Kommutatives Diagramm < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Von der linearen Abbildung [mm] f:\mathcal{R}^{2} [/mm] -> [mm] \mathcal{R}^{3} [/mm] ist bekannt:
[mm] f(\vektor{1 \\ 4})=\vektor{1 \\ -3 \\ 2}, f(\vektor{-2 \\ 2})=\vektor{-2 \\ 6 \\ -4}.
[/mm]
Bestimmen Sie ker F, [mm] f(\mathcal{R}^{2}), [/mm] Rang f und die Matrix A von f bez. der Standardbasis.
Stellen Sie fest, ob f injektiv, surjektiv bzw. bijektiv ist. |
Hallo,
ich hänge bei der Aufgabe fest u habe überhaupt keine Idee, wo und wie ich anfangen soll. :(
Habe mir erstmal ein provisorisches komm. Diagramm aufgemalt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bestimmt ist es gar nicht so schwer, bloß tappe ich im Dunklem rum.
Darum würde ich gerne Hilfestellungen bekommen.
MfG Ne0the0ne
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Ich habe einen kleinen Fortschritt erzielt:
[mm] f(\vektor{1 \\ 4})=\vektor{1 \\ -3 \\ 2}, f(\vektor{-2 \\ 2})=\vektor{-2 \\ 6 \\ -4} [/mm] stehen durch [mm] f(\vektor{b_{1} \\ b_{2}})=\vektor{c_{1}=b_{1} \\ c_{2}=-3b_{1} \\ c_{3}=2b_{1}} [/mm] im Zusammenhang.
Was kann ich mit dem Zusammenhang anfangen?
|
|
|
| |
|
> Ich habe einen kleinen Fortschritt erzielt:
> [mm]f(\vektor{1 \\ 4})=\vektor{1 \\ -3 \\ 2}, f(\vektor{-2 \\ 2})=\vektor{-2 \\ 6 \\ -4}[/mm]
> stehen durch [mm]f(\vektor{b_{1} \\ b_{2}})=\vektor{c_{1}=b_{1} \\ c_{2}=-3b_{1} \\ c_{3}=2b_{1}}[/mm]
> im Zusammenhang.
>
> Was kann ich mit dem Zusammenhang anfangen?
Hallo,
die Funktionsvorschrift lautet also
[mm] f(\vektor{x\\y})=\vektor{x\\-3x\\2x},
[/mm]
und mit dieser kannst Du ganz viel anfangen:
Du könntest z.B. nun die Darstellungsmatrix A von f bzgl der Standardbasis bestimmen.
Überlege Dir mal, wieviele Zeilen und Spalten A hat.
Bestimme dann A so, daß [mm] f(\vektor{x\\y})=A*\vektor{x\\y}.
[/mm]
Man kann A auch noch anders bestimmen: in den Spalten der Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis stehen die Bilder der Standardbasisvektoren.
Kannst ja mal schauen, ob Du bei beiden Vorgehensweisen dieselbe Matrix bekommst. (Solltest Du!)
Um den Kern von f zu bestimmen, bräuchtest Du erstmal die Definition von Kern(f).
Daraus ergibt sich die Vorgehensweise.
[mm] f(\IR^2) [/mm] ist das Bild von f.
Ein Erzeugendensystem des Bildes bilden stets die Bilder der Basisvektoren (des Urbildraumes).
Nimm Dir also eine Basis des [mm] \IR^2, [/mm] bestimme jeweils das Bild der Basisvektoren.
Damit hast Du ein Erzeugendensystem des Bildes.
"Jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis."
Such Dir nun aus dem Erzeugendensystem eine max. linear unabhängige Teilmenge heraus, dann hast Du eine Basis des Bildes und kennst damit die Dimension des Bildes.
Rang(f) ist die Dimension des Bildes von f, also [mm] dim(f(\IR^2)).
[/mm]
Weiter:
für lineare Abbildungen f gilt: f injektiv <==> [mm] Kern(f)=\{0\}.
[/mm]
Das kannst Du hier gebrauchen.
Wenn die Abbildung surjektiv ist, muß [mm] f(\^2)=\IR^3 [/mm] sein.
Vielleicht beschäftigst Du Dich jetzt mit den Hinweisen.
Alles was Du wissen willst, kann man auch nach Schema f der Zeilenstufenform der Matrix entnehmen,
aber gerade für den Anfang - wenn man noch nicht so recht durchblickt - finde ich es sinnvoll, mit den Definitionen zu arbeiten.
