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Forum "Algebra" - Kommutative Monoide
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Kommutative Monoide: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:01 Mi 11.06.2014
Autor: UniversellesObjekt

Hallo,

ich bin durch eine Spielerei zu folgender Fragestellung gekommen:

Es sei $C $ eine Kategorie mit endlichen Koprodukten (insbesondere also einem initialen Objekt). Dann bilden die Isomorphieklassen von Objekten aus $ C $ ein additives kommutatives Monoid, wobei die Summe zweier Objekte durch deren Koprodukt gegeben ist.

Frage: Kann man (bis auf Isomorphie) jedes kommutative Monoid auf diese Weise erhalten? Falls nein, wie kann man Monoide mit dieser Eigenschaft klassifizieren?

Falls jemand Zeit und Lust hat, darüber nachzugrübeln (oder es völlig trivial ist), würde ich mich über Anmerkungen jeder Art freuen.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Edit: Mir ist mittlerweile klar, dass es außer dem initialen Objekt keine invertierbaren Elemente existieren dürfen. Genügt das bereits?

        
Bezug
Kommutative Monoide: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:40 Mi 11.06.2014
Autor: UniversellesObjekt

Was mir gerade nicht einmal klar ist: Kann ich so nichttriviale abelsche Gruppen erhalten? Das heißt, kann in einer Kategorie [mm] $a\sqcup [/mm] b=0$ gelten mit $ [mm] a\not\cong [/mm] 0$?

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
Kommutative Monoide: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:27 So 15.06.2014
Autor: Berieux

Hallo.

Nein das geht nicht. Denn es gilt für [mm]a\sqcup b=0[/mm]: [mm]Hom(0, -)=Hom(a\sqcup b, -)=Hom(a, - )\times Hom(b, -)[/mm].
Und daraus folgt [mm]a\cong b \cong 0[/mm].

Bezug
                        
Bezug
Kommutative Monoide: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:34 So 15.06.2014
Autor: UniversellesObjekt

Hi Berieux, das habe ich auch bemerkt und es ist im Anfangspost bereits editiert. Hättest du Ideen zu der allgemeinen Fragestellung?

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
        
Bezug
Kommutative Monoide: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:33 So 15.06.2014
Autor: Berieux

Bei math stackexchange wird gerade diskutiert inwieweit das möglich ist für Monoide für die nur das neutrale Element invertierbar ist. Siehe []hier  

Bezug
                
Bezug
Kommutative Monoide: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:38 So 15.06.2014
Autor: UniversellesObjekt

Oh, gut zu wissen! Ich hatte mich bereits mit Martin Brandenburg unterhalten, war mir aber nicht bewusst, dass er jetzt auf math.se nachgefragt hat. Nachdem mir die Frage gekommen war, habe ich nämlich gesehen, dass er eine ähnliche Frage auf math.se gestellt hatte: []Halbringe und symmetrische monoidale Kategorien mit endlichen Koprodukten

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
        
Bezug
Kommutative Monoide: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Do 19.06.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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