Kommutative Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Moin, ich wäre für eine Hilfestellung echt dankbar. Folgende Aufgabe ist gestellt: Für eine Matrix A= [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
3 & 4 & 0 \\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
soll gelten A*B = B*A bestimmen Sie alle B für die das gilt.
Kann mir jemand einen Ansatz geben ?? Die einzige Matrix, die ich gefunden habe ist die inverse zu A. Es gibt aber wohl unendlich viele....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für die Hilfe
|
|
| |
|
Hallo!
> Moin, ich wäre für eine Hilfestellung echt dankbar.
> Folgende Aufgabe ist gestellt: Für eine Matrix A=
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
3 & 4 & 0 \\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
>
>
> soll gelten A*B = B*A bestimmen Sie alle B für die das
> gilt.
>
> Kann mir jemand einen Ansatz geben ?? Die einzige Matrix,
> die ich gefunden habe ist die inverse zu A. Es gibt aber
> wohl unendlich viele....
Also, lösen kann ich deine Aufgabe leider nicht, aber vielleicht etwas helfen:
Natürlich kannst du deine Matrix mit der Einheitsmatrix multiplizieren, und dieses Produkt ist kommutativ. Und so weit ich weiß, geht das mit jeder Diagonalmatrix, also mit jeder Matrix, bei der nur auf der Diagonalen Einträge [mm] \not= [/mm] 0 stehen. Und ich würde vermuten, dass es vielleicht noch mit einer unteren Dreiecksmatrix klappt. Du hast ja hier auch schon eine untere Dreiecksmatrix, und wenn man zwei untere Dreiecksmatrizen mutlipliziert, erhält man wieder eine untere Dreiecksmatrix. Da hättest du dann schon mal in beiden Fällen (A*B und B*A) den rechten oberen Teil gleich. Und die Diagonale müsste auch beide Male gleich sein. Mit dem Rest musst du mal ausprobieren, das weiß ich leider auch nicht.
Vielleicht hilft dir das ja... Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Do 23.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo FastJack99,
> Moin, ich wäre für eine Hilfestellung echt dankbar.
> Folgende Aufgabe ist gestellt: Für eine Matrix A=
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
3 & 4 & 0 \\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
>
>
> soll gelten A*B = B*A bestimmen Sie alle B für die das
> gilt.
>
> Kann mir jemand einen Ansatz geben ?? Die einzige Matrix,
> die ich gefunden habe ist die inverse zu A. Es gibt aber
> wohl unendlich viele....
Versuch' es mal mit der Holzhammer-Methode: Nehme eine allgemeine [mm] $3\times3$-Matrix [/mm] her und leite daraus die 9 Gleichungen für die Komponenten ab:
[mm] $B=\pmat{b_{11}&\ldots&b_{13}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{31}&\ldots&b_{33}}$
[/mm]
$AB=BA$
[mm] $\gdw$ $\ldots$
[/mm]
Viel Erfolg,
Mrc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Do 23.12.2004 | | Autor: | MathePower |
Hallo,
stelle einfach das lineare Gleichungssystem auf.
[mm]$\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 0 \\
3 & 4 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
\end{array}} \right)\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{b_{11} } & {b_{12} } & {b_{13} } \\
{b_{21} } & {b_{22} } & {b_{23} } \\
{b_{31} } & {b_{32} } & {b_{33} } \\
\end{array}} \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{b_{11} } & {b_{12} } & {b_{13} } \\
{b_{21} } & {b_{22} } & {b_{23} } \\
{b_{31} } & {b_{32} } & {b_{33} } \\
\end{array}} \right)\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 0 \\
3 & 4 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
\end{array}} \right)
\]$[/mm]
Hieraus bekommst Du Bedingungen fuer die Matrix B.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