Vielleicht können wir den Weg über die Matrix anschließend besprechen.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Di 13.01.2015 | | Autor: | Ne0the0ne |
Vielen lieben Dank Angela für deine ausführliche Darstellung. 
Ich werde mich ransetzen und versuchen.
Falls ich auf schwere Probleme stoßen sollte, melde ich mich wieder.
MfG Ne0the0ne
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich habe es hinbekommen, die Darstellungsmatrix A zu berechnen:
Seien [mm] e_{1}, e_{2} [/mm] die Standardbasis des [mm] R^{2}.
[/mm]
Es gilt: [mm] A_{f}=(f(e_{1}, f(e_{2})) [/mm] = (f [mm] \vektor{1 \\ 0}, [/mm] f [mm] \vektor{0 \\ 1})
[/mm]
für [mm] f(e_{1}): [/mm] f [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] in [mm] \vektor{x \\ -3x \\ 2x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ 2}
[/mm]
für [mm] f(e_{2}: [/mm] -||- = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 0 \\ -3 & 0 \\ 2 & 0 }
[/mm]
Habe dann die Richtigkeit durch f [mm] (\vektor{x \\ y})= \pmat{ 1 & 0 \\ -3 & 0 \\ 2 & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] überprüft und stimmte alles.
Dann:
> Um den Kern von f zu bestimmen, bräuchtest Du erstmal die
> Definition von Kern(f).
> Daraus ergibt sich die Vorgehensweise.
>
> [mm]f(\IR^2)[/mm] ist das Bild von f.
> Ein Erzeugendensystem des Bildes bilden stets die Bilder
> der Basisvektoren (des Urbildraumes).
> Nimm Dir also eine Basis des [mm]\IR^2,[/mm]
Ich habe als Basis von [mm] R^{2} [/mm] = [mm] \{\vektor {2 \\ -1}, \vektor {1 \\ 2}\} [/mm] gewählt.
> bestimme jeweils das Bild der Basisvektoren.
Hier klemmt die Säge - was genau ist gemeint?
Habe die Basisvektoren von [mm] R^{2} [/mm] in eine Matrix S gesetzt und img(S) berechnet - ist das Richtig so?
(img(S) = [mm] \{\vektor {2 \\ 0}, \vektor {0 \\ 5}\})
[/mm]
> Damit hast Du ein Erzeugendensystem des Bildes.
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> ich habe es hinbekommen, die Darstellungsmatrix A zu
> berechnen:
>
> Seien [mm]e_{1}, e_{2}[/mm] die Standardbasis des [mm]R^{2}.[/mm]
> Es gilt: [mm]A_{f}=(f(e_{1}, f(e_{2}))[/mm] = (f [mm]\vektor{1 \\ 0},[/mm] f
> [mm]\vektor{0 \\ 1})[/mm]
> für [mm]f(e_{1}):[/mm] f [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] in
> [mm]\vektor{x \\ -3x \\ 2x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ 2}[/mm]
> für
> [mm]f(e_{2}:[/mm] -||- = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & 0 \\ -3 & 0 \\ 2 & 0 }[/mm]
>
> Habe dann die Richtigkeit durch f [mm](\vektor{x \\ y})= \pmat{ 1 & 0 \\ -3 & 0 \\ 2 & 0 }[/mm]
> * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] überprüft und
> stimmte alles.
Gut.
>
> Dann:
> > Um den Kern von f zu bestimmen, bräuchtest Du erstmal
> die
> > Definition von Kern(f).
> > Daraus ergibt sich die Vorgehensweise.
> >
> > [mm]f(\IR^2)[/mm] ist das Bild von f.
> > Ein Erzeugendensystem des Bildes bilden stets die
> Bilder
> > der Basisvektoren (des Urbildraumes).
> > Nimm Dir also eine Basis des [mm]\IR^2,[/mm]
> Ich habe als Basis von [mm]R^{2}[/mm] = [mm]\{\vektor {2 \\ -1}, \vektor {1 \\ 2}\}[/mm]
> gewählt.
Okay.
> > bestimme jeweils das Bild der Basisvektoren.
> Hier klemmt die Säge - was genau ist gemeint?
Du sollst die Abbildung f auf die beiden Basisvektoren anwenden und so die beiden Bildvektoren erhalten.
> Habe die Basisvektoren von [mm]R^{2}[/mm] in eine Matrix S gesetzt
> und img(S) berechnet - ist das Richtig so?
Nein.
