Kommutative Gruppe, Inverses < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Di 30.11.2010 | | Autor: | d_nl |
| Aufgabe | Sei (G, [mm] \*) [/mm] eine Gruppe. Für g [mm] \in [/mm] G bezeichnet [mm] \overline{g} [/mm] das Inverse Element von g.
a) Zeigen Sie, dass für [mm] g_{1}, g_{2} \in [/mm] G gilt, dass [mm] \overline{g_{1} \* g_{2}} [/mm] = [mm] \overline{g_{2}} \* \overline{g_{1}}.
[/mm]
b) Finden Sie ein Beispiel für eine Gruppe G, in der [mm] \overline{g_{1} \* g_{2}} \not= \overline{g_{1}} \* \overline{g_{2}} [/mm] gilt! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich finde leider keinen Ansatz für beide Aufgabenteile.
Zunächst habe ich bei der a) die Aussage [mm] \overline{g_{1} \* g_{2}} [/mm] = [mm] \overline{g_{1}} \* \overline{g_{2}} [/mm] benutzt und anschließend die Kommutativität der Gruppe nachgewiesen um zu zeigen, dass [mm] \overline{g_{1}} \* \overline{g_{2}} [/mm] = [mm] \overline{g_{2}} \* \overline{g_{1}}.
[/mm]
Doch dies würde der Aufgabenstellung aus b) wiedersprechen oder?
Vielen Dank für die Hilfe.
Grüße,
d_nl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:13 Mi 01.12.2010 | | Autor: | jumape |
Richtig,
[mm] \overline{g_1*g_2}=\overline{g_1}*\overline{g_2}
[/mm]
stimmt auch nicht. Der Beweis des ersten Teiles geht z.Bsp. so:
[mm] \overline{g_1*g_2}*(g_1*g_2)=e
[/mm]
[mm] \Rightarrow \overline{g_1*g_2}*g_1*g_2=e
[/mm]
[mm] \Rightarrow \overline{g_1*g_2}*g_1=\overline{g_2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \overline{g_1*g_2}=\overline{g_2}*\overline{g_1}
[/mm]
Für den zweiten Teil solltest du nochmal darüber nachdenken ob jede Gruppe kommutativ ist und was es heißt falls eine nicht kommutativ sein sollte.
Viel Erfolg dabei.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:12 Mi 01.12.2010 | | Autor: | d_nl |
Danke für die Antwort.
Also käme für Aufgabenteil b) eine Gruppe ohne Kommutativität in Frage, zB die Komposition von Funktionen [mm] \circ.
[/mm]
Weil f [mm] \circ [/mm] g [mm] \not= [/mm] g [mm] \circ [/mm] f gilt dementsprechend auch [mm] \overline{f \circ g} \not= \overline{f} \circ \overline{g} [/mm] oder?
Man kann [mm] \overline{g_{2}} \* \overline{g_{1}} [/mm] (Aufgabe a) wegen der fehlenden Kommutativität ja nicht vertauschen.
Wobei hier die Verknüpfung als [mm] \circ: \IR \times \IR \to \IR [/mm] definiert wäre.
Grüße.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Kyle |
Überleg Dir genau, von wo nach wo Deine Abbildung [mm] \circ [/mm] geht. Denn wenn Du die Komposition zweier Abbildungen betrachtest, dann müssten diese auch in [mm] \IRx\IR [/mm] enthalten sein, damit ich [mm] \circ [/mm] darauf loslassen kann.
Des Weiteren musst Du bei Funktionen etwas genauer darauf schauen, welche Funktionen Du betrachtest, denn eine Menge von Funktionen kann nur dann überhaupt eine Gruppe bilden, wenn ich in der Menge dieser Funktionen Inverse finde, das ist i.A. nicht der Fall. Trotzdem ist die Idee mit den Funktionen prinzipiell eine gute Wahl.
Außerdem genügt es für die Aufgabe sicherlich nicht, wenn Du nur sagst, daß ist nicht kommutativ, hier würde ich möglichst noch ein Beispiel angeben.
Gruß
Kyle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Fr 03.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Mi 01.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu b).
Für 2 Elemente [mm] g_1, g_2 [/mm] in G gilt:
$ [mm] \overline{g_{1} * g_{2}} \not= \overline{g_{1}} [/mm] * [mm] \overline{g_{2}} [/mm] $ [mm] \gdw $g_1 [/mm] * [mm] g_2= g_2 [/mm] * [mm] g_1$
[/mm]
Edit: da muß natürlich stehen:
$ [mm] \overline{g_{1} * g_{2}} [/mm] = [mm] \overline{g_{1}} [/mm] * [mm] \overline{g_{2}} [/mm] $ [mm] \gdw $g_1 [/mm] * [mm] g_2= g_2 [/mm] * [mm] g_1$
[/mm]
Ist also G eine nicht kommutative Gruppe, so gibt es [mm] g_1, g_2 [/mm] in G mit [mm] $g_1 [/mm] * [mm] g_2\ne g_2 [/mm] * [mm] g_1$
[/mm]
Und schon hast Du ein Beipiel.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mi 01.12.2010 | | Autor: | d_nl |
$ [mm] \overline{g_{1} \cdot{} g_{2}} \not= \overline{g_{1}} \cdot{} \overline{g_{2}} [/mm] $ $ [mm] \gdw [/mm] $ $ [mm] g_1 \cdot{} g_2= g_2 \cdot{} g_1 [/mm] $
Ist das nicht ein Widerspruch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Mi 01.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]\overline{g_{1} \cdot{} g_{2}} \not= \overline{g_{1}} \cdot{} \overline{g_{2}}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]g_1 \cdot{} g_2= g_2 \cdot{} g_1[/mm]
>
> Ist das nicht ein Widerspruch?
Streng genommen: ja.
Ich wuerde es aber eher als Tippfehler bezeichnen. Fred meint natuerlich entweder [mm] $\neq$ [/mm] auf beiden Seiten der Aequivalenz, oder $=$ auf beiden Seiten.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:05 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Moin!
>
> > [mm]\overline{g_{1} \cdot{} g_{2}} \not= \overline{g_{1}} \cdot{} \overline{g_{2}}[/mm]
> > [mm]\gdw[/mm] [mm]g_1 \cdot{} g_2= g_2 \cdot{} g_1[/mm]
> >
> > Ist das nicht ein Widerspruch?
>
> Streng genommen: ja.
>
> Ich wuerde es aber eher als Tippfehler bezeichnen. Fred
> meint natuerlich entweder [mm]\neq[/mm] auf beiden Seiten der
> Aequivalenz, oder [mm]=[/mm] auf beiden Seiten.
So ist es
FRED
>
> LG Felix
>
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