | Autor: | squeezer |
Hallo
Zu (a):
ich habe noch mal länger nachgedacht und bin durch aufzählen aller Fälle auf folgende Formel gekommen:
[mm] \begin{displaymath}N_{1}=\sum\limits_{n=1}^{18}(19-n)=\sum\limits_{k=1}^{18}k=171\end{displaymath}
[/mm]
$n$ ist hierbei die anzahl der PCs die die schule A kriegt.
zu (b)
Hier glaube ich auch dass es folgendes sein müsste:
[mm] \begin{displaymath}N_{2}=\sum\limits_{n=0}^{20}(21-n)=231\end{displaymath}
[/mm]
Es gibt ja somit [mm] $0\leq{n}\leq{20}$ [/mm] PCs die die Schule A kriegen kann.
also gibt es $21-n$ verschiedene Verteilungen für die Schulen B und C.
($n$ sei wieder die Anzahl der PCs die die Schule A kriegt)
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Dieses Skript