Wir wollen ja immerhin das Bild von f - da ist ja irgendwie davon auszugehen, daß f irgendwie im Spiel sein muß, oder?
> > Damit
> hast Du ein Erzeugendensystem des Bildes.
LG Angela
>
>
>
|
|
|
| |
|
Auf dem 10. Blick habe ich verstanden was sie meinen.
Jedenfalls habe ich jetzt beide Basisvektoren auf dem abgebildet ("durch die Matrix gejagt") und kam auf
[mm] f(b_{1})= \vektor{2 \\ -6 \\ 5} [/mm] und [mm] f(b_{2})= \vektor{1 \\ -3 \\ 4}.
[/mm]
> Damit hast Du ein Erzeugendensystem des Bildes.
Das EZS ist ja eine Teilmenge [mm] H=\{\vektor{2 \\ -6 \\ 5}, \vektor{1 \\ -3 \\ 4}\} [/mm] von R³.
Außerdem ist [mm] \vektor{2 \\ -6 \\ 5} [/mm] = 2* [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ 4}, [/mm] also sind beide Vektoren linear abhängig.
Ab hier klemmt die Säge schon wieder bzw ich bin mir nicht so sicher.
> "Jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis."
> Such Dir nun aus dem Erzeugendensystem eine max. linear unabhängige Teilmenge heraus, dann hast Du eine Basis des Bildes und kennst damit die Dimension des Bildes.
|
|
|
| |
|
> Jedenfalls habe ich jetzt beide Basisvektoren auf dem
> abgebildet ("durch die Matrix gejagt") und kam auf
> [mm]f(b_{1})= \vektor{2 \\ -6 \\ 5}[/mm] und [mm]f(b_{2})= \vektor{1 \\ -3 \\ 4}.[/mm]
>
> > Damit hast Du ein Erzeugendensystem des Bildes.
>
> Das EZS ist ja eine Teilmenge [mm]H=\{\vektor{2 \\ -6 \\ 5}, \vektor{1 \\ -3 \\ 4}\}[/mm]
> von R³.
Hallo,
ja, mit diesen beiden Vektoren kann man [mm] f(\IR^2) [/mm] erzeugen.
> Außerdem ist [mm]\vektor{2 \\ -6 \\ 5}[/mm] = 2* [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ 4},[/mm]
> also sind beide Vektoren linear abhängig.
Genau.
Du kannst auf einen der beiden Vektoren verzichten und hast etwa mit [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ 4} [/mm] eine Basis von [mm] f(\IR^2) [/mm] gefunden und kennst die Dimension.
>
> Ab hier klemmt die Säge schon wieder bzw ich bin mir nicht
> so sicher.
> > "Jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis."
> > Such Dir nun aus dem Erzeugendensystem eine max. linear
> unabhängige Teilmenge heraus, dann hast Du eine Basis des
> Bildes und kennst damit die Dimension des Bildes.
Hab' ich oben für Dich gemacht.
Die beiden Vektoren waren ja linear abhängig, da hab' ich einen rausgefischt und eine max linear unabhängige Teilmenge erhalten.
LG Angela
|
|
|
| |
|
> Du kannst auf einen der beiden Vektoren verzichten und hast etwa mit $ [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ 4} [/mm] $ eine Basis von $ [mm] f(\IR^2) [/mm] $ gefunden und kennst die Dimension.
Dass es dann doch so einfach ist, hätte ich überhaupt nicht erwartet.
Ich habe mir jetzt notiert:
Basis von [mm] f(R^{2})=\{\vektor{1\\-3\\4}\}
[/mm]
-> Rang(f) = dim [mm] f(R^{2}) [/mm] = 3
Nun bin ich bei der Kernbestimmung & Eigenschaft angelangt (hier habe ich auch noch Schwirigkeiten):
> Weiter:
> für lineare Abbildungen f gilt: f injektiv <==> $ [mm] Kern(f)=\{0\}. [/mm] $
Das kannst Du hier gebrauchen.
Ich weiß schon mal, das f nicht injektiv ist, da der [mm] Kern(f)\not=0 [/mm] ist (u.a. weil für A keine Determinante definiert ist (stimmt das?))
Bei Surjektivität müsste man mit allen Vektoren vom [mm] R^{2} [/mm] und der Matrix A alle Vektoren vom [mm] R^{3} [/mm] berechnen können - hier bin ich der Meinung, dass auch das nicht der Fall ist, da letztendlich die x-Komponente des Vektores aus [mm] R^{2} [/mm] "nur" abgebildet wird und daraus ergibt sich für mich nur eine Gerade.
Da Injektivität und Surjektivität ausgeschlossen sind, bleibt nur noch die Injektivität übrig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Mi 14.01.2015 | | Autor: | hippias |
> > Du kannst auf einen der beiden Vektoren verzichten und hast
> etwa mit [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ 4}[/mm] eine Basis von [mm]f(\IR^2)[/mm]
> gefunden und kennst die Dimension.
>
> Dass es dann doch so einfach ist, hätte ich überhaupt
> nicht erwartet.
>
> Ich habe mir jetzt notiert:
> Basis von [mm]f(R^{2})=\{\vektor{1\\-3\\4}\}[/mm]
> -> Rang(f) = dim [mm]f(R^{2})[/mm] = 3
Achtung: Wenn [mm] $f(R^{2})=\{\vektor{1\\-3\\4}\}$ [/mm] stimmt, dann ist $Rang(f)=3$ falsch; ich vermute einen Tippfehler.
>
> Nun bin ich bei der Kernbestimmung & Eigenschaft angelangt
> (hier habe ich auch noch Schwirigkeiten):
> > Weiter:
> > für lineare Abbildungen f gilt: f injektiv <==>
> [mm]Kern(f)=\{0\}.[/mm]
> Das kannst Du hier gebrauchen.
>
> Ich weiß schon mal, das f nicht injektiv ist, da der
> [mm]Kern(f)\not=0[/mm] ist
Richtig...
> (u.a. weil für A keine Determinante
> definiert ist (stimmt das?))
...falsch; ob die Determinante definiert ist oder nicht ist hier zweitrangig. Nur wenn sie definiert ist und $=0$ ist, dann ist $f$ nicht injektiv.
Also warum ist $f$ hier nicht injektiv? Z.B. schlussfolgere aus dem Dimensionssatz [mm] $\dim [/mm] Kern f+ [mm] \dim [/mm] Bild= [mm] \dim \IR^{2}$, [/mm] dass $Kern [mm] f\neq [/mm] 0$ ist. Oder berechne den Kern, indem Du die Gleichung $f(x)=0$ loest (Gauss-Verfahren o.s.ae.)
>
> Bei Surjektivität müsste man mit allen Vektoren vom [mm]R^{2}[/mm]
> und der Matrix A alle Vektoren vom [mm]R^{3}[/mm] berechnen können
> - hier bin ich der Meinung, dass auch das nicht der Fall
> ist, da letztendlich die x-Komponente des Vektores aus
> [mm]R^{2}[/mm] "nur" abgebildet wird und daraus ergibt sich für
> mich nur eine Gerade.
S.o.
>
> Da Injektivität und Surjektivität ausgeschlossen sind,
> bleibt nur noch die Injektivität übrig.
Verstehe ich nicht. Zumal Du oben Injektivitaet bereits ausgeschlossen hast.
|
|
|
| |
|
> Von der linearen Abbildung [mm]f:\mathcal{R}^{2}[/mm] ->
> [mm]\mathcal{R}^{3}[/mm] ist bekannt:
> [mm]f(\vektor{1 \\ 4})=\vektor{1 \\ -3 \\ 2}, f(\vektor{-2 \\ 2})=\vektor{-2 \\ 6 \\ -4}.[/mm]
>
> Bestimmen Sie ker F, [mm]f(\mathcal{R}^{2}),[/mm] Rang f und die
> Matrix A von f bez. der Standardbasis.
> Stellen Sie fest, ob f injektiv, surjektiv bzw. bijektiv
> ist.
>
>
> Hallo,
> ich hänge bei der Aufgabe fest u habe überhaupt keine
> Idee, wo und wie ich anfangen soll. :(
> Habe mir erstmal ein provisorisches komm. Diagramm
> aufgemalt:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo,
das Diagramm brauchst Du hier nicht, denn es ist ja [mm] K=\IR.
[/mm]
Das Diagramm brauchst Du, wenn f z.B. zwischen Polynomräumen abbildet.
Dann müssen die Polynome in Koordinatenvektoren bzgl. einer vorgegebenen Basis transformiert werden.
Ich erkläre das hier jetzt nicht genauer.
LG Angela
>
> Bestimmt ist es gar nicht so schwer, bloß tappe ich im
> Dunklem rum.
> Darum würde ich gerne Hilfestellungen bekommen.
>
> MfG Ne0the0ne
|
|
|
|
